banach空間球覆蓋性質(zhì)和光滑性

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文檔簡介

1、　　廈門大學(xué)　　碩士學(xué)位論文　　Banach空間的球覆蓋性質(zhì)與光滑性　　姓名：劉小燕　　申請學(xué)位級別：碩士</b&g

2、t;　　專業(yè)：基礎(chǔ)數(shù)學(xué)　　指導(dǎo)教師：程立新　　20070501　　廈門大學(xué)學(xué)位論文原創(chuàng)性聲明　　茲呈交的學(xué)位論文，是

3、本人在導(dǎo)師指導(dǎo)下獨(dú)立完成的　　研究成果．本人在論文寫作中參考的其它個人或集體的研　　究成果，均在文中以明確方式標(biāo)明。本人依法享有和承擔(dān)　　由此論文而產(chǎn)生的權(quán)利和責(zé)任。　?。?lt;/b>　　廈門大學(xué)學(xué)位論文

4、著作權(quán)使用聲明　　本人完全了解廈門大學(xué)有關(guān)保留、使用學(xué)位論文的規(guī)　　定。廈門大學(xué)有權(quán)保留并向國家主管部門或其指定機(jī)構(gòu)送　　交論文的紙質(zhì)版和電子版，有權(quán)將學(xué)位論文用于非贏利目　　的的少量復(fù)制并允許論文進(jìn)入學(xué)校圖書館被查閱，有權(quán)將

5、學(xué)位論文的內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫進(jìn)行檢索，有權(quán)將學(xué)位論　　文的標(biāo)題和摘要匯編出版。保密的學(xué)位論文在解密后適用　　本規(guī)定。　　本學(xué)位論文屬于　?。?、保密（），在&l

6、t;/p>　　年解密后適用本授權(quán)書。　?。?、不保密（）　?。ㄕ?jiān)谝陨舷鄳?yīng)括號內(nèi)打“￣／＂）　　作導(dǎo) 者師簽簽名名　　剴力７&

7、lt;b>　　叭琵施、圩　　日期：卿年期燁日　　嘿穸廣月卵　?。拢幔睿幔悖杩臻g的球覆蓋性質(zhì)與光滑性　　摘要

8、　　整個Ｂａｎａｃｈ空間幾何學(xué)就是一部單位球和單位球面的幾何學(xué)．　　即使是其他學(xué)科分支，直接用“球”研究其他方面的內(nèi)容，很多也都成　　為相應(yīng)分支的重要組成部分．如屬于Ｂａｎａｃｈ空間幾何范疇的Ｍａｚｕｒ　　ｉｎｔｅｒｓｅｃｔｉｏｎ性質(zhì)，最優(yōu)化理論的裝球問題（Ｐａｃｋｉｎｇｐｒｏｂｌｅｍ），非線

9、　　性泛函分析的拓?fù)涠壤碚摰鹊龋疚氖窃诔塘⑿陆淌谝孕乱暯翘岢?lt;/p>　　的“單位球面被不含原點(diǎn)的球所覆蓋的球數(shù)問題＂下考察Ｂａｎａｃｈ空　　間中的球覆蓋性質(zhì)．　?。拢幔睿幔悖杩臻gｘ稱為具有球覆蓋性質(zhì)（簡記為ＢＣＰ），如果ｘ的</p&g

10、t;　　單位球面＆可被可數(shù)多個不含原點(diǎn)的球所覆蓋．本文通過在ｆ∞上　　構(gòu)造不同的范數(shù)證明了Ｂａｎａｃｈ空間ｘ的球覆蓋性質(zhì)既不是線性同　　胚不變的，也不是在商映射下不變的，同時，它也不具有子空間的　　可繼承性．（文獻(xiàn)［２４】：發(fā)表于中國科學(xué)Ａ輯：數(shù)學(xué)２００７年第７<

11、;p>　　期）并且本文證明了具有ＢＣＰ的可數(shù)多個Ｂａｎａｃｈ空間，它們的乘　　積在無窮范數(shù)意義下也具有ＢＣＰ．另外，我們知道，凸性模、光滑　　模、一致正規(guī)結(jié)構(gòu)常數(shù)等Ｂａｎａｃｈ空間幾何常數(shù)給出了該空間相應(yīng)幾　　何性質(zhì)的定量刻畫。本文在第三章中給出了一個類似光滑模的幾何

12、;　　常數(shù)，得到了一個一致光滑的等價條件。　　關(guān)鍵詞：　　光滑　　球覆蓋性質(zhì)（ＢＣＰ），同胚不變，Ｂａｎａｃｈ空間，一致　?。拢幔睿幔悖杩臻g的球覆蓋性質(zhì)與光滑性<p&

13、gt;　?。粒?ＳＴＲＡＣＴ　?。?lt;/b>　　ＴｈｅｗｈｏｌｅＢａｎａｃｈｓｐａｃｅｇｅｏｍｅｔｒｙｉｓ　?。?lt;/b>　　ｇｅｏｍｅｔｒｙ<

14、/b>　?。幔猓铮酰?ｔｈｅｕｎｉｔｂａｌｌａｎｄ　?。酰睿椋?ｓｐｈｅｒｅｏｆＢａｎａｃｈｓｐａｃｅｓ．Ｅｖｅｎａｍｏｎｇｏｔｈｅｒｋｎｏｗｌｅｄｇｅｂｒａｎｃｈｅｓ，ｔｈｅｄｉ－　?。颍澹悖?ｕｓｅｓｏｆ“ｂａｌｌ刀ｔｏｓｔｕｄｙｏｔｈｅｒａｓｐｅｃｔｓｏｆ</p&

15、gt;　?。耄睿铮鳎欤澹洌纾?lt;/b>　　ｂｅｃａｍｅ　?。椋恚穑铮颍簦幔睿?lt;/b>　?。穑幔颍簦?ｏｆｔｈｅｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇｂｒａｎｃｈｅｓ．Ｆｏｒｉｎｓｔａｎｃｅ，ｔｈｅＭ

16、ａｚｕｒｉｎｔｅｒｓｅｃｔｉｏｎｐｒｏｐ－　?。澹颍簦?ｗｈｉｃｈｂｅｌｏｎｇｓｔｏ　　Ｂａｎａｃｈｓｐａｃｅｇｅｏｍｅｔｒｙ；ｔｈｅｍｅａｓｕｒｅｏｆｎｏｎ－ｃｏｍｐａｃｔｎｅｓｓ　　ｗｉｔｈｒｅｓｐｅｃｔｔｏｔｏｐｏｌｏｇｉｃａｌｄｅｇｒｅｅｉｎｎｏｎ—ｌｉｎｅａｒａｎａｌｙｓ

17、ｉｓ；ｔｈｅ　?。穑幔悖耄椋睿?ｓｐｈｅｒｅ　?。穑颍铮猓欤澹?ｏｆｕｎｉｔｂａｌｌｓｉｎｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｔｈｅｏｒｙａｎｄ　?。樱?lt;/b>　?。铮睿校颍铮妫澹螅螅铮?ＬｉｘｉｎＣｈｅｎｇ<

18、;p>　　ｓｔａｒｔｓｗｉｔｈａｄｉｆｆｅｒｅｎｔｖｉｅｗｐｏｉｎｔｔｏｓｔｕｄｙｏｎ“ｈｏｗ　?。恚幔睿?ｂａｌｌｓｗｈｉｃｈｄｏｎｏｔ　?。悖铮睿簦幔椋?ｔｈｅｏｒｉｇｉｎ　?。悖幔欤?lt;/b>　?。簦瑁?ｕｎ

