信號系統(tǒng)課程設計--系統(tǒng)函數的零極點分布決定時域特性

1、<p><b>　　課程設計任務書</b></p><p><b>　　摘 要</b></p><p>　　本文詳細分析了系統(tǒng)函數零極點的分布與沖擊響應時域特性之間的關系。首先論述了如何通過MATLAB軟件繪制出系統(tǒng)函數的零極點分布圖。然后根據系統(tǒng)函數極點的不同分布情況，通過MATLAB軟件繪制出沖擊響應的時域函數，通過對圖像的觀察和比

2、較，得出了極點的類型決定時間函數的時間連續(xù)形式，極點在S平面的位置決定時間函數的波形特點。最后，在極點相同，但零點不同的情況下，通過比較時域函數的波形，得出零點分布與時域函數的對應關系，即零點分布的情況只影響到時域函數的幅度和相位。</p><p>　　關鍵詞：系統(tǒng)函數的零極點；時域特性；MATLAB軟件</p><p><b>　　目 錄</b></p>

3、<p>　　1 課程設計目的1</p><p><b>　　2 實驗原理1</b></p><p><b>　　3 實現過程1</b></p><p>　　3.1 MATLAB簡介1</p><p>　　3.2 系統(tǒng)函數極點分布情況2</p><

4、p>　　3.2.1 極點為單實根2</p><p>　　3.2.2 極點為共軛復根2</p><p>　　3.2.3 極點為重根2</p><p>　　3.2.4 用MATLAB繪制系統(tǒng)函數的零極點分布圖2</p><p>　　3.3 系統(tǒng)函數的零極點分布與沖擊響應時域特性的關系6</p><p&

5、gt;　　3.3.1 用MATLAB繪制沖擊響應的時域函數6</p><p>　　3.3.2 極點的類型決定時間函數的時間連續(xù)形式19</p><p>　　3.3.3 極點在S平面的位置決定時間函數的波形特點19</p><p>　　3.3.4 零點分布與時域函數的對應關系19</p><p>　　4 設計體會23<

6、/p><p>　　5 參考文獻24</p><p><b>　　1 課程設計目的</b></p><p>　　1.掌握系統(tǒng)函數的零極點分布與系統(tǒng)沖激響應時域特性之間的關系。</p><p>　　2.學習MATLAB軟件知識及應用。</p><p>　　3.利用MATLAB編程，完成相應的信號分析

7、和處理。</p><p><b>　　2 實驗原理</b></p><p>　　拉普拉斯變換將時域函數f(t)變換為s域函數F(s)；反之，拉普拉斯逆變換將F(s)變換為相應的f(t)。由于f(t)與F(s)之間存在一定的對應關系，故可以從函數F(s)的典型形式透視出f(t)的內在性質。當F(s)為有理函數時，其分子多項式和分母多項式皆可分解為因子形式，各項因子指明

8、了F(s)零點和極點的位置，顯然，從這些零點和極點的分布情況，便可確定原函數的性質。</p><p>　　設連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數為，沖激響應為，則</p><p>　　顯然，必然包含了的本質特性。</p><p>　　對于集中參數的LTI連續(xù)系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數可表示為關于s的兩個多項式之比，即</p><p>　　其中為的M個零點，為的N個極點。

9、</p><p><b>　　3 實現過程</b></p><p>　　3.1 MATLAB簡介</p><p>　　MALAB譯于矩陣實驗室（MATrix LABoratory），是用來提供通往 LINPACK和EISPACK矩陣軟件包接口的。后來，它漸漸發(fā)展成了通用科技計算、圖視交互系統(tǒng)和程序語言。</p><p&g

10、t;　　MATLAB的基本數據單位是矩陣。它的指令表達與數學、工程中常用的習慣形式十分相似。比如，矩陣方程Ax=b，在MATLAB中被寫成A*x=b。而若要通過A，b求x，那么只要寫x=A\b即可，完全不需要對矩陣的乘法和求逆進行編程。因此，用MATLAB解算問題要比用C、Fortran等語言簡捷得多。</p><p>　　MATLAB發(fā)展到現在，已經成為一個系列產品：MATLAB“主包”和各種可選的toolbo

