精細(xì)積分方法的改進(jìn)及其在動(dòng)力學(xué)與控制中的應(yīng)用.pdf

1、常微分方程組的數(shù)值計(jì)算一直是備受人們關(guān)注的領(lǐng)域，對(duì)此已發(fā)展了豐富的數(shù)值方法。近年來(lái)，精細(xì)積分方法得到廣泛關(guān)注，已擴(kuò)展到時(shí)變、非線(xiàn)性微分方程、偏微分方程的求解，并成功地應(yīng)用到結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)、隨機(jī)振動(dòng)、波導(dǎo)、熱傳導(dǎo)以及最優(yōu)控制等領(lǐng)域，為不同領(lǐng)域的數(shù)值計(jì)算提供了一個(gè)高精度、高穩(wěn)定性的算法平臺(tái)，值得深入研究。另一方面，控制領(lǐng)域?qū)?shù)值計(jì)算的關(guān)注度和重要性意識(shí)正在加強(qiáng)，而合適的理論框架對(duì)于構(gòu)造高性能算法有重要意義。現(xiàn)代控制論所奠基的狀態(tài)空間法的起點(diǎn)至

2、少也應(yīng)回溯到Hamilton正則方程體系，表明經(jīng)典力學(xué)與現(xiàn)代控制論有共同的數(shù)學(xué)形式和理論基礎(chǔ)，兩個(gè)學(xué)科的問(wèn)題是相互對(duì)應(yīng)的。因此，借鑒力學(xué)中成熟的有限元、子結(jié)構(gòu)分析等方法，展開(kāi)對(duì)最優(yōu)控制領(lǐng)域數(shù)值方法和控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的研究是有意義的。本論文以發(fā)展高效、可靠的數(shù)值算法為主線(xiàn)，改進(jìn)了精細(xì)積分算法平臺(tái)的性能，研究了時(shí)滯、時(shí)變、非線(xiàn)性系統(tǒng)最優(yōu)控制的數(shù)值計(jì)算和控制器設(shè)計(jì)等問(wèn)題，開(kāi)發(fā)了最優(yōu)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)工具箱并將其應(yīng)用于衛(wèi)星編隊(duì)飛行控制的研究。主要工作如下

3、：
　　 (1)采用矩陣函數(shù)逼近理論，提出了基于Pade級(jí)數(shù)逼近的矩陣指數(shù)精細(xì)積分方法中加權(quán)參數(shù)N和級(jí)數(shù)展開(kāi)項(xiàng)數(shù)q的遞推自適應(yīng)選擇算法，提高了精細(xì)積分方法的計(jì)算效率。并與MATLAB內(nèi)置函數(shù)expmO進(jìn)行了比較，表明本文方法在達(dá)到相同的效率的同時(shí)具有更高的精度和穩(wěn)定性。
　　 (2)提出了動(dòng)力初值問(wèn)題中非齊次項(xiàng)產(chǎn)生的Duhamel積分響應(yīng)矩陣的擴(kuò)展精細(xì)積分方法(EPIM)，該方法不需對(duì)系統(tǒng)矩陣(或相關(guān)動(dòng)力矩陣)求逆。當(dāng)非

4、齊次項(xiàng)為多項(xiàng)式函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、正/余弦函數(shù)及其組合函數(shù)的形式時(shí)，可以得到計(jì)算機(jī)意義上的精確解。并推廣應(yīng)用于：1)與虛擬激勵(lì)法結(jié)合，應(yīng)用于隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)的計(jì)算；2)結(jié)合傳統(tǒng)數(shù)值積分技術(shù)(如Taylor級(jí)數(shù)單步法和Adams多步法)，構(gòu)造了求解非線(xiàn)性微分方程的顯式/隱式算法；3)利用系數(shù)周期性交化的特點(diǎn)，導(dǎo)出了周期時(shí)變Floquet轉(zhuǎn)移矩陣和一類(lèi)非線(xiàn)性周期系統(tǒng)響應(yīng)的計(jì)算格式；等。算例表明，基于擴(kuò)展精細(xì)積分方法構(gòu)造的算法提高了數(shù)值穩(wěn)定性和適用范