19、ｉｔｓｐｈｅｒｅｏｆ　?。?lt;/b>　　Ｂａｎａｃｈｓｐａｃｅｂｅｃｏｖｅｒｅｄｂｙ囂．　?。樱?ｄｏｅｓｔｈｉｓｐａｐｅｒ　?。螅簦幔颍簦?lt;/b><

20、b>　?。妫颍铮?lt;/b>　　ｔｏｓｔｕｄｙｔｈｅｂａｌｌ－ｃｏｖｅｒｉｎｇ　?。穑颍铮穑澹颍簦椋澹?ｏｆＢａｎａｃｈ　?。螅穑幔悖澹螅?lt;/b>　?。裕瑁?ｓｐａｃｅＸｉｓｓａｉｄｔｏｈａｖｅｂａｌＮｃｏｖ

21、ｅｒｉｎｇ　　ｐｒｏｐｅｒｔｙ（ｄｅｎｏｔｅｄ　?。猓?lt;/b>　?。拢茫校椋?lt;/b>　?。椋?lt;/b>　?。幔洌恚椋簦?

22、lt;/b>　　ａ　?。猓幔欤臁悖铮觯澹颍椋睿?ｃｏｎｓｉｓｔｉｎｇｏｆｃｏｕｎｔａｂｌｙｍａｎｙｂａｌｌｓｏｆｆｔｈｅｏｒｉｇｉｎ．Ｔｈｉｓ　?。穑幔穑澹?，ｂｙｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｎｇ　?。澹瘢酰椋觯幔欤澹睿?/p>

23、ｎｏｒｍｓ　?。铮?lt;/b>　?。?。０，ｓｈｏｗｓｔｈａｔｂａｌｌ－ｃｏｖｅｒｉｎｇｐｒｏｐ－　?。澹颍簦?ｉｓｎｏｔｉｎｖａｒｉａｎｔｕｎｄｅｒｉｓｏｍｏｒｐｈｉｃｍａｐｐｉｎｇｓ；ｐｒｅｓｅｎｔｓｔｈａｔｔｈｉｓｐｒｏｐｅｒｔｙｏｆ

24、　?。?ｉｓｎｏｔｈｅｒｉｔａｂｌｅ　?。猓?lt;/b>　?。椋簦?ｃｌｏｓｅｄｓｕｂｓｐａｃｅｓ；ａｎｄｔｈｅｐｒｏｐｅｒｔｙｉｓｎｏｔｐｒｅｓｅｒｖｅｄ　?。酰睿洌澹?ｑｕｏｔｉｅｎｔ　　ｍａｐｐｉｎｇｓ．（

25、【２４】：Ｐｕｂｌｉｓｈｅｄ　?。椋?ＳｃｉｅｎｃｅｉｎＣｈｉｎａＳｅｒｉｅｓＡ：Ｍａｔｈ－　?。澹恚幔簦椋悖?２００７　?。危铮罚粒欤螅铮椋?lt;/p>　?。螅瑁铮鳎?ｔｈａｔｔｈｅｐｒｏｄｕｃｔｏｆｃｏｕｎｔａｂｌｙｍａｎｙＢａｎａｃｈ

26、;　?。螅穑幔悖澹ィㄙⅰ剩危鳎椋簦瑁ィ瑁幔觯椋睿?lt;/p>　　ＢＣＰｈａｓＢＣＰｉｎｔｈｅ　?。螅澹睿螅?lt;/b>　?。铮?ｓｕｐｒｅｍｕｍ　　ｎｏｒｍ．Ｉｔｉｓｗｅｌｌ－ｋｎｏｗｎｔｈａｔｍｏｄｕｌｕｓｏｆｃ

27、ｏｎｖｅｘｉｔｙ，ｍｏｄｕｌｕｓｏｆｓｍｏｏｔｈｎｅｓｓａｎｄ　?。酰睿椋妫铮颍?ｒｅｇｕｌａｒｓｔｒｕｃｔｕｒｅｃｏｎｓｔａｎｔｓｈａｖｅｐｌａｙｅｄ　?。幔?lt;/b>　　ｉｍｐｏｒｔａｎｔｐａｒｔｉｎｄｅｐｉｃｔｉｎｇ

28、?。簦瑁?ｆｉｘｅｄｑｕａｎｔｉｔｙｏｆｇｅｏｍｅｔｒｙｐｒｏｐｅｒｔｙ．Ｃｈａｐｔｅｒ３ｇｉｖｅｓ　　ａ　?。纾澹铮恚澹簦颍?ｃｏｎｓｔａｎｔ　?。螅椋恚椋欤幔?lt;/b>　?。簦?ｍｏｄｕｌｕｓ

29、ｏｆ　?。螅恚铮铮簦瑁睿澹螅螅幔睿?ｇｅｔｓ　?。?lt;/b>　?。澹瘢酰椋觯幔欤澹睿?ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｏｆ　　ｕｎｉｆｏｒｍｌｙ　?。螅恚?/p>

30、ｏｔｈ　?。耍澹鳎铮颍洌螅海拢幔欤欤悖铮觯澹颍椋睿?lt;/p>　　ｎａｃｈｓｐａｃｅ，ｕｎｉｆｏｒｍｌｙｓｍｏｏｔｈ　　ｐｒｏｐｅｒｔｙ（ＢＣＰ），ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｃ　　ｉｎｖａｒｉａｎｔ，Ｂａ－　?。拢幔睿幔悖?/p>

31、空間的球覆蓋性質(zhì)與光滑性　?。?lt;/b>　　第一章　　引言　　整個Ｂａｎａｃｈ空間幾何學(xué)，可以說就是一部單位球和單位球面的幾何學(xué)．<p&g

32、t;　　各種幾何概念，如空間的凸性、光滑性，甚至自反性（包括超自反性）、算子的　　有界性、緊性、空間的逼近性質(zhì)、分解性質(zhì)等等都是通過或者都可以通過單位　　球來定義，即使是在其它的學(xué)科分支中，直接與。球”聯(lián)系在一起的研究，也　　早已成為相應(yīng)分支的重要組成部分，如屬于Ｂａｎａｃｈ空間幾何范疇的Ｍａｚｕｒ</p&

33、gt;　?。椋睿簦澹颍螅澹悖簦椋铮钚再|(zhì)，最優(yōu)化理論的裝球問題（ｐａｃｋｉｎｇｐｒｏｂｌｅｍ），非線性泛函　　分析的拓?fù)涠壤碚摚瑥?fù)分析中的ｐｌａｎｋ問題等等，具體如下：　　一．　　Ｍａｚｕｒｉｎｔｅｒｓｅｃｔｉｏｎ性質(zhì)<p

34、>　　文獻(xiàn)［１】于１９３３年首先研究了具有Ｍａｚｕｒｉｎｔｅｒｓｅｃｔｉｏｎ性質(zhì)的Ｂａｎａｃｈ空　　間．Ｂａｎａｃｈ空間Ｘ稱為具有Ｍａｚｕｒｉｎｔｅｒｓｅｃｔｉｏｎ性質(zhì)，當(dāng)Ｘ中的任意有界閉　　凸集Ｋ是一族球的交，等價于對此Ｋ以及ｚ∈Ｋ，ｊ球Ｂ，Ｋ　　Ｃ</p&

