2023年全國(guó)碩士研究生考試考研英語(yǔ)一試題真題(含答案詳解+作文范文)_第1頁(yè)
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1、<p>  第四單元 不定積分</p><p>  4-1 不定積分的概念與性質(zhì) 換元積分法</p><p><b>  [教學(xué)基本要求]</b></p><p>  高等數(shù)學(xué) 理解原函數(shù)與不定積分的概念、性質(zhì)以及積分與導(dǎo)數(shù)(微分)的關(guān)系。熟記不定積分的基本公式,掌握不定積分的換元積分法和分部積分法。會(huì)求簡(jiǎn)單的有理函數(shù)的積分。

2、</p><p>  微積分 理解原函數(shù)與不定積分的概念、性質(zhì)以及積分與導(dǎo)數(shù)(微分)的關(guān)系。熟記不定積分的基本公式,掌握不定積分的換元積分法和分部積分法。</p><p><b>  [知識(shí)要點(diǎn)]</b></p><p>  原函數(shù)與不定積分的概念</p><p>  若,則稱是的一個(gè)原函數(shù). 若是的一個(gè)原函數(shù),則的原

3、函數(shù)的一般表達(dá)式為(為任意常數(shù)). 的原函數(shù)的一般表達(dá)式稱為的不定積分, 記為,即.</p><p>  注意 ① 不定積分和原函數(shù)是兩個(gè)不同概念,前者是集合,后者是該集合中的一個(gè)元素,因此② 設(shè)均是在區(qū)間中的原函數(shù),則</p><p><b>  基本性質(zhì)</b></p><p> ?。?)(是不為零的常數(shù)).</p><

4、p><b> ?。?)或;</b></p><p>  (3)或(是任意常數(shù))</p><p><b>  基本積分公式(略)</b></p><p><b>  積分方法</b></p><p>  (1) 分項(xiàng)積分法: (為常數(shù)).</p><p

5、>  分項(xiàng)積分法的依據(jù)是不定積分的線性性質(zhì),其作用在于將復(fù)雜函數(shù)的積分轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的函數(shù)的積分.</p><p> ?。?) 第一換元積分法(湊微分法)</p><p><b>  若, 且連續(xù), 則</b></p><p><b>  基本思路: </b></p><p>  常見(jiàn)的12種湊微

6、分形式</p><p>  (3)第二換元積分法</p><p>  若連續(xù),有連續(xù)導(dǎo)數(shù),,且</p><p><b>  ,則</b></p><p><b>  基本思路:</b></p><p>  第二換元法的要點(diǎn)在于:通過(guò)新變量的引入,使得積分的形式改變(比如去根號(hào)

7、)而易于積分. 常見(jiàn)的變量代換有如下幾種:</p><p>  (ⅰ)三角函數(shù)代換: 利用三角代換,變根式積分為三角有理式積分.</p><p>  (ⅱ) 倒代換(),也是一種很重要的變量代換,利用倒變換??上ケ环e函數(shù)分母中的變量因子(或),其中為正整數(shù).</p><p> ?。á#┲笖?shù)代換(令),適用于由冪函數(shù)所構(gòu)成的代數(shù)式.</p><p

8、><b>  [錯(cuò)題解析]</b></p><p>  例1、 選擇題 下列命題中不正確的為 ( )</p><p>  若在區(qū)間內(nèi)的某個(gè)函數(shù)是常數(shù),則在內(nèi)恒為零;</p><p>  若的某個(gè)函數(shù)為零,則的所有原函數(shù)都是常數(shù);</p><p>  若在內(nèi)不是連續(xù)函數(shù),則在這個(gè)區(qū)間內(nèi)必?zé)o原函數(shù);</p

