若干孤子方程和超對稱方程的研究.pdf

1、討論孤子方程的可積性一直是孤立子理論研究中的一個重要且基本的課題.Painlevé分析在孤子理論研究中扮演著重要角色，特別是在研究方程的可積性質(zhì)方面.人們發(fā)現(xiàn)，完全可積系統(tǒng)與Painlevé性質(zhì)之間有密切的聯(lián)系.求解非線性孤子方程的精確解是孤子領(lǐng)域的又一基本課題.目前已發(fā)展形成許多方法，Hirota雙線性導(dǎo)數(shù)法和雙線性B(a)cklund變換是其中常用的方法.本文首先對一個新的(2+1)維廣義KdV方程進行Painlevé分析，并利用雙

2、線性方法求得了該方程的許多精確解.其次給出了兩個破碎孤子方程的雙線性B(a)cklund變換.
　　 由于可積系統(tǒng)在數(shù)學(xué)物理中有著廣泛的應(yīng)用，所以人們認為研究他們的超對稱化亦是有著重要意義的.大量的孤子方程被推廣為其超對稱方程，同時研究普通孤子方程的方法也相繼被推廣用來研究超對稱方程.本文最后是在參考一些相關(guān)文獻的基礎(chǔ)上，來論述如何應(yīng)用雙線性方法研究超對稱方程.
　　 本文具體工作如下:
　　 1.第二章討論了一

3、個新的(2+1)維廣義KdV方程，該方程存在雙線性形式.首先證明此方程不能通過Painlevé測試.當參數(shù)a=0時，其退化的方程也不具有Painlevé性質(zhì).其次利用雙線性方法，給出了(2+1)維廣義KdV方程的雙線性形式及多孤子解.基于雙線性方法，采用長波極限法求得了有理解.最后給出了黎曼θ函數(shù)表示的周期解并對周期解的漸進性作了詳細的分析.
　　 2.第三章利用一些雙線性恒等式推得了Calogero方程和Bogoy-avlen

4、skii破碎孤子方程的雙線性B(a)cklund變換.對于Bogoyavlenskii破碎孤子方程，得到的是一個雙參數(shù)的雙線性B(a)cklund變換.此外，還根據(jù)Calogero方程的Lax對導(dǎo)出了其另一個雙線性B(a)cklund變換.由此B(a)cklund變換，通過一個代數(shù)程序建構(gòu)了Calogero方程的N孤子解.
　　 3.第四章以KdV方程為例來說明如何將其超對稱化，如何導(dǎo)出超對稱KdV方程的雙線性形式以及如何求超對