11、x“工具包”。主包中有數百個核心內部函數。迄今所有的三十幾個工具包又可分為兩類：功能性工具包和學科性工具包。功能性工具包主要用來擴充MATLAB的符號計算功能、圖視建模仿真功能、文字處理功能以及硬件實時交互功能。這種功能性工具包用于多種學科。而學科性工具包是專業(yè)性比較強的，如控制工具包（Control Toolbox）、信號處理工具包(SignalProcessing Toolbox)、通信工具包(Communication Toolb

12、ox)等都屬此類。開放性也許是MATLAB最重要、最受人歡迎的特點。除內部函數外，所有MATLAB主包文件和各工具包文件都是可讀可改的源文件，用戶可通過對源文件的修改或加入自己編寫文件去構成新的專用工具包。</p><p>　　MATLAB已經受了用戶的多年考驗。在歐美發(fā)達國家，MATLAB 已經成為應用線性代數、自動控制理論、數理統(tǒng)計、數字信號處理、時間序列分析、動態(tài)系統(tǒng)仿真等高級課程的基本教學工具；成為攻讀學

13、位的大學生、碩士生、博士生必須掌握的基本技能。在設計研究單位和工業(yè)部門，MATLAB被廣泛地用于研究和解決各種具體工程問題。</p><p>　　3.2 系統(tǒng)函數極點分布情況</p><p>　　3.2.1 極點為單實根</p><p>　　若系統(tǒng)函數的N個極點是單極點，則可將進行部分分式展開為：</p><p>　　3.2.2 極點為

14、共軛復根</p><p>　　若系統(tǒng)函數的N個極點包含共軛復數極點，則可將進行部分分式展開為：</p><p>　　3.2.3 極點為重根</p><p>　　若系統(tǒng)函數的N個極點有多重極點，則可將進行部分分式展開為：</p><p>　　3.2.4 用MATLAB繪制系統(tǒng)函數的零極點分布圖</p><p>　　繪

15、制系統(tǒng)函數零極點分布圖的函數如下：</p><p>　　function [p,q]=sjdt(A,B)</p><p>　　%繪制連續(xù)系統(tǒng)零極點圖程序 </p><p>　　%A:系統(tǒng)函數分母多項式系數向量</p><p>　　%B:系統(tǒng)函數分子多項式系數向量</p><p>　　%p:函數返回的系統(tǒng)函數極點位置行向

16、量</p><p>　　%q:函數返回的系統(tǒng)函數零點位置行向量</p><p>　　p=roots(A); %求系統(tǒng)極點</p><p>　　q=roots(B); %求系統(tǒng)零點</p><p>　　p=p

17、9;;%將極點列向量轉置為行向量</p><p>　　q=q';%將零點列向量轉置為行向量</p><p>　　x=max(abs([p q]));%確定縱坐標范圍</p><p><b>　　x=x+0.1;</b></p><p>　　y=x;

18、%確定橫坐標范圍</p><p><b>　　clf</b></p><p><b>　　hold on</b></p><p>　　axis([-x x -y y]);%確定坐標軸顯示范圍</p><p>　　axis('square')&l

19、t;/p><p>　　plot([-x x],[0 0]) %畫橫坐標軸</p><p>　　plot([0 0],[-y y]) %畫縱坐標軸</p><p>　　plot(real(p),imag(p),'x') %畫極點</p><p>　　plot(real(q),imag(q)

20、,'o') %畫零點</p><p>　　title('連續(xù)系統(tǒng)零極點圖') %標注標題</p><p>　　text(0.2,x-0.2,'虛軸')</p><p>　　text(y-0.2,0.2,'實軸')</p><p>　　（1）首先打開MATLA

