基本超幾何級數(shù)與q-Gosper算法.pdf

1、摘要摘要這篇論文的主要結(jié)果是關(guān)于基本超幾何級數(shù)的一些進(jìn)展，包括基本超幾何級數(shù)恒等式關(guān)于qGosper算法的機(jī)器證明，一些已知等式的有限形式，以及四個(gè)經(jīng)典基本超幾何級數(shù)公式關(guān)于q調(diào)和級數(shù)的等式.在第一章中，我們給出了基本超幾何級數(shù)的背景，并介紹了本論文中用到的定義和記號(hào).同時(shí)，我們還介紹了一些重要的經(jīng)典基本超幾何級數(shù)恒等式.在第二章中，我們引進(jìn)了一種基于qGospe:算法證明基本超幾何級數(shù)恒等式的系統(tǒng)方法.先從已知等式中得出一個(gè)迭代關(guān)系式

2、，然后利用qGosper算法計(jì)算產(chǎn)生Gosper對(9t似).這一步可以看作是對迭代關(guān)系式的驗(yàn)證.最后，我們利用這個(gè)迭代關(guān)系式通過計(jì)算某個(gè)極限值來證明原始的等式.事實(shí)上。一旦Gosper對給定，我們就可以計(jì)算相應(yīng)的Abel對.一般來說，這種方法對于證明很多帶參數(shù)的經(jīng)典和式都是非常有效的，其中包括很多著名的雙邊和單邊和式.在第三章中，我們介紹了曾被Cauchy[33]用來給出Jacobi三重積恒等式第二個(gè)證明的一種方法.這種方法可以利用有

3、限單邊級數(shù)等式得到雙邊級數(shù)等式.我們稱這種方法為Cauchy方法.這種經(jīng)典的方法被很多數(shù)學(xué)家采用，比如Bailey[24Secs.3and6](25](也可參考Slater[95Sec.6.2])Schlosser[90]JouhetandSchlosser[67].在文章[90」中，Schlosser給出一個(gè)猜想:任何雙邊級數(shù)等式都可以利用Cauchy方法從適當(dāng)選取的有限級數(shù)等式中得到(作為一個(gè)極限，而不是利用解析延拓).在這一章，我

4、們給出了一些關(guān)于Cauchy方法已有的結(jié)果，同時(shí)主要利用改進(jìn)的Cauchy方法從有限單邊級數(shù)和式來得到很多雙邊級數(shù)和式.同時(shí)，我們可以計(jì)算得到一些雙邊基本超幾何級數(shù)恒等式具有獨(dú)立上下界和式的有限形式.在第四章中，我們將微分算子方法應(yīng)用到四個(gè)典型的基本超幾何級數(shù)公式中得到大量的q調(diào)和級數(shù)等式.尤其我們詳細(xì)的檢驗(yàn)了qChuVandermonde等式，qPfaffSaalschutz等式，qDougallDixon等式和WatsonsqWhi

5、pple變換.AbstractAbstractThemainresultsofthisthesisaresomeprogressinbasichypergeometricseriesincludingautomatedproofofbasichypergeometricseriesidentitiesbasedontheqGosperalgorithmthefiniteformsofthewellknownidentitiesandne

6、widentitiesontheqharmonicnumberswithregardtofourtypicalbasichypergeometricseriesformulas.InChapter1wegiveabackgroundonbasichypergeometricseriesandintroducesomedefinitionsandnotationsthatareusedthroughoutthethesis.Meanwhi

7、lewedisplaysomeimportantclassicalbasichypergeometricseriesidentities.InChapter2wepresentasystematicapproachtodealwithbasichypergeometricseriesidentitiesbasedontheqGosperalgorithm.Westartwithaniterationrelationderivedfrom

8、theoriginalidentity.ThenweusetheqGosperalgorithmtogenerateaGosperpair(gkhk)ifitexists.Thisstepcan.beregardedasaverificationoftheiterationrelation.Finalyweemploytheiterationrelationtoprovethedesiredidentity飾computingacert

9、ainlimitvalue.InfactonceaGosperpair(gkhk)isobtainedonecaneasilycomputethecorrespondingAbelpair.Ingeneralourmethodiseficientformanyclassicalsummationformulaswithparametersincludingseveralwellknownbilateralsummationformula

10、sandmanyunilateralsummationformulas.InChapter3weshowamethodwhichwasemployedbyCauchy[33]inhissecondproofofJacobistripleproductidentity.ThismethodwhichwecallCauchysmethodcanbeusedtoobtainbilateralseriesidentitiesfromtermin

11、atingunilateralseriesidentities.Thisclassicalmethodhasbeenemployed場manymathematicianssuchasBailey[24Sees.3and6][25](seealsoSlater[95Sec.6.2])Schlosser[90]JouhetandSchlosser[67].Itwasconjecturedin[90]thatanybilateralsumca