q-差分算子和基本超幾何級數(shù).pdf

1、南開大學(xué)博士學(xué)位論文q差分算子和基本超幾何級數(shù)姓名：陳永兵申請學(xué)位級別：博士專業(yè)：應(yīng)用數(shù)學(xué)指導(dǎo)教師：郁星星20090401摘要推廣形式同時也包含著Gasper積分。同樣地，Andrews的雙項(xiàng)求和式、Sears的雙項(xiàng)求和式、Gasper積分、兩個Barnes積分的q模擬等恒等式也都被推廣到了最一般的形式。但是當(dāng)我們用qLeibniz法則去推導(dǎo)Cauchy伴隨算子等式時，會遇到q項(xiàng)式定理求和不收斂的情況。Fang在文章[57]中讓某些參數(shù)

2、取特殊值截?cái)嗉墧?shù)使之變成有限項(xiàng)，從而避免了收斂問題。我qJ貝J從D算子的一個展開式出發(fā)，以一種新的方法建立了并不需要有限項(xiàng)數(shù)限制的廣義Cauchy伴隨算子等式。同樣地，Cauchy伴隨算子也在基本超幾何級數(shù)中有著廣泛的應(yīng)用，我們僅舉幾個代表性的例子。通過比較這兩種不同方式導(dǎo)出的Cauchy伴隨算子等式，我們直接得到了Jackson變換公式和一個新的3砂2雙重和形式展開式。利用Cauchy伴隨算子還可以把qChu—Vandermonde求

3、和式和Jackson變換公式分別推廣到一個3也變換公式和另一個新的3矽：雙重和形式展開式。第三章著重介紹了基本超幾何單邊級數(shù)的雙邊擴(kuò)展方法。Dougall的雙邊超幾何求和式和qGauss求和式分別是Gauss經(jīng)典2F】求和式的雙邊擴(kuò)展形式和口模擬。一直以來，Bailey、Slater、Gasper和Askey等數(shù)學(xué)家都在尋找一個封閉的Dougall求和式的口模擬，或者說封閉的qGauss求和式的雙邊擴(kuò)展形式。雖然到目前為止還沒有找到這樣

4、的等式，但是在這過程中他們發(fā)現(xiàn)了很多關(guān)于2妒2級數(shù)的重要結(jié)果。在這一章中，我們由一個3≯2變換公式出發(fā)，使用雙邊擴(kuò)展方法給出了一個從2也級數(shù)到兩個2西。級數(shù)的新的變換公式。這個恒等式可以看作是Slater變換公式的一個伴隨公式，是已知2也變換公式的重要補(bǔ)充，并且還有著一些很有意義的推論，其中包括一個把。如級數(shù)表示成一個和式和一個無窮乘積之和的qGauss求和式的雙邊擴(kuò)展形式。我們還發(fā)現(xiàn)Slater的一個雙項(xiàng)2如求和式可以由Andrews

5、的一個單邊求和公式先進(jìn)行雙邊擴(kuò)展再應(yīng)用參數(shù)擴(kuò)充技巧得到。結(jié)合這兩個2也公式可導(dǎo)出一個很重要的theta函數(shù)等式[46，Thm11】。Chu利用這個theta函數(shù)等式建立了(g；g)罌的一個新的展開式，從而給出了Ramanujan模11同余式的一個新證明。Bailey的6矽6求和式在基本超幾何雙邊級數(shù)理論中占據(jù)著極其重要的地位，它不但包含很多經(jīng)典恒等式作為其特殊形式，而且在分拆理論、數(shù)論和特殊函數(shù)理論中有著很多應(yīng)用。Chen和Fu在文章[