21、B軟件，如圖1所示。</p><p>　　圖1 MATLAB界面</p><p>　　（2）點擊File-->New-->Function，創(chuàng)建M文件，用于建立一個求解系統(tǒng)函數零極點的函數。</p><p>　?。?）在編輯窗口中輸入繪制系統(tǒng)函數零極點分布圖的函數，如圖2所示。</p><p>　　圖2 M文件編輯窗口</p

22、><p>　?。?）點擊Debug-->Save File and Run設置其保存路徑為MATLAB的工作路徑，如圖3所示。</p><p><b>　　圖3 設置保存路徑</b></p><p>　?。?）輸入在MATLAB的命令窗口中輸入計算系統(tǒng)零極點的具體程序： </p><p>　　例如某連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數為

23、：</p><p>　　則輸入的程序為：a=[10 8 6 4 2];</p><p>　　b=[5 4 3];</p><p>　　[p,q]=sjdt(a,b)</p><p>　　運行結果如圖4所示。</p><p>　　圖4 繪制系統(tǒng)零極點分布圖的運行結果</p><p>　　3.3

24、系統(tǒng)函數的零極點分布與沖擊響應時域特性的關系</p><p>　　3.3.1 用MATLAB繪制沖擊響應的時域函數</p><p>　　函數impulse()將繪出由向量a和b表示的連續(xù)系統(tǒng)在指定時間范圍內的沖擊響應h(t)的時域波形圖，并能求出指定時間范圍內沖擊響應的數值解。Impulse()函數有如下幾種調用格式：</p><p>　?。?）impulse(b

25、,a)</p><p>　　該調用格式以默認方式繪出向量a和b定義的連續(xù)系統(tǒng)的沖擊響應的時域波形圖。</p><p>　?。?） impulse(b,a,t)</p><p>　　該調用格式以默認方式繪出向量a和b定義的連續(xù)系統(tǒng)在0~t時間范圍沖擊響應的時域波形圖。</p><p>　?。?） impulse(b,a,t1:p:t2)<

26、/p><p>　　該調用格式以默認方式繪出向量a和b定義的連續(xù)系統(tǒng)在t1~t2時間范圍內，且以時間間隔p均勻抽樣的沖擊響應的時域波形。</p><p>　?。?）y= impulse(b,a,t1:p:t2)</p><p>　　該調用格式并不繪出系統(tǒng)沖擊響應的波形，而是求出向量a和b定義的連續(xù)系統(tǒng)在t1~t2時間范圍內以時間間隔p抽樣的系統(tǒng)沖擊響應的數值解。</

27、p><p>　　在MATLAB中分別輸入以下各程序，分別繪制出極點在S域的不同分布其對應的時域函數波形。</p><p>　　a.極點為單實根，且在原點處，即</p><p>　　繪制沖激響應時域波形的MATLAB命令如下：</p><p><b>　　a=[1 0];</b></p><p><

28、;b>　　b=[1];</b></p><p>　　impulse(b,a)</p><p>　　運行結果如圖5-1所示。</p><p>　　圖5-1 時域函數波形圖</p><p>　　b. 極點為單實根,且落于原點左側，即</p><p><b>　　令a=10</b>&l

29、t;/p><p>　　繪制沖激響應時域波形的MATLAB命令如下：</p><p>　　a=[1 10]; </p><p><b>　　b=[1];</b></p><p>　　impulse(b,a)</p><p>　　運行結果如圖5-2所示。</p><p>　　圖5-

30、2 時域函數波形圖</p><p>　　c. 極點為單實根,且落于原點右側，即</p><p><b>　　令a=10</b></p><p>　　繪制沖激響應時域波形的MATLAB命令如下：</p><p>　　a=[1 -10];</p><p><b>　　b=[1];</b

31、></p><p>　　impulse(b,a)</p><p>　　運行結果如圖5-3所示。</p><p>　　圖5-3 時域函數波形圖</p><p>　　d.極點為一階共軛復根，且在虛軸上，即</p><p><b>　　令β=5</b></p><p>　　

32、繪制沖激響應時域波形的MATLAB命令如下：</p><p>　　a=[1 0 25];</p><p><b>　　b=[1];</b></p><p>　　impulse(b,a,10)</p><p>　　運行結果如圖5-4所示。</p><p>　　圖5-4 時域函數波形圖</p&g

