非線性雙曲組脈沖波解的漸近分析.pdf

1、本論文主要利用多尺度分析、漸近分析、余法分布空間理論、非線性幾何光學(xué)方法等研究半線陛雙曲型偏微分方程組的脈沖型波的傳播、干擾的數(shù)學(xué)理論問題． 在第一部分，我們考察了多個空間變量的一階常系數(shù)半線性方程組脈沖波傳播和干擾問題，建立了一個具有三個不同特征的方程組的兩個脈沖波干擾后將產(chǎn)生新的脈沖波的理論，從而也說明對于一般的半線性雙曲方程組的帶脈沖波初值的Cauchy問題，如果初值不滿足極化條件時，初始脈沖波一般而言，將沿各個特征方向傳

2、播．對此問題我們通過引入平均值算子等非線性幾何光學(xué)的方法，構(gòu)造了該問題的漸近解，并在余法分布空間中得到了原問題精確解的存在性以及相應(yīng)的漸近展開式，其主項滿足半線性運(yùn)輸方程組，低階項滿足帶非局部項的線性的運(yùn)輸方程，從中觀察到新的脈沖波首先出現(xiàn)在一階的展開項中，其主項中只含有原始的兩個脈沖波，這主要是由脈沖波干擾時其相交的支集的小性來決定的.在第二部分中，我們將研究多個空間變量中一階常系數(shù)半線性雙曲方程組脈沖波的長期性態(tài)，對于兩個脈沖波的傳

3、播問題，通過引入慢變量、快變量和普通物理變量等三個不同測度的profiles，得到其形式展開主項滿足半線性的schrodinger型方程，其他各項的profiles滿足相應(yīng)的線性問題，從中觀察到，在二階的展開項中將出現(xiàn)同時有兩個位相函數(shù)的非線性函數(shù)，這是由干擾產(chǎn)生的．最后通過引入截斷函數(shù)和擾動方法，在Wiener代數(shù)的框架中建立了精確解的存在性，并嚴(yán)格論證了它的漸近展開式. 在第三部分中，我們主要研究三維空間中半線性波動方程組球

4、對稱脈沖波的傳播和干擾的數(shù)學(xué)問題．類似于高頻振蕩波的傳播理論，我們得到，在離開脈沖波聚焦點的地方，小振幅的脈沖波將主要以線性規(guī)律傳播，大振幅的脈沖波按照非線性規(guī)律傳播，其漸近展開的首項滿足由非線性幾何光學(xué)方法導(dǎo)出的半線性運(yùn)輸方程組，進(jìn)而我們分別在非線性函數(shù)滿足次臨界，超臨界和臨界增長條件時考察了這些球?qū)ΨQ脈沖波在聚焦點附近的性態(tài)，在次臨界情況下，脈沖波在聚焦點附近的主要性態(tài)可以用線性波動方程進(jìn)行刻畫；在超臨界情況下，當(dāng)方程具有一定的耗散