35、gt;　?。拢螅簦剩拢墨I(xiàn)　　【２】Ｐｈｅｌｐｓ．Ｒ．Ｒ證明了有限維Ｂａｎａｃｈ空間ｘ具有Ｍａｚｕｒｉｎｔｅｒｓｅｃｔｉｏｎ性質(zhì)　　的充要條件是三ｋ。端點(diǎn)集在Ｓ支．中稠密．１９７８年Ｇｉｌｅｓ．Ｊ、Ｇｒｅｇｏｒｙ．Ｄ．Ａ，　　Ｓｉｍｓ．Ｂ證明了Ｂａｎａｃｈ空間Ｘ具有Ｍａｚｕｒｉｎｔ

36、ｅｒｓｅｃｔｉｏｎ性質(zhì)當(dāng)且僅當(dāng)取。　　的Ｗ＋一可凹集在趺．中稠密．在證明該定理時，發(fā)現(xiàn)Ｍａｚｕｒ　　ｉｎｔｅｒｓｅｃｔｉｏｎ　　性質(zhì)、占ｋ。的Ｗ＋一可凹集與Ｘ的光滑性有關(guān)．另外還提出了是否每個具有　?。停幔酰?ｉｎｔｅｒｓｅｃｔｉｏｎ性質(zhì)的Ｂａｎａｃｈ空間都是Ａｓｐｌｕ

37、ｎｄ空間（文獻(xiàn)【３】）．后　　來，文獻(xiàn)『４］Ｓｅｖｉｌｌａ．Ｍ．Ｊ和Ｍｏｒｅｎｏ．ｚＰ找到了一類具有Ｍａｚｕｒｉｎｔｅｒｓｅｃｔｉｏｎ　　性質(zhì)的等價范數(shù)的非Ａｓｐｌｕｎｄ空間．　　二．裝球問題（Ｐａｃｋｉｎｇｓｐｈｅｒｅｓ）　　Ｂａｎａｃｈ空間中裝球問題的研究，在近五

38、十年來也取得了令人矚目的發(fā)展．　?。拢幔睿幔悖杩臻g的球覆蓋性質(zhì)與光滑性　?。?lt;/b>　　我們說由半徑為ｒ的開球組成的一球族歷可以裝入Ｂａｎａｃｈ空間Ｘ的單位　　球Ｂｘ內(nèi)，如果歷內(nèi)任一元素均包含在取內(nèi)，且留中任相異兩球的交

39、　　為空．裝球值＾（ｘ）蘭ｓｕｐ｛ｒ：無窮多個半徑為ｒ的球可以裝入單位球Ｂｘ　　內(nèi)）．Ｒａｎｋｉｎ．Ｒ．Ａ等人給出了可分Ｈｉｌｂｅｒｔ空間與ｆｐ空間的裝球值（［５，６】）．　?。耍铮簦簦恚幔睿茫猎冢保梗罚澳甏_定了一般線性賦范空間裝球值的范圍是（｛，｛】（［７】）．　?。祝澹欤欤螅冖艉停祝?/p>

40、Ｕｉａｎｓ．Ｌ．Ｒ用內(nèi)插法的三線定理計算出了島空間的裝球值　?。ǎ郏浮浚希颍欤椋悖蛄锌臻g的裝球值的準(zhǔn)確表達(dá)式是葉以寧【９１（１９８３年，關(guān)于劉　　氏范數(shù)）和王延輔（１９８５年，關(guān)于奧氏范數(shù)）給出的．Ｏｒｌｉｃｚ—Ｍｕｓｉｅｌａｋ空　　間裝球值也已由吳從忻、葉以寧和Ｈｙｄｚｉｋ．Ｈ等人給出（［１０】）．Ｏｒｌ

41、ｉｃｚ函數(shù)空　　間裝球值的取值范圍已得到（【１１】）．Ｌｏｒｅｎｔｚ序列空間裝球值由葉以寧和張波　　給出（【１２】）．　　三．非緊性測度（Ｍｅａｓｕｒｅｏｆｎｏｎ—ｃｏｍｐａｃｔｎｅｓｓ）　　非緊性測度最早是由Ｋ．Ｋｕｒａｔｏｗｓ

42、ｋｉ（【１３】）于１９３０年提出的．Ｓ是實(shí)　　ｍ　?。拢幔睿幔悖杩臻gｘ的有界集，非緊性測度ａ（ｓ）蘭時｛占＞０：Ｓ＝Ｕ＆，直徑　　ｄ（Ｓｉ）≤６）．無窮維實(shí)Ｂａｎａｃｈ空間ｘ單位球和單位球面的非緊性測度都為　?。?，即Ｑ（上ｋ）＝Ｑ（ｓ

43、ｘ）＝２（［１４Ｄ．關(guān)于拓?fù)涠鹊姆蔷o性測度是研究非線性算子　　定性理論的有力工具．　?。ǜ嗟目蓞⒁娢墨I(xiàn)［１５，１６，３５，３６，３７】）　　四．Ｐｌａｎｋ問題　?。龋椋欤猓澹颍艨臻g日中，用一族板狀體ＰｌａｎｋＲ三｛尼∈Ｈ：Ｉ（＾，

44、ｅ）ｌ≤　　警，ＩｌｅｌＩ＝１）覆蓋球的研究也有五十多年的歷史．　?。保梗担蹦辏拢幔睿纾?ｉｉＥＮＴ　?。龋椋欤猓澹颍艨臻g日中，如果直徑Ｗ的球可以用一族寬分別為Ｗｎ的ＰｌａｎｋＲ覆　　蓋，則∑Ｗｎ≥ｗ（［１７１）．１９９１年Ｂａｌｌ．Ｋ把Ｂａｎｇ．Ｔ的證明從實(shí)Ｈｉｌ

45、ｂｅｒｔ空間　　推廣到一般Ｂａｎａｃｈ空間（［１８】）．２００１年Ｂａｌｌ．Ｋ更進(jìn)一步證明了在復(fù)Ｈｉｌｂｅｒｔ　　空間中，∑％２≥Ｗ２（［１９０．　?。拢幔睿幔悖杩臻g的球覆蓋性質(zhì)與光滑性　　５

46、　　可以說，整個Ｂａｎａｃｈ空間幾何學(xué)就是一部單位球和單位球面的幾何學(xué)．　　２００４年，程立新教授以全新的視角提出了對Ｂａｎａｃｈ空間單位球面的一系列　　的研究，用完全不同的方法得出了Ｂａｎａｃｈ空間單位球面的一系列幾何性質(zhì)．　　眾所周知，對一個有限維（可分無窮維）Ｂａｎａｃｈ空間Ｘ來說，由于其

47、;　　單位球面Ｓ支的緊性（可分性），故Ｓ文可被有限個（可數(shù)個）半徑任意小的　　不含原點(diǎn)為其內(nèi)點(diǎn)的閉球所覆蓋．自然地，有一系列問題就產(chǎn)生了，諸如能覆　　蓋５又的最少球數(shù)，覆蓋的最小半徑等等．由此出發(fā)，程立新教授進(jìn)行了一系　　列研究，其主要的研究成果可分為如下幾個部分ｓ&

48、lt;p>　　一?禮維Ｂａｎａｃｈ空間的極小系統(tǒng)　　這一部分主要考察Ｉｔ維Ｂａｎａｃｈ空間單位球面的球覆蓋最小勢及其覆蓋　　的最小半徑，并刻劃了極小勢』礞饑（ｘ）＝佗＋ｋ（ｋ∈Ｎ）的ｎ維Ｂａｎａｃｈ空　　間Ｘ的特征．　?。椋荆?/p>

