幾何設計中的迭代方法.pdf

1、迭代逼近技術(shù)(PIA：Progressire-iterative approximation)是一種近來被提出的擬合手段，其直觀思想是通過迭代的方式生成一族曲線或曲面，并且保證其極限插值于給定的數(shù)據(jù)點。已經(jīng)證明，具有歸一化全正基的混合曲線以及張量積混合曲面均具有迭代逼近性質(zhì)。由于迭代逼近算法的諸多優(yōu)點，使得其在幾何設計領(lǐng)域有著極為廣泛的應用前景。
　　 本文以迭代逼近算法為出發(fā)點，對其適用性以及局部性進行了一定程度的研究，并取得

2、了一些成果。
　　 首先，在理論方面，文中給出了有關(guān)二次，三次以及四次非均勻Bernstein-Bézier曲面的迭代逼近性質(zhì)的收斂性證明，由于低次曲線、曲面在幾何設計中應用極為廣泛，尤其是三次曲線或雙三次曲面，所以文中給出的結(jié)論在幾何設計領(lǐng)域中有著重要的實際應用價值。
　　 其次，基于現(xiàn)有學者的研究結(jié)果，文中給出了Loop，Doo-Sabin以及Catmull-Clark等逼近型細分曲面的迭代逼近的局部性質(zhì)以及證明。這

3、種局部特性給形狀控制帶來了更多的靈活性，并且使得自適應擬合成為可能。
　　 在實際應用中，光順曲線和曲面的生成一直是幾何設計領(lǐng)域的一個重要研究課題。然而傳統(tǒng)擬合給定數(shù)據(jù)點的算法，通過求解擬合項與光順項的加權(quán)和函數(shù)的最小化問題，導致其難以直接控制其擬合精度。文中設計了一種變分迭代逼近算法，這種算法易于控制擬合精度，并且生成的光順擬合曲線曲面在某種程度上是最優(yōu)的。
　　 最后，現(xiàn)有B-spline曲線曲面交互修改技術(shù)，往往需

4、要求解一個帶約束的能量優(yōu)化問題，當曲線曲面控制頂點較多時，優(yōu)化問題求解過程慢，難以滿足實時交互的要求。為了改善曲線曲面交互修改技術(shù)，文中基于B-spline曲線曲面的局部迭代逼近性質(zhì)，提出了一種實時的B-spline曲面交互編輯方法。由于迭代逼近算法僅需調(diào)整若干控制頂點，不需要求解約束優(yōu)化問題，使得其在交互修改具有大規(guī)?？刂凭W(wǎng)格的B-spline曲面時，在速度方面具有較大優(yōu)勢；同時這種方法生成的曲面質(zhì)量，與采用能量優(yōu)化方法得到的曲面質(zhì)量