信號系統(tǒng)-7

1、1,7-1 離散時間信號一、定義: 只在一系列離散的時間點(diǎn)上才有確定值的信號。,取樣間隔一般取均勻間隔,,而在其它的時間上無意義，因此它在時間上是不連續(xù)的序列,并是離散時間變量的tk函數(shù)。,獲取方法：1）直接獲取2）連續(xù)信號取樣,表示方法：1）圖形表示2）數(shù)據(jù)表格,3）序列表示,一般簡化記為f(n)或f(k),第七章 離散信號與系統(tǒng)時域分析,2,例:,試寫出其序列形式并畫出圖形。,解：序列形式,序列的幾種形式,單邊序列：

2、,雙邊序列：-?<k<?, f(k)?0,有限序列： k1<k<k2,f(k)?0,右序列： k<0，f(k)=0,左序列： k?0，f(k)=0,波形：,3,,二、離散信號時域運(yùn)算,1. 相加: 用同序號的值對應(yīng)相加后構(gòu)成新的序列。,y(k)=f1(k)+f2(k),4,,2. 相乘: 同序號的數(shù)值對應(yīng)相乘后構(gòu)成新的序列。,y(k)=f1(k)f2(k),5,,3. 數(shù)乘: 完成序號值

3、的比例運(yùn)算。,y(k)=Af(k),4. 累加和: 序號前k項值累加得到一個新序列。,6,三、離散信號時域變換,1.移序: y(k)=f(k-m),2.折疊: y(k)=f(-k),3.倒相: y(k)=-f(k),4.展縮: y(k)=f(ak),5.差分: 序列與其移序序列的差而得到一個新序列。,y(k)=f(k)-f(k-1),y(k)=f(k+1)-f(k),（后向差分）,（前向差分）,(橫坐標(biāo)k只能取

4、整數(shù)),7,1.單位序列（單位取樣序列、單位脈沖序列、單位函數(shù)）,推廣：,性質(zhì)：,可見，?(k)作用類似于?(t)，但二者有較大差別.,四、常用離散信號,8,利用單位序列?(k)表示任意序列,例：,?(t)用面積表示強(qiáng)度， (幅度為?,但強(qiáng)度為面積),?(k)的值就是k=0時的瞬時值（不是面積）,?(t) ：奇異信號，數(shù)學(xué)抽象函數(shù)； ?(k)：非奇異信號，可實現(xiàn)信號。,?(k)與?(t) 差別:,9,2.單位階躍序列,U(k)可以看

5、作是無數(shù)個出現(xiàn)在不同序號上的單位序列信號之和。,推廣：,性質(zhì)：,U(t) ：奇異信號，數(shù)學(xué)抽象函數(shù)； U(k)：非奇異信號，可實現(xiàn)信號。,可見，U(k)作用類似于U(t)，但二者有較大差別：,10,3.單位矩形序列（單位門序列）,,4.斜變序列,11,,5.單邊指數(shù)序列,12,6.正弦序列,(T為抽樣間隔時間),（模擬角頻率）,,令,（數(shù)字角頻率）,總能找到互為質(zhì)數(shù)的兩個正整數(shù) m, N 使得：,（m與N無公因子）,基波頻率:,13

6、,離散正弦序列的周期,14,7-2 離散時間系統(tǒng)基本概念,一、定義： 激勵、響應(yīng)均為離散時間信號的系統(tǒng)。,二、分類：,線性系統(tǒng) 非線性系統(tǒng),線性系統(tǒng)：,時不變系統(tǒng)：,因果系統(tǒng) 非因果系統(tǒng),因果系統(tǒng),時不變系統(tǒng) 時 變 系 統(tǒng),15,三、離散時間系統(tǒng)模型,1. 差分方程描述：,例1：y(k)表示一個國家在第k年的人口數(shù)， a、b分別代表出生率和死亡率，是常數(shù)。設(shè)f(k)是國外移民的凈增數(shù)，則該國在第k+1年的人口總

7、數(shù)y(k+1)為多少？,y(k+1)=y(k)+ay(k)-by(k)+f(k),=(a-b+1)y(k)+f(k),所以，有 y(k+1)+(b-a-1)y(k)=f(k),例2：某人每月初均存入銀行固定款f(k) ，月息為a ，每月本息不取，試求第k個月的初存入款時的本息和y(k) 為多少？,有 y(k)-(1+a)y(k-1)=f(k),16,例3：,例4：圖示電路，寫出節(jié)點(diǎn)電壓關(guān)系。,17,討論：,（1）

8、差分方程：由激勵序列、響應(yīng)序列以及其移序序列組成的方程。含y(k)，y(k-1)，…的差分方程: 后向差分方程含y(k)，y(k+1)，…的差分方程: 前向差分方程（2）差分方程 階數(shù)：響應(yīng)最高序號與最低序號的差值。（3）離散自變量k不一定限于時間。,2.傳輸算子描述 （1）移序算子,y(k-1)?E-1 y(k),y(k+1)?Ey(k),y(k-N)?E-N y(k),y(k+N)?EN