49、０ｌ若對于一族對稱的球覆蓋｛研）下∈Ｊ（即｛Ｂ下］．下∈Ｊ＝｛一研｝丁∈Ｊ），則　　Ｉｔ≥２ｎ．特殊地，　　趿可被一族正好含有２禮個閉球的球族所覆蓋，且當(dāng)　　Ｘ＝（艫，”１１２）時，由２ｎ個閉球構(gòu)成的球覆蓋半徑不少于孚．　?。椋椋荆玻啊俊荆玻薄繉τ冢螅氲娜我庖蛔迩蚋采w｛

50、研）ｒ∞有Ｉｔ≥ｎ＋１．特殊地，當(dāng)　?。鵀楣饣瑫r，則存在一族恰好含ｎ＋１個閉球的球覆蓋．當(dāng)Ｘ＝（ｔＰ，｜Ｉ．㈦　　時，由幾＋１個閉球構(gòu)成的球覆蓋半徑不少于等，且當(dāng)這ｎ＋１個閉球的球心　　恰好在號Ｓｋ的內(nèi)接正則單形的頂點(diǎn)上時，可取得覆蓋半徑警．　　ｉｉｉ）［２２ｌ對任意佗＋

51、１≤忌Ｓ２ｎ，存在一ｎ維Ｂａｎａｃｈ空間ｘ，其單位球面　　趺的極小球覆蓋的勢恰為ｋ．　　ｉｖ）【２２ｌ對于佗維Ｂａｎａｃｈ空間Ｘ，其極小勢留翥饑（ｘ）＝凡＋ｋ（ｋ∈Ｎ）的　　充要條件是存在七個正整數(shù)碼和七個子空間瑪ｃＸ（Ｊ＝１，２，…，ｋ）使得　　Ｂａｎａｃｈ空間的球

52、覆蓋性質(zhì)與光滑性　?。?lt;/b>　　七　　（１）暑?，敚剑尧瑁得蓑荆?lt;/p>　　比　　ｌｌ&l

53、t;/p>　　七∑岸　?。?lt;/b>　　∈　?。?lt;/b>　?。ǎ玻疲睿辏剑?；</b&

54、gt;　　ｊ＝ｌ　?。ǎ常┝尊嚕ùa）＝ｎｉ＋１　　Ｊ＝１，２，…，ｋ．　　二?無窮維Ｂａｎａｃｈ空間的球覆蓋性質(zhì)　?。保拢幔睿幔悖杩臻g的可分性與球覆蓋性質(zhì)<p&

55、gt;　　ｉ）【２０】若Ｂａｎａｃｈ空間ｘ為可分的，顯然它具有球覆蓋．反之，設(shè)Ａ＝｛ｒ∈　?。遥海颍荆埃?，若任一具有可數(shù)球覆蓋且其覆蓋半徑不超過ｒ的Ｂａｎａｃｈ空間Ｘ　　為可分的，則Ａ的上確界是否存在？答案是肯定的，其上確界為１，但不可　　達(dá)到．<

56、;p>　　ｉｉ）【２０ｌ由凸集分離定理可證明具有可數(shù)球覆蓋的Ｂａｎａｃｈ空間ｘ，其對偶　　空間Ｘ’為Ｗ’一可分的．而反之，若Ｘ為Ｇａｔｅａｕｘ可微空間或是局部一致　　凸的，且Ｘ＋為Ｗ＋一可分的，則Ｘ具有可數(shù)球覆蓋．　?。玻苑纯臻g的球覆蓋性質(zhì)　　ｉ）【２２ＪＢａ

57、ｎａｃｈ空間ｘ是非方的充要條件是對Ｘ的每個非平凡佗維子空間　?。?ｃ　?。兀写抛I（ｙ）＝佗＋１．　?。椋椋荆玻玻蕦τ冢拢幔睿幔悖杩臻gＸ，若存在常數(shù)Ｏｌ，ｐ＞０，使得，對Ｘ的任一　　二維子空間ｙ，有一個球覆蓋留滿足（ｔ）ｒ（２）≤∥

58、；（２）留是Ｑ—ｏｆｆ原點(diǎn)　　的．則Ｘ一致非方．　?。椋椋椋郏玻病浚拢幔睿幔悖杩臻gｘ是超自反的充要條件是存在ｘ的一個等價范數(shù)１．１　　及兩個正值真函數(shù)Ｏｌ，ｐ：Ｎ—Ｒ＋使得對ｘ的任一個ｎ（ｎ∈Ｎ）維子空　　間ｙ&l

59、t;/b>　?。?lt;/b>　?。嬖谇蚋采w勿滿足（１）歷帶＝幾＋１；（２）ｒ（房）≤ｐ（禮）；（３）留是　?。幔ǎ睿┮唬铮妫嬖c(diǎn)的．　　３．【２３】商空間的球覆蓋性質(zhì)　?。拢幔睿幔悖杩臻g的球覆蓋

60、性質(zhì)與光滑性　?。?lt;/b>　　這一部分程立新教授證明了對一個無窮維的Ｂａｎａｃｈ空間Ｘ，它存在一　　個等價范數(shù)ｌ?ｌ及一閉子空間ｙ，且ｄｉｍＸ／Ｙ＝ｏｏ，使得ｘ／Ｙ對于范數(shù)Ｉ?ｌ　　具有球覆蓋性質(zhì)，從而可得一個Ｂａｎａｃｈ空間Ｘ有一無窮維的可

61、分商空間當(dāng)　　且僅當(dāng)Ｘ中存在一無窮維的商空間滿足其單位球面具有可數(shù)球覆蓋，且覆蓋　　半徑ｒ＜１．　　三?【２３】不具有球覆蓋性質(zhì)的Ｂａｎａｃｈ空間　　若Ｂａｎａｃｈ空間Ｘ不具有球覆蓋性質(zhì)，則對Ｖ￡＞０，｜Ｉｔ＞Ｒｏ及雙正</p&

62、gt;　　交系｛（ｚｉ，ｚ；））ｔ∈Ｊ　　ＣＸ　?。?lt;/b>　　Ｘ＋，ｓ．ｔ　?。螅酰穑桑簦桑桑海欤伞埽保牛?lt;/p>

63、　?。椋牛?lt;/b>　　本文在此基礎(chǔ)上，主要是針對第二部分內(nèi)容得到若干結(jié)果．　　ｃｈｅｎｇ［２０】給　　出了：若Ｘ為Ｇａｔｅａｕｘ可微性空間，則Ｘ具有球覆蓋性質(zhì)的充分必要條件　　是Ｘ＋為ｗ‘一可分的．這說明在Ｇａｔｅａｕｘ可

64、微性空間中，球覆蓋性質(zhì)是拓?fù)?lt;/p>　　不變量．由凸集分離定理易證具有球覆蓋性質(zhì)的Ｂａｎａｃｈ空間Ｘ，其對偶空　　間Ｘ＋是Ｗ＋一可分的．然而，對偶空間Ｘ＋為Ｗ＋一可分的Ｂａｎａｃｈ空間ｘ是　　否具有球覆蓋性質(zhì)呢（即文獻(xiàn)［２０】中問題３）？本文通過在ｆ∞上構(gòu)造不同的　　范數(shù)證明了Ｂ