9、><p>  若為的任意一個(gè)原函數(shù),則為在內(nèi)的連續(xù)函數(shù).</p><p><b>  解 正確答案為</b></p><p>  分析:對(duì)于命題,如果存在一個(gè)原函數(shù)為常數(shù),則在內(nèi)任意一點(diǎn)都有 可知命題正確.</p><p>  對(duì)于命題,若為的一個(gè)原函數(shù),則(為任意常數(shù))為的所有原函數(shù).可知命題正確.</p>

10、<p>  對(duì)于命題,可先考慮下面的例子: </p><p>  在內(nèi)不連續(xù),為其間斷點(diǎn),但是</p><p>  則有在內(nèi)每點(diǎn)都成立.因此說(shuō)為在內(nèi)的原函數(shù).此例表明的說(shuō)法不正確.</p><p>  若為的原函數(shù),則由原函數(shù)的定義可知必有.由可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系可知,必為連續(xù)函數(shù).因此命題正確.</p><p>  例2、選擇題 下

11、列命題正確的有( ?。?lt;/p><p><b>  解 正確答案為</b></p><p>  分析:由不定積分的性質(zhì),可知:</p><p><b>  即正確,不正確.</b></p><p>  表示下對(duì)積分,再對(duì)求導(dǎo),因此,這表明正確,而不正確.</p><p> 

12、 利用不定積分的基本性質(zhì)與基本積分公式求解不定積分是最基本的求積方法.對(duì)于一些不屬于基本積分公式形式的積分,其求解的思路是:將所給積分經(jīng)過(guò)恒等變形轉(zhuǎn)化為基本積分形式.常見(jiàn)的轉(zhuǎn)化方式有兩類:</p><p>  利用代數(shù)或三角恒等變形,將被積函數(shù)轉(zhuǎn)化為幾個(gè)基本積分形式的代數(shù)和.</p><p>  利用微分運(yùn)算將被積表達(dá)式轉(zhuǎn)化為基本積分公式形式.</p><p>&l

13、t;b>  [典型例題補(bǔ)充]</b></p><p>  例1、(1);  (2)</p><p>  分析:所給積分不屬于基本積分公式形式,利用代數(shù)恒等變形和三角恒等變形.</p><p><b>  解:(1)原式=</b></p><p><b> ?。ǎ玻┰剑?lt;/b>&l

14、t;/p><p>  例2、求下列不定積分:(1);?。?);?。ǎ常?lt;/p><p>  分析: 對(duì)于(1),常見(jiàn)有下列兩種變形:</p><p><b>  ①??;② </b></p><p>  (1)解法一 原式</p><p><b>  解法二 原式</b><

15、;/p><p> ?。ǎ玻┙夥ㄒ弧∫?yàn)?,所以,則有</p><p>  注:此種解法較簡(jiǎn)便,它是一種常見(jiàn)的積分類型:</p><p>  解法二 首先把被積函數(shù)進(jìn)行分項(xiàng),然后利用湊微分法求出.</p><p><b>  原式</b></p><p>  解法三 在這里只做一個(gè)提示:</p&g

16、t;<p> ?。ǎ常┙夥ㄒ弧∮捎?,則有</p><p><b>  原式</b></p><p><b>  解法二 原式</b></p><p>  注:這種解法是將公式中的用可微函數(shù)替代,</p><p><b>  一般地有</b></p>

17、<p>  例3、(1);  ?。ǎ玻?lt;/p><p><b>  解?。ǎ保┮?yàn)?lt;/b></p><p><b>  故,原式=</b></p><p>  注意:這里用了兩次湊微分.本題也可由 ,而得出</p><p><b>  (2)因?yàn)?lt;/b></p&

18、gt;<p><b>  所以 原式=</b></p><p>  注意:這兩個(gè)題都是將被積函數(shù)的一部分求微分,而得出相應(yīng)的湊微分形式.這類題目有一定難度,不太容易看出,因此,熟記基本積分公式,熟練掌握函數(shù)的微分運(yùn)算是很重要的.</p><p>  例4、 求下列不定積分:(1); (2)</p><p><