9、y(k),E-1 : 單位延遲算子,18,（2）算子形式的差分方程,2） y(k)-(1+a)y(k-1)=f(k),[1-(1+a)E-1 ]y(k)=f(k),對于一般n階離散系統(tǒng)，有,（3）傳輸算子,19,3. 模擬框圖,（1）模擬單元 1）加法器,f1(k),y(k),f2(k),2) 比例器,y(k)=f(k-1),3) 延遲器,f(k),y(k),f(k),y(k),（2）模擬框圖,4. 信號流圖

10、,20,例1：圖示框圖，寫出差分方程。,系統(tǒng)的差分方程為,例2：圖示信號流圖，寫出傳輸算子。,X(k),21,一、齊次差分方程時域解,7-3 離散系統(tǒng)時域經(jīng)典分析,傳輸算子,1）自然頻率全部為單根：,2）自然頻率含重根：E1=E2…=Er，其余單根,22,例1：已知某系統(tǒng)激勵為零，初始值y(0) =1 ， y(1)=4，描述系統(tǒng)的差分方程為,求系統(tǒng)的響應(yīng) y(k)。,解：,,系統(tǒng)自然頻率為：,=1,=4,例2：已知某離散系統(tǒng)初始值為

11、y(0)=2，y(1)=0，傳輸算子,求激勵為零時系統(tǒng)的響應(yīng)y(k)。,解：,=2,=0,23,例3：P247圖7-11所示系統(tǒng)，f(k)=0，y(1)=1，y(2)=0，y(3)=1，y(5)=1。求響應(yīng)y(k)。,解：,,由圖可求得傳輸算子為,由題目給定條件，有,24,二、非齊次差分方程時域解,傳輸算子,齊次方程通解形式取決于系統(tǒng)的自然頻率，即特征根的形式；非齊次方程特解形式取決于系統(tǒng)的激勵形式，不同激勵有不同的特解形式。,時域解

12、為,特征方程,（自然頻率）,齊次方程通解,非齊次方程特解,25,幾種典型信號激勵下相應(yīng)特解的形式：,,,,(含有r重等于1的特征根),(不含等于1的特征根),(不含等于a的特征根),(含一個等于a的特征根),(含有r個等于a的特征根),26,例：已知某系統(tǒng)初始值y(0)=0， y(1)=2，描述系統(tǒng)的差分方程為,求系統(tǒng)的響應(yīng) y(k)。,,代入差分方程，可得,解：,27,經(jīng)典法基本步驟：,1）求系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型（差分方程、傳輸算子等）；2

13、) 寫出特征方程，并求出特征根（自然頻率）；3）根據(jù)特征根，求對應(yīng)齊次方程通解y0(k)；4）根據(jù)激勵形式求非齊次方程特解yt(k) ；5）寫出非齊次方程通解 y(k)= y0(k) + yt(k) ：6）根據(jù)初始值求待定系數(shù)；7）寫出給定條件下非齊次方程解。,28,三、差分方程遞推求解法,… …,優(yōu)點(diǎn)：任意形式激勵，計算機(jī)求解容易、直觀。,四、全響應(yīng)分解形式,全響應(yīng)=自由響應(yīng)+強(qiáng)迫響應(yīng),全響應(yīng)=零輸入

14、響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng),全響應(yīng)=暫態(tài)響應(yīng)+穩(wěn)態(tài)響應(yīng),缺點(diǎn)：難以形成封閉形式，響應(yīng)規(guī)律性難一確定。,29,例：已知某系統(tǒng)初始狀態(tài)y(-1)=0， y(-2)=0.5，描述系統(tǒng)的差分方程為,求系統(tǒng)的響應(yīng) y(k)。,解：,遞推得：y(0)=1， y(1)=-2.5，(或利用零狀態(tài)條件)并代入上式，有,30,一、單位序列響應(yīng)定義,7-4 離散系統(tǒng)單位序列響應(yīng),二、單位序列響應(yīng)求解 1. 一階系統(tǒng),激勵為單位序列信號時離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)

15、.,當(dāng) f(k)=?(k), y(k)=h(k)時，有,（1） 遞推法：,31,,（2）等效初值法：,當(dāng) k>0， f(k)=?(k) =0。系統(tǒng)處于零輸入狀態(tài)，故可將?(k)的作用等效為系統(tǒng)的初始值，其h(k)形式與零輸入響應(yīng)形式相同。即有,,（3）傳輸算子法：,32,2. 高階系統(tǒng)：遞推法、等效初值法、傳輸算子法,解：,例1：求單位序列響應(yīng)h(k)，已知描述系統(tǒng)的差分方程為,遞推求初值：,代入通解求待定系數(shù)：,33,例2