65、ａｎａｃｈ空間Ｘ的球覆蓋性質(zhì)既不是線性同胚不變的，也不是在　　商映射下不變的，同時，它也不具有子空間的可繼承性．并且本文證明了具有　?。拢茫械目蓴?shù)多個Ｂａｎａｃｈ空間，它們的乘積在無窮范數(shù)意義下也具有ＢＣＰ．　　另外，本文在第三章中還給出了一個一致光滑的等價條件．<

66、b>　　全文共分為三章：　　第一章，主要回顧了從Ｂａｎａｃｈ空間單位球出發(fā)研究Ｂａｎａｃｈ空間性質(zhì)的　　一些成果，并給出了本文的研究基礎(chǔ)．　　第二章，主要是研究Ｂａｎａｃｈ空間Ｘ的球覆蓋性質(zhì)．我們首先回顧一些預(yù)　　備知識，這些預(yù)備知識主要是本章涉

67、及的一些記號及基本定義和基本定理．接　?。拢幔睿幔悖杩臻g的球覆蓋性質(zhì)與光滑性　?。?lt;/b>　　著給出了主要定理．　　第三章，本部分主要給出了一個類似光滑模的幾何常數(shù)，得到了一個一致

68、　　光滑的等價條件．　?。拢幔睿幔悖杩臻g的球覆蓋性質(zhì)與光滑性　?。?lt;/b>　　第二章　　Ｂａｎａｃｈ空間中的球覆蓋性質(zhì)<

69、;p>　　§２．１相關(guān)概念和性質(zhì)　　為證明主要結(jié)果，我們先給出一些定義和定理．不作特別聲明，本文總假　　設(shè)Ｘ是一實(shí)Ｂａｎａｃｈ空間，其對偶空間為Ｘ’．我們以Ｊｓ又表示Ｘ的單位球　　面，Ｂｘ表示Ｘ的單位球；同樣地，以Ｓｘ。表示Ｘ‘的單位球面，

70、;　?。拢?lt;/b>　　示ｘ＋的單位球；　?。拢ǎ?，ｒ）表示ｘ中以ｚ為中心，半徑為ｒ的閉球．且在不　　至于產(chǎn)生混淆時也以Ｂ（ｚ，ｒ）表示開球．　　定義２．１．１

71、　?。椋┓Q｛研）ｒ∈Ｊ為＆的一個球覆蓋，若對Ｖ７－∈，，日為內(nèi)部　　不含原點(diǎn)的閉球，且Ｓｘ　　Ｃ　?。昭校?lt;/b>　　ｉｉ）稱Ｂａｎａｃｈ空間ｘ具有球覆蓋性質(zhì)（簡記為ＢＣＰ），如果｜

72、＜ｚｎ】．篙產(chǎn)Ｃ　?。?lt;/b>　　，ｒｎ＞０，ＩＩＸｎＩＩ≥ｒｎ，使得，－毀ＣＵＢ（ｚｎ，‰）．　　定義２．１．２定義于Ｘ中開凸子集Ｄ上的一個廣義實(shí)值真函數(shù)．廠稱為凸　　函數(shù)，如果對Ｖｚ，Ｙ∈Ｄ及０≤Ａ≤１，有&

73、lt;p>　　，（入ｚ＋（１一Ａ）可）≤Ａ，（ｚ）＋（１一Ａ）ｆ（ｙ）　　顯然，，是凸的當(dāng)且僅當(dāng)喇（．廠）是Ｘ×Ｒ中的凸集．　　定義２．１．３　?。刂虚_凸子集Ｄ上實(shí)值凸函數(shù)，的次微分映射ｏ／：Ｄ一２ｘ’

74、;　　定義為　　ａ．廠（ｚ）＝｛ｚ＋∈Ｘ＋：Ｙ（ｙ）一，（ｚ）≥（Ｘ＋，Ｙ—ｚ），ＶＹ∈Ｄ】．，ｚ∈Ｄ　　定義２．１．４　?。椋┒x于Ｘ中開凸子集Ｄ上的一個連續(xù)凸函數(shù)，稱在　?。剩奶幨牵牵幔簦澹幔酰晌⒌?，若存

75、在ｚ＋∈Ｘ＋，使得對任意Ｙ∈Ｘ，有　?。欤椋恚劢z塑，上型一（ｚ＋，可）】．０　　Ｂａｎａｃｈ空間的球覆蓋性質(zhì)與光滑性　?。保?lt;/b>　　此時，稱ｚ’為，在ｚ處的Ｇａｔｅａｕｘ微分．　　ｉｉ）Ｂａｎａｃ

76、ｈ空間Ｘ稱為是Ｇａｔｅａｕｘ可微空間，若任一定義于非空開凸集　?。?ｃ　　Ｘ上的連續(xù)凸函數(shù)在Ｄ的—個稠密子集上處處Ｇａｔｅａｕｘ可微．　　定義２．１．５設(shè)Ｃ為Ｂａｎａｃｈ空間上的非空有界閉凸子集，稱點(diǎn)ｚ∈Ｃ　　為Ｃ的一個暴露點(diǎn)（強(qiáng)暴露

77、點(diǎn)），若｜ｚ＋∈Ｘ’，ｓ．ｔ　　Ｖ　?。佟剩?，Ｙ≠ｚ，有　　缸＋，Ｙ）＜（Ｘ‘，ｚ）（切片｛可∈Ｃ：（ｚ’，Ｙ）＞扛’，ｚ）一Ｑ）ａ＞ｏ構(gòu)成Ｘ∈Ｃ點(diǎn)處的局　　部基），相應(yīng)地，稱ｚ’為Ｃ的一個暴露泛

78、函（強(qiáng)暴露泛函）．若凸集Ｃ∈ｘ＋，　　我們可類似定義Ｃ的Ｗ＋一暴露點(diǎn)（Ｗ＋一強(qiáng)暴露點(diǎn)），但其Ｗ’一暴露泛函　?。ǎ住粡?qiáng)暴露泛函）取自Ｘ而不是ｘ”．　　顯然Ｃ∈Ｘ‘的Ｗ＋一暴露點(diǎn)為Ｃ的暴露點(diǎn)；若Ｘ是自反的（特殊地，　?。貫橛邢蘧S），則Ｗ＋一暴露點(diǎn)與暴露點(diǎn)一致．</p

79、>　　定義２．１．６稱Ａ　?。?lt;/b>　　Ｘ＋為賦范集，若ｊ　?。眩荆?，ｓ．ｔＶ

80、　　ｚ∈Ｘ，有　　ｓｕｐ（ｚ＋，Ｘ）≥Ｑ惻Ｉ　　正。ＥＡ　　定義２．１．７稱Ｄ　?。?lt;/b>　?。兀?/p>

81、分離ｘ中的點(diǎn)，若對比∈ｘ＼｛Ｄ），３ｘ’∈Ｄ，　?。螅簦ǎ亍?，ｚ）＞０．　　性質(zhì)２．１．８設(shè)Ｐ是定義于空間Ｘ上的Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ泛函，則有　　ｉ）Ｐ在Ｘ點(diǎn)處Ｇｎ亡ｅｎ釓ｚ（Ｆｒｇｃ九ｅ亡）可微且Ｇ耐ｅｎ亂ｚ（Ｆｒ∈ｃ九ｅ亡）微分是ｚ＋的充　　要條件是Ｘ’是驢的Ｗ＋一暴