19、b>  解:(1)原式</b></p><p><b> ?。ǎ玻┰?lt;/b></p><p>  注:被積函數(shù)分母中含有三角函數(shù)時(shí),常提取余弦平方,然后利用</p><p><b>  或.</b></p><p>  例5、設(shè)在可導(dǎo),,,求</p><p&g

20、t;  [分析] 由不定積分的性質(zhì)可知,因此對(duì)照題設(shè)可知,只需由的表達(dá)式求出即可.</p><p><b>  解:令得,</b></p><p><b>  由知,故 </b></p><p><b>  例6、計(jì)算</b></p><p><b>  解:,有原式

21、</b></p><p>  由原函數(shù)的連續(xù)性知,</p><p><b>  ,于是,原式</b></p><p>  例7、用換元法求下列不定積分</p><p> ?。ǎ保?;   ?。ǎ玻?lt;/p><p>  解:(1)為了消去被積函數(shù)中的根號(hào),令,則</p>&l

22、t;p><b> ?。谑?,原式</b></p><p> ?。ǎ玻┙夥ㄒ弧”环e函數(shù)中含有型根式,用三角代換法.</p><p><b>  令,則,于是可得</b></p><p><b>  原式</b></p><p>  為了還原變量,根據(jù),作直角三角形,得 ,

23、 </p><p>  于是可得原式 </p><p><b>  t 3</b></p><p>  解法二 作變量代換,可令,則有,于是</p><p><b>  原式</b>

24、</p><p>  注:用換元積分法求不定積分時(shí),應(yīng)注意各題中被積函數(shù)的特征,使用相應(yīng)的基本解法,在有多種解法時(shí),一般而言,用第一換元法(湊微分法)較用第二換元法方便.</p><p><b> ?。壅n堂練習(xí)]</b></p><p><b>  一、填空題</b></p><p>  1.若,而

25、,則         ?。?lt;/p><p> ?。玻            。?lt;/p><p> ?。常            。?lt;/p><p>  4.已知,則            ?。?lt;/p><p> ?。担O(shè),則         ?。?lt;/p><p><b>  二、選擇題</b>

26、</p><p>  1.函數(shù)的原函數(shù)有(   ?。?lt;/p><p> ?。玻?,則(   ?。?lt;/p><p> ?。常簦?,則(   ?。?lt;/p><p><b> ?。矗ā   。?lt;/b></p><p> ?。担?,則(    ).</p><p>&l

27、t;b>  三、求下列不定積分</b></p><p> ?。保弧         。玻?lt;/p><p> ?。常         。矗?lt;/p><p><b>  5.設(shè),求</b></p><p><b> ?。叮O(shè) ,求</b></p><p>

28、  答案:一、1.;    2.(提示:);</p><p> ?。常?;  4.;   5.</p><p>  二、1.(B);?。玻ǎ模弧。常ǎ拢?;?。矗ǎ粒?;?。担ǎ拢?lt;/p><p>  三、1..(提示:)</p><p><b> ?。玻。ㄌ崾荆海?lt;/b></p><p>

29、; ?。常 。ㄌ崾荆?)</p><p> ?。矗ㄌ崾荆海ǎ保ǎ玻├脺愇⒎址ǎ?lt;/p><p><b>  )</b></p><p><b> ?。担ㄌ崾荆河?,知</b></p><p><b> ?。?;6. </b></p><p> ?。?/p>

30、提示: 由原函數(shù)在分段點(diǎn)處的連續(xù)性,知,記,即得出.)</p><p>  4-2 不定積分的分部積分法</p><p><b>  [教學(xué)基本要求]</b></p><p>  高等數(shù)學(xué) 掌握不定積分的分部積分法;明了選取和的原則.會(huì)求簡(jiǎn)單的有理函數(shù)積分.</p><p>  微積分 掌握不定積分的分部積分法;明了