16、：求系統(tǒng)單位序列響應(yīng)h(k)，已知描述系統(tǒng)的傳輸算子分別為,,解：,34,,,35,一、系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng),7-5 離散系統(tǒng)時域卷積和分析法,y(k)=yx (k)+ yf (k),記作： yf (k)=f(k)*h(k),yx (k): 取決于系統(tǒng)自然頻率和初始值yf (k): 取決于系統(tǒng)自然頻率和激勵,?(k),h(k),?(k-m) ? h(k-m) f(m)?(k-m) ? f(m)h(

17、k-m),,此稱為f(k)與h(k)的卷積和 (Convolution),f (k)=f(k)* ?(k),36,二、常用信號的卷積和,2. f(k)與單位階躍序列卷積,1. f(k)與單位序列信號卷積,三、卷積和的性質(zhì),1．交換律,2. 分配律,3. 結(jié)合律,3. U(k)與akU(k) 卷積,37,四、卷積和的計算,例：f(k)=akU(k) ， h(t)=bkU(k) ，求卷積和y(k)=f(k)*h(k).,,1．利用定

18、義計算,解：,y(k)=f(k)*h(k),=akU(k) *bkU(k),y(k)=f(k)*h(k),38,,,2. 利用常用信號卷積與有關(guān)性質(zhì)計算,3. 利用卷積求和表計算,5. 利用圖解法計算,例：已知f(k)={…, 0 , 3 , 2 , 1 , 0…}, h(k)= (0.5)kU(k), 求y(k)=f(k)*h(k).,1）f(k)、h(k)? f(m)、h(m)2） h(m)? h(-m) （折疊）3）

19、h(k-m) （平移）4） f(m) h(k-m) （相乘）5） 求和計算,4. 利用數(shù)值求和法計算,解：,y(k)=f(k)*h(k),39,例：用圖解法求圖示信號的卷積和y(k)=f(k)*h(k)。,40,0.12,0.09,0.06,0.03,0,0.08,0.06,0.04,0.02,0.08 0.06 0.04 0.02 0.08 0.06

20、 0.04 0.020.04 0.03 0.02 0.01,,,,,,,6. 利用列表法計算,41,7. 序列相乘法,f(k) : 0 0.4 0.3 0.2 0.1 0h(k): 0 0.3 0.2 0.2 0.2 0.1,,X,0.04 0.03 0.02 0.01 0

21、 0.08 0.06 0.04 0.02 0 0.08 0.06 0.04 0.02 0 0.08 0.06 0.04 0.02 0,0.12 0.09 0.06 0.03 0,,0.12 0.17 0.20 0.21 0.16 0.09 0.04

22、 0.01 0,42,說明：若f(k)非零值N個，位于,h(k)非零值M個，位于,則：y(k)=f(k)*h(k)的非零值有(N+M-1)個，位于,離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)等于系統(tǒng)激勵與系統(tǒng)單位序列響應(yīng)的卷積和。即,分析步驟：1）求單位序列響應(yīng)；2）計算卷積和,五、離散系統(tǒng)卷積和分析,43,例1,解:,,例2,解:,例3：,44,例4:,解:,45,例5：,原方程:,圖示系統(tǒng)。1）求H(E)和差分方程；2）求單位序列響

23、應(yīng)h(k)；3) 求單位階躍響應(yīng)g(k),46,練習(xí)題1：,解:,47,練習(xí)題2：圖示兩個子系統(tǒng)級聯(lián)組成一個系統(tǒng)，其中,解:,分別求兩個子系統(tǒng)和級聯(lián)組成系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)。,48,練習(xí)題3：圖示兩個系統(tǒng)，它們分別由幾個子系統(tǒng)一個，其中,證明:,證明兩個系統(tǒng)是等效的，并求單位序列響應(yīng)。,可見兩個系統(tǒng)等效,49,練習(xí)題4：,解:,50,練習(xí)題5：,解:,51,練習(xí)題6：,解:,52,練習(xí)題7：,解:,53,本章要點(diǎn),1. 離散信號基本

24、概念：定義、分類、常用離散信號特性{?(k)、U(k)、ak(k)、GN(k)等} ；2. 離散信號時域變換與運(yùn)算：折疊、時移、展縮、倒相；相加、相乘、數(shù)乘、差分和累加和；3. 離散系統(tǒng)的基本概念：定義、分類、線性時不變系統(tǒng)的特性；4. 時域經(jīng)典法：差分方程與傳輸算子、差分方程求解、系統(tǒng)自然頻率及其求解方法、全響應(yīng)三種分解形式；5. 時域卷積和法： h(k)求解方法、零狀態(tài)響應(yīng)卷積和計算（卷積和定義、運(yùn)算規(guī)律、主