Doi-Hopf模和Yetter-Drinfeld模的上同調(diào).pdf

1、自上同調(diào)理論出現(xiàn)后，其思想方法很快成為數(shù)學(xué)研究的主流方法之一。近年來(lái)，許多數(shù)學(xué)家把這一思想方法運(yùn)用到群、代數(shù)、以及模理論的研究中。例如：Pareigis在文獻(xiàn)[32]中研究了Hopf代數(shù)上模的上同調(diào)理論；Caenepeel和Guedenon研究了相關(guān)Hopf模的上同調(diào)理論(參見(jiàn)文獻(xiàn)[7])；Panaite在文獻(xiàn)[30]中討論了Yetter-Drinfeld模的形式上同調(diào)；Yau在此基礎(chǔ)上研究了Yetter-Drinfeld模的上同調(diào)映射

2、(詳見(jiàn)[42])；Mastnak和他的同伴在文獻(xiàn)[24]中研究了有限維pointedHopf代數(shù)的上同調(diào)理論。關(guān)于這方面的研究論文很多，這里就不再一一列舉。本文的目的是把上同調(diào)理論的思想方法運(yùn)用到Doi-Hopf模和Yetter-Drinfeld模的研究中。Doi-Hopf模的概念是由Doi于1992年在文獻(xiàn)[15]中給出的。人們發(fā)現(xiàn)Doi-Hopf模統(tǒng)一了很多的模結(jié)構(gòu)，例如，Sweedler的Hopf模，Takeuchi的相關(guān)Hopf

3、模，分次模，以及Yetter在1990年給出的Yetter-Drinfeld模。眾所周知，具有雙射antipode的Hopf代數(shù)上Yetter-Drinfeld模范疇是辮子monoidal范疇，其辮子結(jié)構(gòu)可為量子Yang-Baxter方程提供解。
　　 在本博士學(xué)位論文中，我們主要討論Doi-Hopf模和Yetter-Drinfeld模的上同調(diào)理論并計(jì)算二面體群的Hopf-Ore擴(kuò)張A(n，0)的單Yetter-Drinfeld

4、模。我們首先研究Doi-Hopf模范疇中的內(nèi)射對(duì)象，極小內(nèi)射解以及上同調(diào)群。然后構(gòu)造二面體群的Hopf-Ore擴(kuò)張A(n，0)的所有單Yetter-Drinfeld模，并對(duì)它們進(jìn)行分類。最后我們給出Yetter-Drinfeld模上同調(diào)理論研究的一些基礎(chǔ)性工作。
　　 本博士學(xué)位論文的結(jié)構(gòu)安排如下。在第一章中，我們簡(jiǎn)單地回顧一下有關(guān)Hopf代數(shù)、Hopf代數(shù)的量子偶、譜序列、Hopf Ore擴(kuò)張以及一些其它有關(guān)的概念。在第二章中

5、，我們探討了左-右(H,A，C)-Doi-Hopf模的上同調(diào)，其中(H,A，C)是一個(gè)Doi-Hopf系統(tǒng)，即H是有雙射antipode的Hopf代數(shù)，A是右H-余模代數(shù)，C是左H-模余代數(shù)且有一個(gè)群樣元1C。假設(shè)有一個(gè)余代數(shù)反同態(tài)φ∶C→H使得φ(1C)=1。我們首先討論右C-余模范疇MC，利用φ，我們定義了MC到自身的一個(gè)函子((-))，并對(duì)任意的C-余模M和N，定義了Hom(M,N)的一個(gè)左C*-模結(jié)構(gòu)，研究了Hom(M,N)的極

6、大有理子模HOM(M,N)，這是含于Hom(M,N)中的最大右C-余模。我們還討論了兩個(gè)右C-余模M和N之間的C-余模同態(tài)組成的空間HomC(M,N)，研究了兩個(gè)Hom函子HOM和HomC的右導(dǎo)來(lái)函子EXT和ExtC的性質(zhì)，借助余不動(dòng)點(diǎn)函子和函子((-))，將函子EXT和ExtC通過(guò)譜序列聯(lián)系在一起。然后，在假設(shè)φ滿足條件(Cφ)的前提下，探討了DoiHopf模范疇AM(H)C的上同調(diào)。此時(shí)同樣可定義AM(H)C到自身的一個(gè)函子((-)

7、)以及函子AHOM(-，-)，我們研究了函子AHOM(-，-)和AHomC(-，-)的右導(dǎo)來(lái)函子AEXT和AExtC的性質(zhì)，并通過(guò)譜序列給出了這兩個(gè)Ext函子之間的聯(lián)系。最后，我們討論了函子BHOM(A，-)和HOM(A，-)，這里B=AcoH為不動(dòng)點(diǎn)子代數(shù)。當(dāng)C是余半單時(shí)，我們得到了一些更為特殊且有趣的結(jié)果，這些結(jié)果在本章的最后一節(jié)中。(M,N)在第三章，假設(shè)n=2d是一個(gè)偶數(shù)，A(n，0)是二面體群Dn的一個(gè)Hopf-Ore擴(kuò)張，我

8、們討論了A(n，0)上的Yetter-Drinfeld模。首先，對(duì)任意的左H-模L，回顧了L(O)H的YD H-模結(jié)構(gòu)。當(dāng)L是左A(n，0)-單模時(shí)，我們討論了L(O)H的由單子余模生成的YDA(n，0)-子模的性質(zhì)?？梢宰C明，L(O)H的A(n，0)-單子余模有形式k(l(O)g)，其中l(wèi)∈L，g∈Dn。從而我們分d為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況分別討論了YDA(n，0)-模A(n，0)·(l(O)g)的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)。給出A(n，0)·(l(O)

9、g)是單YDA(n，0)-模的充分必要條件，同時(shí)也給出了兩個(gè)這樣的單YDA(n，0)-模同構(gòu)的充分必要條件。由此對(duì)單YD A(n，0)-模進(jìn)行了分類。(M,N)在第四章中，我們給出了Yetter-Drinfeld模上同調(diào)理論研究的一些基礎(chǔ)工作。設(shè)H是具有雙射antipode的Hopf代數(shù)，我們首先研究了H-余模HOM(M,N)，證明了對(duì)任意的YD H-模M和N，HOM(M,N)也是一個(gè)YD H-模。然后，根據(jù)文獻(xiàn)[18]，通過(guò)左H-內(nèi)射