31、選取和的原則.</p><p><b>  [知識(shí)要點(diǎn)]</b></p><p><b>  1.分部積分法</b></p><p>  分部積分法也是求不定積分的基本方法. 其基本思想是把一個(gè)較復(fù)雜的積分轉(zhuǎn)化為較簡(jiǎn)單的積分;或者通過(guò)兩次分部積分, 將問(wèn)題“間接”解出.</p><p>  分部積分

32、法與微分法的乘積求導(dǎo)法相對(duì)應(yīng). 公式為</p><p>  分部積分法解決的主要問(wèn)題是:被積函數(shù)中含有對(duì)數(shù)或反三角函數(shù);或者為函數(shù)的連乘形式. 如三角函數(shù)或指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)與多項(xiàng)式的乘積;三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的乘積等.</p><p>  應(yīng)用這個(gè)方法的難點(diǎn)在于將積分恰當(dāng)?shù)嘏涑傻男问? 使得容易積分. 一般選取和的一般原則為:</p><p> ?。?)等形式,其中

33、為的多項(xiàng)式. 一般取;</p><p> ?。?)等形式,其中為的多項(xiàng)式. 一般取等.</p><p> ?。?)等形式,可取其中兩個(gè)因子中的任意一個(gè). 此時(shí)需經(jīng)過(guò)兩次分部積分, 通過(guò)解方程, 使不定積分“間接”求出. 但是必須注意: 連續(xù)使用分部積分公式時(shí)選取的為同種類型. 否則, 將會(huì)出現(xiàn)這樣的方程.</p><p>  2. 有理函數(shù)的積分</p>

34、<p>  假分式可以分解為多項(xiàng)式與真分式之和. 而真分式可以分解為部分分式之和, 而分解后的部分分式往往教易計(jì)算. 但有時(shí)對(duì)于一些特殊問(wèn)題??刹扇∧承┘记梢院?jiǎn)化運(yùn)算.</p><p>  對(duì)于三角函數(shù)的有理式計(jì)算, 常采取萬(wàn)能代換公式, 進(jìn)而轉(zhuǎn)換為有理函數(shù)的積分.</p><p><b>  [典型例題補(bǔ)充]</b></p><p&

35、gt;  例1、(1); (2)</p><p><b>  解 (1)原式</b></p><p>  注意:① 此題采用了分項(xiàng)技巧,簡(jiǎn)化了計(jì)算;② 此題也可用三角變換:求出.</p><p> ?。?)原式, 若令, 則</p><p><b>  原式</b></p>

36、;<p>  注: 在上述運(yùn)算中引入, 簡(jiǎn)化了運(yùn)算, 這種運(yùn)算技巧值得學(xué)習(xí).</p><p>  例2、(1) ; (2)</p><p>  解:(1) 此題需兩次使用分部積分公式:</p><p><b>  經(jīng)移項(xiàng)整理, 得</b></p><p>  注意: 此題在移項(xiàng)整理過(guò)程中

37、并沒(méi)有任意常數(shù), 而整理之后添加了常數(shù). 這是因?yàn)樵瓉?lái)式中兩端都含有不定積分符號(hào), 不定積分號(hào)中已隱含了任意常數(shù);整理之后式中僅左端有不定積分號(hào);而不定積分本身表示原函數(shù)的全體, 因此必須在等號(hào)右端添加任意常數(shù).</p><p><b>  (2) </b></p><p>  注意: 有時(shí)將原不定積分拆成兩個(gè)不定積分,將其中一個(gè)用分部積分法,可得與另一個(gè)不定積分形式

38、完全相同,但符號(hào)相反的不定積分,從而“抵消”, 最后結(jié)果需加任意常數(shù).</p><p>  例3、(1) ; ?。?)</p><p>  分析:本例需綜合利用湊微分法、換元法和分部積分法求解.</p><p><b>  解 :原式</b></p><p>  解二: 先作變量代換,再用分部積分法,可令,則(),.&l

