具有奇異積分項的Boussinesq方程的Cauchy問題.pdf

1、本文分五章：第一章為引言；第二章研究一類具有奇異積分項的Boussinesq方程的Cauchy問題的局部解的存在惟一性；第三章通過積分估計證明第二章所述問題的整體解的存在惟一性；第四章用凸性原理討論第二章所述問題的解的爆破；第五章在小初值的條件下通過Hilbert變換得出一些振蕩積分的估計，利用這些估計得到解的衰減性質(zhì)，從而證明了解的整體存在性，這是一些新的結(jié)果.具體情況如下：在第二章中，我們研究如下一類具有奇異積分項的Boussine

2、sq方程的Cauchy問題utt+αuxxxx-βH(uxxx)-γuxx=f(u)xx，(0.1)u(x，0)=()(x)，ut(x，0)=ψ(x)(0.2)的局部解的存在惟一性，其中u(x，t)為未知函數(shù)，α＞0，β≥0，γ＞0為常數(shù)，H為Hilbert算子，定義為H(u(x)=limδ→0+1/π∫|x-y|≥δu(y)/x-ydy=1/πP.V.∫∞-∞u(y)/x-ydy,f(s)為給定的非線性函數(shù)，()(x)和ψ(x)為已知

3、的初始函數(shù)，下標(biāo)t，x分別表示對t，x求偏導(dǎo)數(shù). 為此，我們先研究對應(yīng)線性方程的Cauchy問題utt+αuxxxx-βH(uxxx)-γuxx=g(x，t)(0.3)u(x，0)=()(x)，ut(x，0)=ψ(x)(0.4)在證明了(0.3)，(0.4)的解的存在惟一性后，利用壓縮映射原理，得到非線性問題局部解的存在惟一性，其主要結(jié)果如下定理1假設(shè)s≥1/2，()∈Hs，ψ∈Hs-2，且f∈C[s]+1(R)，則問題(0.1

4、)，(0.2)有惟一的局部解u∈C([0，T0)，Hs)∩C1([0，T0)，Hs-2)，其中[0，T0)是解的最大存在區(qū)間.進一步，若limsupt↑T0[‖u(t)‖Hs+‖ut‖Hs-2]＜∞，(0.5)則T0=∞，即解u∈C([0，T]，Hs)∩C1([0，T]，Hs-2)是整體解. 第三章通過守恒律得到一些積分估計，然后再證明問題(0.1)，(0.2)的整體解的存在惟一性，主要結(jié)果如下定理2假設(shè)S≥1/2，()∈Hs，

5、ψ∈Hs-2，且f∈C[s]+1(R).設(shè)T＞0是問題(0.1)，(0.2)的解的最大存在時間，則T＜∞的充要條件是limsupt↑T‖u(t)‖L∞=∞.(0.6)定理3假設(shè)s≥1，()∈Hs，ψ∈Hs-2∩H-1，F(xiàn)(())∈L1，f(u)∈C[s]+1(R)，且F(u)≥0或f′(u)是下有界的，即存在常數(shù)A0，使得對u∈R有f′(u)≥A0.則問題(1.1),(1.2)存在唯一的整體解u∈C([0，∞)，Hs)∩C1([0，∞)

6、，Hs-2). 第四章中用凸性引理得到了問題(0.1)，(0.2)解在有限時刻爆破的充分條件，主要結(jié)果如下定理4假設(shè)f(u)∈C(R)，F(xiàn)(u)=∫u0f(s)ds，()∈H1，ψ∈H-1且F(())∈L1，存在常數(shù)k＞0使得對任意的u∈R有f(u)u≤2(2K+1)F(u)+2Kγu2.(0.7) 若初值滿足下列條件之一：(1)E(0)＜0，(2)E(0)=0，(|ξ|-1()，|ξ|-1ψ)＞0，(3)E(0)＞0，

7、(|ξ|-1()，|ξ|-1ψ)＞√E(0)‖()‖(H)-1，則Cauchy問題(1.1)，(1.2)的廣義解u(x，t)在有限時間內(nèi)發(fā)生Blow-up. 第五章討論了在小初值的條件下問題(1.1)，(1.2)的整體解的存在性，我們首先研究線性問題utt+αuxxx-βH(uxxx)一γuxx=g(x，t)xx(0.8)u(x，0)=()(x)，ut(x，0)=ψ(x)(0.9)得到解的一些估計式，然后利用壓縮映射原理，得到(

8、0.1)，(0.2)的整體解的存在性，其主要結(jié)果如下定理5假定()∈H21∩L1，ψ∈H-21，g∈L2([0，T]，H21∩L1)，()T＞0，則問題(0.8)，(0.9)有唯一廣義解u(x，t)∈C([0，T]，H21)∩C1([0，T]，L1)，并且有：‖ut(·,t)‖∞+‖u(·,t)‖∞≤C10(1+t)-1/3(‖()‖H21+‖()‖1+‖ψ‖H-21+‖ψ‖1)+C11∫t0[(t-τ)-1/3+(t-τ)-1/2]‖

9、g(·,τ)‖1dτ(0.10)‖u(·,t)‖H21+‖UT(·,t)‖L1≤C12(‖()‖H21+‖ψ‖L1+∫t0‖g(·,τ)‖H21dτ)(0.11)定理6假定α＞4是一個正整數(shù)，f∈C2(R)滿足當(dāng)u→0時，|f(u)|=O(|u|α+1)，則存在一個δ＞0，使得對任何()∈H21∩L1，ψ∈H-21∩L1，當(dāng)‖()‖H21+‖()‖1+‖ψ‖H-21+‖ψ‖1＜δ(0.12)時，問題(0.1)，(0.2)存在一個解u(x