82、露點(diǎn)（Ｗ＋一強(qiáng)暴露點(diǎn)）且其暴露泛函（強(qiáng)暴露　　泛函）是Ｘ．　　ｉｉ）Ｘ’∈ａｐｘ）當(dāng)且僅當(dāng)ｚ‘∈Ｃ＋，（ｚ＋，Ｘ）＝ｐ（ｚ），其中Ｃ’定義為集Ｃ三　?。勖搿剩兀海穑ǎ埽保┑臉O，即Ｃ＋＝｛．廠∈Ｘ。：ｌ，（ｚ）Ｉ≤１，ＶＸ∈Ｃ）．<p&g

83、t;　?。拢幔睿幔悖杩臻g的球覆蓋性質(zhì)與光滑性　　§２．２球覆蓋性質(zhì)不是同胚不變的　　首先，我們設(shè)入∈［０，ＩＩ，并定義ｐ：ｊｏｏ—呻Ｒ為　?。穑ǎ剑欤椋恚螅酰?Ｉｚ（ｎ）Ｉ、—童＝（ｚ（禮））∈ｚ∞．　　此時可令”隊(duì)＝刈?０＋（１一入）ｐ，其中”ｌＩ表示ｆ∞

84、中的自然范數(shù)．　　定理２．２．１【２４１弘＝（ｚ∞，Ｉ｜．隊(duì)）具有ＢＣＰ的充分必要條件是Ａ＞ｉ１．　　在證明該定理之前，我們先給出以下引理．　　引理２．２．２【２５】任何可數(shù)無窮集必包含不可數(shù)的子集族，使得每個子集是　　無限的，且兩兩（相異）的交集是有限的．</p&

85、gt;　　引理２．２．３【２４】設(shè)｛Ｒ）器１為一集合序列，其中Ｒ　?。?lt;/b>　　Ｎ，Ｆ２＝∞（Ｖｎ∈Ｎ）．　　則存在｛Ｇｎ）黯１，使得Ｇ霧＝∞，Ｇｎ　　時，（甌ＮＧｍ）襻＜ｏｏ．<p&g

86、t;　?。?lt;/b>　?。遥ā搿剩危┣耶?dāng)ｍ，凡∈Ｎ，ｍ≠ｎ　　證明：由芹＝ｏｏ，Ｆ１　?。?lt;/b>　?。?，對Ｆ１利用引理２．２．２知，｜五＝｛ｆ１）刖，其　　中』帶＝Ｎ，使

87、得，Ｆ２　?。?lt;/b>　?。疲?，（Ｆ２）書＝ｏｏ（ｗ∈，）且當(dāng)∈，叩∈Ｎ，∈≠叩時，　?。ㄅ遥钛桑В迹铮铮?lt;/p>　　對ｖｊ≥１，定義晴１如下：　　磷。：｛研１＇ｎ乃＋１，<p

88、>　　削肛死∽鳴＋１礦鋤，　　當(dāng)３Ａ∈五，（ＡＮＦｊ＋１）社＝∞．　　因五不可數(shù)，故ｊ矸∈五，使得ｖｊ≥１，有（矸ｎ聘１）孝＜ｏｏ．　　注意到毋ｃＦ２，（Ｆ１）帶＝∞．對尼利用引理２．２．２知，｜五＝｛砰）日，　　其中，孝＝Ｒ，使得，砰Ｃｒ１，（砰）樺＝ｏｏ

89、（ｖ６∈，）且當(dāng)∈，叩∈Ｎ，∈≠叩時，　?。叮畹K）孝＜∞．　　Ｂａｎａｃｈ空間的球覆蓋性質(zhì)與光滑性　　對ｖ歹≥２，定義硌１如下。　?。保?lt;/b>

90、;　　臻。＝　　乃＋１，　?。?lt;/b>　　當(dāng)ＶＡ∈五，（ＡｎＦｊ＋１）孝＜ＯＯ，　　當(dāng)３Ａ∈無，（Ａｎ乃＋１）斧＝ｏｏ．　　因五不可數(shù)，

91、故ｊ霹∈無，使得Ⅵ≥２，有（露ｎ硌１）移＜ｏｏ　　設(shè)對佗≥Ｉ，定義曰Ｏ≥ｎ）滿足　?。椋┛冢憧桑?ｃ…ｃ曰三Ｆｊ　?。椋椋梗В剑埃扒遥ǖ穑钍铮保┘梗迹埃?lt;/p>　　由（％１）孝＝。ｏ，％１　?。?lt;/b>

92、;　?。遥?，對曙１利用引理２．２．２，可找到一序列　?。伞埃┢鳎睿保沟?，Ⅵ≥禮＋１　　蚴刁“ｃ曰ｃ…ｃ日三乃　　ｉｖ）（可＋１）孝＝ＣＯ且（蹦ｎ。Ｆｊｊｎ＋＋１ｌ，、孝＜ｏｏ　　因此，我們得到一序列｛四）罌１，使得<

93、/p>　?。牛?lt;/b>　?。?lt;/b>　　Ｒ，（四）社＝００　?。郑睢剩?，　　且</b

94、>　?。ㄋ模?ｊ：：）孝＜００Ｖｍ，ｎ∈Ｎ，ｍ≠ｎ．　　故令Ｇｎ＝研即可完成證明．　　接下來我們來證明定理２．２．Ｉ．　　定理２．２．１的證明：　　充分性：若Ｉ≥入＞ｉ１，此時，令ｚ寺＝：ｌ：２ｅｎ（ｅｎ表示標(biāo)準(zhǔn)單位向量）

95、，　?。保迹颍迹玻粒⒁獾剑桑欤鷦潱粒剑玻欤欤澹睢恚剑玻粒荆?，即Ｖｎ，Ｂ（ｚ孝，７’）不包含原點(diǎn)．　　下證ｔＢ（ｚ孝，ｒ））箍，即為墨的一個球覆蓋．　?。拢幔睿幔悖杩臻g的球覆蓋性質(zhì)與光滑性　　１３<p&g

96、t;　　事實(shí)上，對Ｙｕ∈Ｐ，ＩＩｕ隊(duì)＝１，有Ｉｌｕｌｌ≥１，ｐ（ｕ）≤１且ＩｌｕｌＩ＝１告今　　ｐ（ｕ）＝１．　　由Ｉｌｕｉｌ定義知，對尋＞０，彤∈Ｎ，使得ｌｕ（ｊ）ｌ＞｜Ｉ讓０一譬．不失一般性，　　我們假設(shè)ｕ（ｊ）＞０．<b&

97、gt;　　因此　　ＩＩ哼一仳０Ａ＝ＡＩＩ哼一ｕ｜Ｉ＋（１一Ａ）ｐ（哼一ｕ）　?。剑粒桑刹乓唬酰欤桑ǎ币唬粒穑ǎ酰?lt;/p>　?。剑恚幔惨唬酰埃螅酰?Ｉｕ（ｉ）Ｉ）＋（１一入）ｐ（亂）　?。魠s