39、t;/p><p><b>  原式</b></p><p>  解三:先用換元法,然后再分部積分.可令, 則</p><p><b>  于是可得</b></p><p><b>  原式</b></p><p>  注:應(yīng)注意多種積分法的綜合運(yùn)用.<

40、/p><p>  (2)分析:此例是分部積分法的典型例子,在被積函數(shù)的兩因式中取出部分先積分,得到原函數(shù)后便可與另一個(gè)因式的導(dǎo)數(shù)再積分得出結(jié)果.</p><p><b>  由 </b></p><p><b>  知,原式</b></p><p>  例4、已知的一個(gè)原函數(shù)是,求</p>

41、<p><b>  解:由已知 ,則</b></p><p><b>  原式</b></p><p>  例5、 求下列不定積分(1) ; (2)</p><p><b>  解:(1)原式</b></p><p> ?。?)解法一 設(shè) ,</p>

42、;<p><b>  去分母,得</b></p><p>  比較兩端同次冪的系數(shù),得</p><p><b>  于是 </b></p><p>  解法二:因?yàn)榉帜傅拇蝺绫确肿拥拇蝺绺撸?因此可采用倒變換計(jì)算.令,則</p><p><b>  ,于是</b&g

43、t;</p><p>  解法三:設(shè),則,于是</p><p>  注:由于(1)被積函數(shù)分子的次冪比分母的次冪高,積分時(shí)先將被積函數(shù)化為整式和一個(gè)真分式的和.有理函數(shù)的積分有兩種方法:①標(biāo)準(zhǔn)方法(如(2)的解法一,其計(jì)算量較大);②綜合方法(如(2)的解法二、解法三).利用代數(shù)知識(shí)盡可能簡(jiǎn)化為部分分式的計(jì)算, 比較常用.</p><p>  例6、 求三角函數(shù)有理

44、式的積分</p><p><b>  解法一 令,得</b></p><p><b>  解法二 </b></p><p><b>  因此 </b></p><p>  注:① 令,適用于三角函數(shù)有理式積分的各種情況,但不一定是最好的方法.② 解法二的方法比較簡(jiǎn)便.一

45、般地,求解 時(shí),可將分子化成,其中為已知常數(shù),由上式定出,則原式</p><p>  例7、設(shè)是的原函數(shù),且當(dāng)時(shí).</p><p><b>  已知,試求</b></p><p>  解:是的原函數(shù),.由題設(shè)知,</p><p><b>  兩邊積分,得</b></p><p&g

46、t;  由于,代入上式,得 又有,可得 </p><p><b>  故  </b></p><p>  注:此題的關(guān)鍵是利用了;另外,在求積分的過(guò)程中,并沒(méi)有求出,而是通過(guò)求,可以“抵消”,從而使計(jì)算得到簡(jiǎn)化.</p><p><b>  [單元測(cè)試]</b></p><p><b> 

47、 A組練習(xí)</b></p><p><b>  一、填空題</b></p><p>  1、設(shè)為可導(dǎo)函數(shù),則         ?。?lt;/p><p>  2、              .</p><p>  3、             .</p><p>  4、設(shè)函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)

48、,那么        .</p><p>  5、若,則           .</p><p><b>  二、單項(xiàng)選擇題</b></p><p>  1、一個(gè)函數(shù)如果有原函數(shù),則它一定有(   )原函數(shù).</p><p>  (A)一個(gè);?。ǎ拢﹥蓚€(gè); ?。ǎ茫o(wú)窮多個(gè); ?。ǎ模┒疾粚?duì).</p>

49、<p>  2、若,則(  ?。?lt;/p><p>  (A);?。ǎ拢弧。ǎ茫弧。ǎ模?lt;/p><p><b>  3、(  ?。?lt;/b></p><p> ?。ǎ粒    。ǎ拢?lt;/p><p> ?。ǎ茫       。ǎ模?lt;/p><p><b>  4、( 

