腫瘤浸潤趨化趨觸性模型的分析與模擬.pdf

1、近年來，人們對(duì)于腫瘤浸潤數(shù)學(xué)模型的研究興趣逐年增加(參看文獻(xiàn)[7-8，16，18，33，37，40-43，47])，特別是在文獻(xiàn)[7]中，Chaplain和Lolas(2005)發(fā)展了新的腫瘤浸潤數(shù)學(xué)模型，該模型是關(guān)于尿激酶型血纖維蛋白溶酶催化劑(uPA)系統(tǒng)(該系統(tǒng)中含有不同種類的降解酶催化劑)及其在腫瘤浸潤生物組織中所起的作用。我們知道，腫瘤浸潤的發(fā)生是與腫瘤細(xì)胞分泌的基質(zhì)降解酶(MDEs)對(duì)細(xì)胞外基質(zhì)(ECM)的降解有緊密關(guān)系的。

2、然而，在Chaplain和Lolas模型中，除了腫瘤細(xì)胞的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)之外，腫瘤細(xì)胞的轉(zhuǎn)移還與兩種細(xì)胞運(yùn)動(dòng)機(jī)制有關(guān)，即：chemotaxis(趨化性機(jī)制)：細(xì)胞傾向于向可擴(kuò)散的基質(zhì)降解酶(MDE)的濃度變大的地方運(yùn)動(dòng)和haptotaxis(趨觸性機(jī)制)：細(xì)胞傾向于不擴(kuò)散的基質(zhì)密度增大的地方運(yùn)動(dòng)。實(shí)際上，早在1970年Keller和Segel就已經(jīng)提出了古典的chemotaxis模型，Chaplain和Lolas模型是Keller和Segel

3、提出的古典的chemotaxis模型的擴(kuò)展。由此可知，Chaplain和Lolas發(fā)展了古典的chemotaxis模型，本文稱之為：chemotaxis-haptotaxis模型，該模型描述了腫瘤細(xì)胞、基質(zhì)降解酶和細(xì)胞外基質(zhì)之間相互作用的動(dòng)力學(xué)。本文主要是研究Chaplain和Lolas模型及其子模型的解的定性性質(zhì)。
　　 首先，本文研究拋物-橢圓chemotaxis-haptotaxis模型。該模型是一個(gè)3×3拋物-常微-橢圓

4、chemotaxis-haptotaxis系統(tǒng)，即這個(gè)模型是由三個(gè)方程組成：一個(gè)方程是拋物型偏微分方程，它描述了腫瘤細(xì)胞密度在chemotaxis和haptotaxis的機(jī)制下的動(dòng)力學(xué)；一個(gè)方程是橢圓型偏微分方程，它描述了蛋白水解酶濃度的動(dòng)力學(xué)；還有一個(gè)方程是常微分方程，它描述了細(xì)胞外基質(zhì)密度在蛋白酶水解作用下的動(dòng)力學(xué)。在三維空間，當(dāng)μ>0(μ是腫瘤細(xì)胞的logistic增長(zhǎng)率)充分大時(shí)，通過從L1(Ω)到L2(Q)再到L4(Ω)來抬高

5、解的先驗(yàn)估計(jì)的正則性，我們證明了該系統(tǒng)的全局古典解的存在性、唯一性和一致有界性；在二維空間，通過L1(Ω)→L2(QT)→L2(Ω)→L4(QT)→L2(Ω)的新的Lp估計(jì)技術(shù)，抬高解的先驗(yàn)估計(jì)的正則性，我們證明了，對(duì)于任何μ>0，該系統(tǒng)解的存在性、唯一性和有界性。在研究中，我們發(fā)展了一些新的Lp估計(jì)技術(shù)。以上提到的Ω()Rd(d=2或3)是一有界區(qū)域，而QT=Ω×(0，T)。
　　 接下來，我們研究了拋物一拋物chemotax

6、is-haptotaxis模型。該模型是一個(gè)3×3拋物-常微-拋物系統(tǒng)，也由三個(gè)方程組成：一個(gè)方程是描述腫瘤細(xì)胞密度變化的反應(yīng)-擴(kuò)散-趨化趨觸性拋物型偏微分方程；另一個(gè)方程是描述蛋白水解酶濃度變化的反應(yīng)-擴(kuò)散拋物型偏微分方程；還有一個(gè)常微分方程描述的是細(xì)胞外基質(zhì)密度在蛋白酶水解作用下的變化。對(duì)于該模型，我們做了以下研究工作：在一維空間，對(duì)任何chemotaxis系數(shù)x>0，我們證明了組合的chemotaxis-haptotaxis模型古

7、典解的整體存在性和唯一性。在三維空間，當(dāng)μ>0充分大時(shí)(其中，μ是腫瘤細(xì)胞的logistic的增長(zhǎng)率)，我們證明了該模型解的整體存在性。而對(duì)于二維空間，對(duì)于任意的μ>0，該模型的整體解均存在(證明已經(jīng)在文獻(xiàn)中給出)。此模型證明的關(guān)鍵點(diǎn)是要從L1到Lp(p>3)抬高解的正則性。
　　 同時(shí)，我們還要特別指出的是：對(duì)于3×3拋物-常微-橢圓的腫瘤浸潤chemotaxis-haptotaxis系統(tǒng)的研究方法是有別于3×3拋物-常微-拋

8、物的腫瘤浸潤chemotaxis-haptotaxis系統(tǒng)的。它們之間有兩個(gè)主要的區(qū)別：首先，前者的解比后者的解關(guān)于時(shí)間t有更弱的正則性，這是由于前者含chemotaxis因子項(xiàng)受到一個(gè)橢圓方程的控制。因此，在證明拋物-常微-橢圓系統(tǒng)的古典解的局部存在性時(shí)，有別于拋物-常微-拋物系統(tǒng)的證明，我們需要仔細(xì)地選擇映射空間XM和映射函數(shù)F。其次，文獻(xiàn)和本文對(duì)于證明古典解的整體存在性的基本思想都是抬高解的估計(jì)的正則性。但是，本文的拋物-常微-橢

9、圓系統(tǒng)是從L1(Ω)到L3(Ω)抬高解的正則估計(jì)，而文獻(xiàn)[42]是從L1(Ω)到L3(Ω×(0，T)抬高解的正則估計(jì)。本文的拋物-常微-拋物系統(tǒng)和拋物-常微-橢圓系統(tǒng)以及文獻(xiàn)[42]中的Lp估計(jì)技術(shù)也是各不相同的。除了在上面提到的假設(shè)條件下解的整體存在以外，對(duì)于拋物-常微-橢圓系統(tǒng)，在同樣的假設(shè)條件下還證明解是一致有界的。當(dāng)然，我們應(yīng)該指出：關(guān)于文獻(xiàn)[42]和本文的拋物-常微-拋物系統(tǒng)的解的有界性仍然是有待解決的問題。
　　 最

10、后，我們要對(duì)簡(jiǎn)化的chemotaxis-haptotaxis模型的爆破性進(jìn)行了數(shù)值模擬分析。從上面的證明結(jié)論我們知道，在三維空間，對(duì)于充分大的μ>0，該模型是存在全局古典解的；而當(dāng)μ>0充分小時(shí)，模型的整體解是否存在，據(jù)我們所知，到目前為止，在理論上仍然沒有證明。但是，利用隱式有限差分格式對(duì)簡(jiǎn)化了的chemotaxis-haptotaxis模型進(jìn)行數(shù)值模擬的過程中，我們發(fā)現(xiàn)對(duì)于充分小的μ>0，該系統(tǒng)模型的解存在爆破的現(xiàn)象。