98、;　　如果　?。惨唬酰ǎ辏埽螅酰?Ｉ仳（ｉ）Ｉ（≤Ｉｌｕｌｌ），　　ｉ７勺　　那么　?。桑珊咭粊yＩ｜＾≤入ｌｌｕｌＩ＋（１一Ａ）ｐ（讓

99、）＝ＩｌｕｉｌＡ＝１＜ｒ．　　如果　?。惨唬酰ǎ辏荆螅酰?Ｉｕ（ｉ）Ｉ，　?。簟伲?lt;/b>　　那么　?。桑桑灰唬酰桑欤粒?/p>

100、入（２一讓０））＋（１一Ａ）ｐ（亂）　?。迹粒ǎ惨唬欤祓嚕欤欤珜ぃǎ币唬幔穑ǎ酰?lt;/p>　　≤Ａ（１＋與｝）＋（１一入）＝ｒ　　因此，“∈Ｂ（哼，ｒ）．　　必要性：當(dāng)０≤入≤ｉ１時，設(shè)ｘＡ具有球覆蓋性質(zhì)，即｜ｚ竹∈２∞，ｌＩｚｎ隊(duì)≥

101、　　ｒｎ＞０，Ｖｎ∈Ｎ，使得　?。?。ｃ　　ＵＢ（％，ｈ）　?。拢幔睿幔悖杩臻g的球覆蓋性質(zhì)與光滑性　　現(xiàn)劃分｛％）黯，為以下兩部分：　　研＝｛ｚｎ：ｐ（ｚ

102、ｎ）＞ｏ）蘭｛‰，．　　和　?。印海玻剑睿海穑ǎ睿剑铮?lt;/p>　　則對‰，存在遞增的正整數(shù)序列｛訊】．使得　?。椋?lt;/b>　?。保?lt;/

103、b>　　利用引理２．２．３，當(dāng)ｍ，佗∈Ｎ，仇≠幾時，　?。ǎ砥撸┟ⅲ?ｎ｛‰）是１）拳＜ｏｏ　　∞　　令Ａ＝Ｕ｛ｎ七）芒１．規(guī)定｛０．，］。：。＝０．定義ｕ∈｛－１，１）Ｎ如下ｓ<

104、;b>　?。睿?lt;/b>　?。酰悖椋剑笙Γ睢搿?；，，；｝ｉ耋￡二釜八變。九，罌。．　　易知，　　ｌｌｕｌｌＡ＝１，且Ｖｎ∈Ｎ，至多存在有限多個正整數(shù)ｉ∈｛仃＿ｊｃ】－使得　　ｓｇｎｚｎ（ｉ）＝ｕ（ｚ）．

105、　　因此　　ｐ（ｚ）＝　　ｌｉｍｓｕｐｌｚ（ｎ）　　住　?。穑ǎ睿保剑穑ā耄穑ǎ酰荩穑ǎヒ唬眨?lt

106、;/p>　　≥ｌｉｍｓｕｐｌｚｎ（ｎｋ）一ｕ（ｎｋ）　?。?lt;/b>　　即　?。穑ā胍唬酰剑穑ā耄?lt;/p>　　注意到，ＶＸ∈島，有ｐ（ｚ）＝０．因此&

107、lt;p>　　Ｖｎ∈Ｎ　?。拢幔睿幔悖杩臻g的球覆蓋性質(zhì)與光滑性　?。保?lt;/b>　?。穑ǎ睢眨剑穑ǎ睿?lt;/p>　?。郑睢剩?lt;/b><p&

108、gt;　　所以　　ｚｎ一釓ＩＩＡ＝ＡＩｌｚｎ—ｕ０＋（１一入加（ｚｎ—ｕ）　?。剑粒桑妫睢酰桑桑ǎ币蝗耄穑ǎ睿保?lt;/p>　　≥入（１ｌｘｎ０—１）＋（１一Ａ）０（ｚｎ）＋１）　?。剑桑桑睿妫桑粒薄踩耄荆欤桑睿欤欤痢荩颍睿?/p>

109、　　這表明，Ｕｇ　?。?Ｂ（ｚｎ，ｒｎ）．矛盾！　　該定理表明球覆蓋性質(zhì)不是同胚不變的．同時，它對文獻(xiàn)【２０】中的問題３　　給出了否定的回答．<b

110、>　　推論２．２．４　?。拢茫胁痪哂型卟蛔冃裕?lt;/p>　　證明：利用定理２．２．１，取Ａ＝ｉ１，ｘ｛＝（Ｐ，ＩＩ。鴨）不具有ＢＣＰ．　　而?。粒剑?，Ｘ１＝（Ｐ，ＩＩ?１１１）具有ＢＣＰ．并且ＩＩ?№與”１１１等價，由此說　　明，ＢＣＰ不具有同胚不變性．

111、　　推論２．２．５若Ｂａｎａｃｈ空間Ｘ具有ＢＣＰ，則其對偶空間Ｘ＋是Ｗ’一可　　分的，但反之不真．　　推論２．２．６［２４】ＢＣＰ不能遺傳到商空間上．　　證明：令Ｘ＝ｆ∞，Ｘｏ＝Ｃｏ．記［．】：Ｘ－－－－－４Ｘ／Ｘｏ為商映射．商范數(shù)

112、”｜Ｉ　　定義為ｔ　?。保桑郏保保桑剑穑ǎ?lt;/p>　?。诌湃啊剩兀兀铮?lt;/p>　　由定理２．２．１知，不存在可數(shù)球族｛Ｂ（ｚｎ，ｒｎ））箍１（其中ｐ（ｚｎ）≥ｒｎ＞０），使

113、００　　得Ｓ三｛ｚ∈ｚ∞：ｐ（ｚ）＝１１　?。?lt;/b>　?。?Ｂ（ｘｎ，％）．注意到Ｃｏ三｛ｚ∈ｆ∞：ｐ（ｘ）＝０１．　　付＝１　　因此，Ｘ／

114、Ｘｏ的單位球面Ｓ■‰不能被Ｘ／Ｘｏ中可數(shù)多個不含ｘ／％原點(diǎn)的　　球所覆蓋．　?。拢幔睿幔悖杩臻g的球覆蓋性質(zhì)與光滑性　　下面的推論表明，球覆蓋性質(zhì)不能遺傳到子空間上．　?。保?lt;/b>

115、　　推論２．２．７１２４１　　Ｐ中存在不具有球覆蓋性質(zhì)的閉子空間．　　證明；如定理２．２．１定義Ｘｘ，令入＝ｉ１，則ｌＩ．嶺＝｛（１１．１ｌ＋Ｐ）且ｘ§不具　　有球覆蓋性質(zhì)．因ｘｉ＝（ｆ∞）’＝ｆ１ｏ若是Ｗ＋一可分的，故ｊ｛ｚ：）黯１　　使得

116、｛ｚ：）甚。在Ｂｘｉ中Ｗ＋一稠密．　　Ｚ　　定義Ｔ：Ｘ≥一ｆ∞為：　?。泔L(fēng)：，　?。裕剑ǎǎ?，ｚ））黯１　　比∈強(qiáng)

117、;　　～　　””２　?。欤桑裕埃剑螅酰睿?lt;/p>　　ｌ＜ｚ：，ｚ）Ｉ．又由｛ｚ：】－黯?在??；中的伽‘一稠密性知，ＩＩＴｘｌｌ＝１１２１１｛‘　　即丁是一等距同

118、構(gòu)．因Ｘ｛不具有球覆蓋性質(zhì)，故ＴＸ｛亦不具有球覆蓋性質(zhì)．　　§２．３乘積空間的球覆蓋性質(zhì)　　本節(jié)證明了：具有ＢＣＰ的可數(shù)多個Ｂａｎａｃｈ空間，它們的乘積在無窮范　　數(shù)意義下也具有ＢＣＰ．　　在給出主要定理之前，先看如下已知定理２．３．１．