33、t;<p>　　e. 極點為一階共軛復根，且在虛軸左側，即</p><p>　　令α=0.2，β=5</p><p>　　繪制沖激響應時域波形的MATLAB命令如下：</p><p>　　a=[1 0.4 25.04];</p><p><b>　　b=[1];</b></p><p&g

34、t;　　impulse(b,a,10)</p><p>　　運行結果如圖5-5所示。</p><p>　　圖5-5 時域函數波形圖</p><p>　　f. 極點為一階共軛復根，且在虛軸右側，即</p><p>　　令α=-0.2，β=5</p><p>　　繪制沖激響應時域波形的MATLAB命令如下：</p&g

35、t;<p>　　a=[1 -0.4 25.04];</p><p><b>　　b=[1];</b></p><p>　　impulse(b,a,10)</p><p>　　運行結果如圖5-6所示。</p><p>　　圖5-6 時域函數波形圖</p><p>　　g. 極點為二階重

36、根，且在原點處：</p><p>　　繪制沖激響應時域波形的MATLAB命令如下：</p><p>　　a=[1 0 0];</p><p><b>　　b=[1];</b></p><p>　　impulse(b,a)</p><p>　　運行結果如圖5-7所示。</p><

37、p>　　圖5-7 時域函數波形圖</p><p>　　h. 極點為二階重根，且在原點左側:</p><p><b>　　令a=10</b></p><p>　　繪制沖激響應時域波形的MATLAB命令如下：</p><p>　　a=[1 20 100];</p><p><b>　　

38、b=[1];</b></p><p>　　impulse(b,a)</p><p>　　運行結果如圖5-8所示。</p><p>　　圖5-8 時域函數波形圖</p><p>　　i. 極點為二階重根，且在原點右側:</p><p><b>　　令a=10</b></p>

39、<p>　　繪制沖激響應時域波形的MATLAB命令如下：</p><p>　　a=[1 -20 100];</p><p><b>　　b=[1];</b></p><p>　　impulse(b,a)</p><p>　　運行結果如圖5-9所示。</p><p>　　圖5-9 時域函

40、數波形圖</p><p>　　j. 極點二階共軛復根，且在虛軸上：</p><p><b>　　令β=5</b></p><p>　　繪制沖激響應時域波形的MATLAB命令如下：</p><p>　　a=[1 0 50 0 625];</p><p><b>　　b=[1];</b

41、></p><p>　　impulse(b,a)</p><p>　　運行結果如圖5-10所示。</p><p>　　圖5-10 時域函數波形圖</p><p>　　k. 極點二階共軛復根，且在虛軸左側：</p><p><b>　　令α=2，β=5</b></p><p

42、>　　繪制沖激響應時域波形的MATLAB命令如下：</p><p>　　a=[1 8 74 232 841];</p><p><b>　　b=[1];</b></p><p>　　impulse(b,a)</p><p>　　運行結果如圖5-11所示。</p><p>　　圖5-11 時域

43、函數波形圖</p><p>　　l. 極點二階共軛復根，且在虛軸右側：</p><p><b>　　令α=-2，β=5</b></p><p>　　繪制沖激響應時域波形的MATLAB命令如下：</p><p>　　a=[1 -8 74 -232 841];</p><p><b>　　b

44、=[1];</b></p><p>　　impulse(b,a)</p><p>　　運行結果如圖5-12所示</p><p>　　圖5-12 時域函數波形圖</p><p>　　3.3.2 極點的類型決定時間函數的時間連續(xù)形式</p><p>　　由圖5-1～圖5-12得：</p><

45、;p>　　當系統(tǒng)函數的極點為一階極點時，若極點是實根且位于原點處，時域函數為階躍函數；若極點是實根，但不在原點處，時域函數為指數函數。若極點是共軛復根且位于原點處，時域函數為正弦函數；若極點是共軛復根，但不在原點處，時域函數為指數函數與正弦函數的乘積。</p><p>　　當系統(tǒng)函數的極點為二階極點時，若極點是實根且位于原點處，時域函數為一次函數；若極點是實根，但不在原點處，時域函數為一次函數與指數函數的乘

