一元函數積分學及其應用

1、第三章 一元函數積分學及其應用..................................................................................................13.1 定積分的概念、性質、可積準則.....................................................................................13.

2、1.1 定積分問題舉例......................................................................................................13.1.2 定積分的概念..............................................................................................

3、............33.1.3 定積分的幾何意義..................................................................................................43.1.4 可積準則....................................................................................

4、..............................53.1.5 定積分的性質..........................................................................................................73.2 微積分基本定理...........................................................

5、....................................................103.2.1 牛頓－萊布尼茲公式............................................................................................103.2.2 原函數存在定理............................................

6、........................................................123.3 不定積分...........................................................................................................................163.3.1 不定積分的概念及性質.............

7、...........................................................................163.3.3 基本積分公式........................................................................................................173.3.3 積分法則...............

8、.................................................................................................183.4 定積分的計算...............................................................................................................

9、....303.4.1 定積分的換元法....................................................................................................303.4.2 定積分的分部積分法....................................................................................

10、........343.5 定積分應用舉例...............................................................................................................353.5.1 總量的可加性與微元法......................................................................

11、..................353.5.2 幾何應用舉例........................................................................................................363.5.3 物理、力學應用舉例...................................................................

12、.........................453.5.4 函數的平均值........................................................................................................493.6 反常積分...................................................................

13、........................................................503.6.1 無窮區(qū)間上的反常積分........................................................................................503.6.2 無界函數的反常積分.........................................

14、...................................................533.6.3 反常積分的審斂法 ? 函數 .................................................................................55習題課四 ...........................................................

15、............................................................59習題課 5 ........................................................................................................................63第三章 第三章 一元函數積分學及其應用 一元函數積分學及其應

16、用3.1 定積分的概念、性質、可積準則 定積分的概念、性質、可積準則定積分問題舉例 定積分問題舉例1. 1. 曲邊梯形的面積 曲邊梯形的面積設 ) (x f y ? 在區(qū)間 在區(qū)間 ] , [ b a 上非負、連續(xù)。由直線 上非負、連續(xù)。由直線 0 ? ? ? y b x a x 、 、 及曲線 及曲線) (x f y ? 所圍成的圖形（如圖 所圍成的圖形（如圖 3-1 3-1）稱為曲邊梯形，其中曲線稱為曲邊。 ）稱為曲邊梯形，其中曲線

17、稱為曲邊。類似地我們可以得到變速直線運動的路程i ini t v s ? ? ?? ? ) ( lim1 0 ??定積分的概念 定積分的概念拋去上面兩個例題的物理意義，給出它們在本質上的性質，為此引入以下定義。定義 設函數 ) (x f在 ] , [ b a 上有界，在 ] , [ b a 中任意插入若干個分點b x x x x x a n n ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 1 0 ? ，把區(qū)間 ] , [ b a 分成 n

18、個小區(qū)間] , [ , ], , [ ], , [ 1 2 1 1 0 n n x x x x x x ? ? ，各個小區(qū)間的長度依次為n n n x x x x x x x x x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 2 2 0 1 1 , , , ? ，在每個小區(qū)間 ] , [ 1 i i x x ? 上任取一點 ) ( 1 i i i i x x ? ? ? ? ? ，作函數值 ) ( i f ? 與小區(qū)間長度 i x

19、? 的乘積 ) ( i f ? i x ? ) , , 2 , 1 ( n i ? ? 并作出和i ini x f S ? ? ?? ) (1 ? （1）記 } , , , max{ 2 1 n x x x ? ? ? ? ? ? ，如果不論對 ] , [ b a 怎樣分法，也不論在小區(qū)間 ] , [ 1 i i x x ? 上點 i ? 怎樣取法，只要當 0 ? ? 時，和 S 總趨于確定的極限 I ，這時我們稱這個極限 I 為函數

20、) (x f 在區(qū)間 ] , [ b a 上的定積分（簡稱積分） ，記作?ba dx x f ) ( ，即?ba dx x f ) ( i ini x f I ? ? ? ?? ? ) ( lim1 0 ?? ， （2）其中 ) (x f 叫做被積函數， dx x f ) ( 叫做被積表達式， x 叫做積分變量， a 叫做積分下限，b 叫做積分上限， ] , [ b a 叫做積分區(qū)間。和 i ini x f ? ? ? ) (1 ? 通