119、　　定理２．３．１１２３１設(shè)ｘ為Ｂａｎａｃｈ空間，　?。怼剩?lt;/b>　　ＵＮｏ，｛玩）銎１∈Ｘ．則　　ｊ　?。伲椤剩遥兀?，ＩＩ璣Ｉ｜＞ｒｉ＞０，ｓ．ｔ．趺ｃＵＪＥｉ（璣，ｎ）的充

120、要條件是對硎?０在　?。妫├洠鄙系拿總€選擇妒，｛妒（甄））罌１都正定地分離Ｘ中的點(diǎn)，其中Ｎｏ定義　　為可數(shù)集的勢．　?。埃?lt;/b>　　定理２．３．２設(shè)（％，１１．１Ｉｎ）７／，＝１，２…為Ｂａｎａｃｈ空

121、間，令Ｘ＝（兀％，１１．　?。睿剑?lt;/b>　?。铮?lt;/b>　　ＩＩ∞）其中忙｜Ｉ∞＝ｓｕｐＩｌｚｎ‰比＝（Ｘｎ）罌１∈ｎ．ｋ．若對‰，墨具有ＢＣＰ，　　則Ｘ具有ＢＣＰ．&l

122、t;/p>　?。?lt;/b>　?。睿剑?lt;/b>　　?　　Ｂａｎａｃｈ空間的球覆蓋性質(zhì)與光滑性　?。保?lt;/b></p

123、>　　證明：若對Ｖｎ，Ｋ具有ＢＣＰ，由定理２．３．１知，ｊ｛ｚ：ｎ’）罌１Ｃ既使得　　對圳ｚ，＞１１ｎ的每個選擇妒，｛妒（ｚ：ｎ’））罌，正分離矗中的點(diǎn)．　　記　　霹ｎ’＝（ｏ，…，ｚ：ｎ’，０，…）∈ＩＩｊｏ<p

124、>　?。睿剑?lt;/b>　?。睿簦?lt;/b>　　ｉ，ｎ∈Ｎ　　貝ｏ　?。幔桑赡睢欤桑铮铮荩ǎ?，…，壚（ｚ：ｎ’），０，…）：妒是ａ

125、Ｉｌｚ：ｎ’ｌｌｎ的—僦擇】．Ｖｉ，佗∈Ｎ　?。睿簦?lt;/b>　　于是ｊ｛墨ｎ’ｈ仃∈ＮＣ．毀，使得對訓(xùn)毒幾＞１１∞的每個選擇≯，如（霹ｎ’）ｈｎ∈Ｎ正分　　離Ｘ中的點(diǎn)．　　否則，<

126、;/b>　?。诤粒睢剩伞薜囊粋€選擇而，使得｛而（墨竹’））伽∈Ｎ不能正分離Ｘ中的　　點(diǎn)．　　即｜ｏ≠玩∈Ｘ，使得，對Ｖ礦∈｛而（毒ｎ’）ｈｎ∈Ｎ有（礦，－０）≤０．　　不妨設(shè)５０中第ｋ個分量ｚ乎’不為０．

127、　　則　　（（ｏ，…，伽（ｚ５七’），０，…），＿０）≤０．　　ｋｔｈ　　其中‰是圳ｚ：ＭＩＩ七的一個選擇．　　從而（‰（ｚ≯’），ｚ乎’）≤０<

128、;p>　　故Ｘ具有ＢＣＰ．　　Ｖ　?。椋?！　　Ｂａｎａｃｈ空間的球覆蓋性質(zhì)與光滑性　?。保?lt;/b>

129、　　第三章　　一致光滑的等價條件　　我們知道，Ｂａｎａｃｈ空間的各種凸性和光滑性以及范數(shù)可微性的研究，在　　最佳逼近、不動點(diǎn)原理上有重要應(yīng)用．而凸性模、光滑模、一致正規(guī)結(jié)構(gòu)常數(shù)

130、;　　等Ｂａｎａｃｈ空間幾何常數(shù)給出了該空間相應(yīng)幾何性質(zhì)的定量刻畫．本部分給　　出了一個類似光滑模的幾何常數(shù)，得到了一個一致光滑的等價條件．　　§３．１相關(guān)概念和性質(zhì)　　定義３．１．１一致光滑　?。拢幔睿幔悖杩臻gＸ稱為是一致光滑的，如果對Ｖｅ＞０，劭＞０，使得當(dāng)

131、　?。?，Ｙ∈Ｘ，ｚ∈－ｓ支，ＩｌｙｌＩ＜６時，　　ＩＪｚ＋秒ｌＩ＋ＩＩｚ一秒｜Ｉ＜２＋￡ｌｌｙｌＩ　　定義３．１．２光滑模　　定義實(shí)函數(shù)　?。剩模ǘ。海螅酰鸨O(jiān)生業(yè)掣竺型一１（?。荆铮?lt

132、;/p>　?。?lt;/b>　　稱　　ｐｘ（＇ｒ）：［０，ｏｏ）＿［０，００）　　是Ｘ的光滑模．　　易見，Ｘ是一致光滑的充要條件是鼉皿＿０&l

133、t;/p>　　定義３．１．３定義實(shí)函數(shù)　?。穑欤ǎ罚海郏埃?。ｏ）一［０，ｏ。）　?。ǘ。撸铮?lt;/b>　?。拢幔睿幔悖杩臻g的球覆蓋性質(zhì)與光滑性　　∥ｘＴ）＝ｓｕｐｍｉｎ｛ｌｌｚ＋７－秒０—１，Ｉｌｚ一７

134、－引Ｉ一１）　?。牛樱?lt;/b>　　計＞０　　１９　　定義３．１．４<b&g

135、t;　　Ｇａｔｅａｕｘ可微　?。拢幔睿幔悖杩臻gＸ的范數(shù)說成是Ｇａｔｅａｕｘ可微的，如果對比ｏ∈ｓｘ，Ｙ∈　?。?，Ｅ＞０，｜６三６（Ｅ，ＸＯ，Ｙ）＞０和數(shù)Ｄ（ｘｏ，可），使得　　定理３．１．５【叫設(shè)Ｘ是Ｂａｎａｃｈ空間，則以下的陳述等價：　?。ǎ保?/p>

136、一致光滑的；　　（２）ｘ‘是一致凸的；　　（３）Ｘ的范數(shù)是一致Ｆｒｅｃｈｅｔ可微的．　　定理３．１．６凸集分離定理　　設(shè)Ｘ為賦范空間，Ｍ是ｘ的子空間，ＸＯ∈Ｘ，ｄ＝ｄ（ｘｏ，Ｍ）＞０．　　貝０ｊｚ＋∈Ｘ＋使得

137、　?。ǎ保ǎ剑埃ǎ剩掎埽?lt;/p>　?。ǎ玻ǎ铮剑洌?lt;/p>　?。ǎ常┟Α桑剑保?lt;/p>　　§３．２一致光滑的等價條件　　我們知道，若定義　　蹦￡）＿刪ｉｎ∈

138、ｆ婦ｍａｘ｛１］ｚ＋剮Ｉ｜．１，］ｉｘ－Ｅ訓(xùn)一１】．　　垤∈（０）２）　　有：Ｘ一致凸錯６７ｘ（Ｅ）＞０　　垤∈（０，２）（文獻(xiàn)［３３］）　?。拢幔睿幔悖杩臻g的球覆蓋性質(zhì)與光滑性　　從而提出下

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banach空間球覆蓋性質(zhì)和光滑性

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