46、積。若極點是共軛復根且位于原點處，時域函數為一次函數與正弦函數的乘積；若極點是共軛復根，但不在原點處，時域函數為一次函數、指數函數和正弦函數的乘積。</p><p>　　不難推論得，若H(s)具有多重極點，那么，部分分式展開式各項所對應的時間函數可能具有等與指數函數相乘的形式，t的冪次由極點階次決定。</p><p>　　極點在S平面的位置決定時間函數的波形特點</p>&l

47、t;p>　　由圖5-1～圖5-12可以看出：</p><p>　　若H(s)極點落于左半平面，則h(t)波形為衰減形式；若H(s)極點落于右半平面，則h(t)增長；落于虛軸上的一階極點對應的h(t)成等幅震蕩或階躍；而虛軸上的二階極點將使h(t)呈增長形勢。</p><p>　　零點分布與時域函數的對應關系</p><p>　　以上分析了H(s)極點分布與時域

48、函數的對應關系。至于H(s)零點分布的情況則只影響到時域函數的幅度和相位；s平面中零點變動對于t平面波形的形式沒有影響。</p><p><b>　　例如：</b></p><p>　　其H(s)的零極點分布以及h(t)波形如圖6-1,6-2所示。</p><p>　　圖6-1 H(s)的零極點分布圖</p><p>　

49、　圖6-2 h(t)波形圖</p><p>　　由圖6-2知，h(t)波形呈衰減震蕩形式。</p><p>　　假定保持極點不變，只移動零點的位置，使零點有-0.5變?yōu)?，則H(s)變?yōu)?lt;/p><p>　　則改變后的H(s)的零極點分布以及h(t)波形如圖7-1,7-2所示。</p><p>　　圖7-1 改變后的H(s)的零極點分布圖&l

50、t;/p><p>　　圖7-2 改變后的h(t)波形圖</p><p>　　比較可得，保持極點不變，只移動零點的位置，那么h(t)波形將仍呈衰減震蕩形式，震蕩頻率也不改變，只是幅度和相位有變化。</p><p><b>　　4 設計體會</b></p><p>　　通過本次課程設計，讓我更加深刻地理解和掌握了系統(tǒng)函數零極點

51、的分布與沖擊響應時域特性之間的關系，也使我了解了MATLAB軟件，并學會了如何應用MATLAB軟件進行數字信號的處理和分析。</p><p>　　本課程設計利用MATLAB軟件成功繪制出了系統(tǒng)函數的零極點分布圖。根據系統(tǒng)函數零極點的不同分布情況，利用MATLAB軟件繪制出了沖擊響應的時域函數波形。通過分析和比較，最終得出：系統(tǒng)函數的極點分布與時域特性的關系，即極點的類型決定時間函數的時間連續(xù)形式，極點在S平面的位

52、置決定時間函數的波形特點；系統(tǒng)函數的零點分布與時域特性的關系，即系統(tǒng)函數零點分布的情況只影響到時域函數的幅度和相位。</p><p>　　在課程設計過程中也遇到了一些問題，剛開始接觸MATLAB軟件時，完全不知道怎么去使用，自己通過查閱資料，一點一點學習，最終初步掌握了該軟件的使用方法。</p><p>　　剛開始創(chuàng)建M文件的時候，在命令窗口中輸入程序后總是不能運行，經過反復檢查，找出了出

53、錯的原因是由于沒有將M文件的存儲路徑與MATLAB軟件的工作路徑保持一致，經過改正后，成功調用M文件的sjdt()函數繪制出了系統(tǒng)函數的零極點分布圖。</p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　[1] 鄭君里.信號與系統(tǒng)引論.第1版.北京:高等教育出版社,2009:191-214</p><p>　　[2] 梁虹,梁潔,