50、  ).</b></p><p> ?。ǎ粒     。ǎ拢?lt;/p><p>  (C)     ?。ǎ模?lt;/p><p><b>  5、(   ?。?lt;/b></p><p>  (A)    ?。ǎ拢?lt;/p><p> ?。ǎ茫    。ǎ模?lt;/p><p

51、><b>  三、計(jì)算題</b></p><p>  1、    2、 </p><p>  3、 4、 </p><p>  5、 6、</p><p><b>  7、已知,且,求 </b></p&

52、gt;<p><b>  四、應(yīng)用題</b></p><p>  1、已知曲線上任一點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù),且在曲線上處的切線為,求這條曲線的方程.</p><p>  2、在積分曲線族中,過(guò)點(diǎn)的曲線為,求點(diǎn)的橫坐標(biāo)。</p><p>  五、證明題:設(shè) 求證:</p><p>  A組答案:一、1、 

53、 2、  3、 </p><p><b>  4、   5、</b></p><p>  二、1、(C) 2、(D) 3、(A) 4、(D) 5、(B)</p><p>  三、1、 2、</p><p><b>  3、  4、</

54、b></p><p><b>  5、</b></p><p><b>  6、 7、</b></p><p>  四、1、 2、</p><p><b>  B組練習(xí)</b></p><p><b>  一、填空題&l

55、t;/b></p><p>  1、            ?。?lt;/p><p>  2、             .</p><p>  3、              ?。?lt;/p><p>  4、設(shè)的原函數(shù)為,則            .</p><p>  5、           ?。?lt;/p>

56、;<p><b>  二、單項(xiàng)選擇題</b></p><p>  1、已知,則(   ?。?lt;/p><p> ?。ǎ粒     。ǎ拢?lt;/p><p> ?。ǎ拢    。ǎ模?lt;/p><p><b>  2、(   ?。?lt;/b></p><p> ?。?/p>

57、A)       ?。ǎ拢?lt;/p><p>  (C)       ?。ǎ模?lt;/p><p><b>  3、(   ?。?lt;/b></p><p><b>  (A)(B)</b></p><p> ?。ǎ茫     。ǎ模?lt;/p><p>  4、 (

58、 ).</p><p> ?。ǎ粒   。ǎ拢?lt;/p><p> ?。ǎ茫     。ǎ模?lt;/p><p>  5、已知,其中及,則(   ?。?lt;/p><p>  (A)        ?。ǎ拢?lt;/p><p><b> ?。ǎ茫。ǎ模?lt;/b></p><p>

59、<b>  三、計(jì)算題</b></p><p>  1、    2、 </p><p>  3、 4、 </p><p>  5、 6、</p><p>  7、設(shè)是的原函數(shù),當(dāng)時(shí),有,且</p><p&g

60、t;<b>  ,試求</b></p><p><b>  四、應(yīng)用題</b></p><p>  1、已知曲線上任意點(diǎn)的切線的斜率為,且時(shí),是極大值,求及它的極小值.</p><p>  2、在平面上有一運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn),它在X軸方向和Y軸方向的分速度分別為,</p><p>  ,且,求質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間的所

61、在位置。</p><p>  五、證明題:設(shè),可微,且的反函數(shù)存在,則</p><p>  B組答案:一、1、   2、或</p><p>  3、  4、  5、</p><p>  二、1、(B);  2、(D);  3、(C);  4、(A);  5、(C).</p><p&

62、gt;<b>  三、1、</b></p><p><b>  2、或</b></p><p> ?。ㄌ崾荆河萌f(wàn)能代換公式化為有理函數(shù)積分或利用)</p><p>  3、(提示:令,然后利用分部積分法); 4、(提示:利用分部積分法)</p><p>  5、(提示:利用倒變換:)</p

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