5、圍，具有高效、高精度、高穩(wěn)定性的優(yōu)點(diǎn)。
　　 (3)提出了兩點(diǎn)邊值問(wèn)題中非齊次項(xiàng)產(chǎn)生的區(qū)段響應(yīng)矩陣的擴(kuò)展精細(xì)積分方法(EPIM)，當(dāng)非齊次項(xiàng)為多項(xiàng)式函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、正/余弦函數(shù)及其組合函數(shù)的形式時(shí)，可以得到計(jì)算機(jī)意義上的精確解。在此基礎(chǔ)上，研究了一班非齊次項(xiàng)的處理方法以及在無(wú)限長(zhǎng)區(qū)段和變系數(shù)兩點(diǎn)邊值問(wèn)題中的應(yīng)用。還結(jié)合周期時(shí)變Floquet轉(zhuǎn)移矩陣的擴(kuò)展精細(xì)積分方法，導(dǎo)出了周期變系數(shù)Riccati、Lyapunov、Sylves

6、ter等矩陣微分方程的保結(jié)構(gòu)算法，數(shù)值算例驗(yàn)證了算法的有效性。
　　 (4)對(duì)時(shí)滯系統(tǒng)的凰最優(yōu)控制和濾波進(jìn)行了研究。首先采用擴(kuò)展精細(xì)積分方法對(duì)連續(xù)時(shí)滯系統(tǒng)方程和性能指標(biāo)離散化，以最大程度地保證與原系統(tǒng)的等價(jià)性。然后引入合適的增維向量，化為不顯含時(shí)滯的標(biāo)準(zhǔn)離散形式，采用區(qū)段混合能方法和擴(kuò)展W-W算法進(jìn)行計(jì)算分析，增強(qiáng)了增維方法的可行性，從而為時(shí)滯Ho最優(yōu)控制和濾波系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)提供了一套精確、穩(wěn)定的算法。并導(dǎo)出了含輸入時(shí)滯的尼。

7、全信息控制器，應(yīng)用于建筑結(jié)構(gòu)的減振控制，仿真顯示對(duì)于不同的時(shí)滯量和地震激勵(lì)形式，結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)都得到了有效抑制，驗(yàn)證了控制器的有效性。
　　 (5)時(shí)變、非線(xiàn)性最優(yōu)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)導(dǎo)出Hamilton系統(tǒng)兩點(diǎn)邊值問(wèn)題，其數(shù)值算法應(yīng)該保辛。本文在區(qū)段分析的框架下，提出了時(shí)變Hamilton兩點(diǎn)邊值問(wèn)題基于常值精·細(xì)積分的保辛攝動(dòng)方法，導(dǎo)出了零階、攝動(dòng)系統(tǒng)分別基于區(qū)段混合能矩陣和區(qū)段傳遞矩陣的組合公式以及對(duì)應(yīng)關(guān)系，指出前者具有內(nèi)在的穩(wěn)定

8、性從而是更好的選擇。進(jìn)一步提出了時(shí)變非齊次Hamilton兩點(diǎn)邊值問(wèn)題的保辛攝動(dòng)方法，并應(yīng)用于非線(xiàn)性最優(yōu)控制問(wèn)題的迭代計(jì)算，結(jié)果表明，迭代過(guò)程中關(guān)鍵算法的改進(jìn)顯著地提高丁收斂速度，降低了對(duì)初始迭代值的敏感性，說(shuō)明保辛攝動(dòng)方法是一種高精度和穩(wěn)定的算法。
　　 (6)傳統(tǒng)終端控制器往往存在終端高增益或奇異現(xiàn)象，只好在靠近終端區(qū)段采用開(kāi)環(huán)控制。本文引入終端“軟約束項(xiàng)”改進(jìn)了性能指標(biāo)，并利用Lagrange乘子的常數(shù)本質(zhì)，構(gòu)造了非奇異的

9、、兩個(gè)區(qū)段都具有反饋.前饋控制結(jié)構(gòu)的終端控制器。分析了引入的“軟約束項(xiàng)”對(duì)構(gòu)造反饋結(jié)構(gòu)控制器的重要影響，對(duì)于最小能量控制問(wèn)題尤為重要。進(jìn)一步利用區(qū)段混合能矩陣構(gòu)造了反饋增益矩陣和控制系統(tǒng)方程的閉合解，導(dǎo)出了保結(jié)構(gòu)遞推算法，方便了控制器的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)。并將該方法推廣應(yīng)用于離散時(shí)間系統(tǒng)的終端控制器設(shè)計(jì)。
　　 (7)針對(duì)當(dāng)前主流商業(yè)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)軟件MATLAB缺乏有限長(zhǎng)時(shí)間時(shí)變最優(yōu)控制器設(shè)計(jì)功能的現(xiàn)狀開(kāi)發(fā)了PIMCSD Toolbox