第七講-多元函數(shù)積分學(xué)(一)

1、第七講第七講多元函數(shù)積分學(xué)（一）多元函數(shù)積分學(xué)（一）知識點(diǎn)分析：知識點(diǎn)分析：一、二重積分1、二重積分的概念：設(shè)二元函數(shù)定義在有界閉區(qū)域上，則二重積分()fxyD01()lim()niiiiDfxydf????????????精確定義求極限問題：11()lim()nnnijDbadcbadcfxydfaicjnnnn?????????????????先提出，在湊出，可以看出是0到1上的，是0到1上的，是0到11nn?ijnnnixjnyn

2、11上的dxdy注：①二重積分的存在性，也稱二元函數(shù)的可積性，設(shè)平面有界閉區(qū)域由一條或幾條逐D段光滑閉曲線圍成，當(dāng)在上連續(xù)時，或者上連續(xù)時，或者在上有界，且在上有界，且在除了有除了有()fxyD()fxyDD限個點(diǎn)和有限條光滑曲線外都是連續(xù)的，限個點(diǎn)和有限條光滑曲線外都是連續(xù)的，則在上可積。()fxyD②極限存在與的分割方式無關(guān)。Dddxdy???③幾何意義曲頂柱體的體積；物理意義的質(zhì)量。()DVfxyd????D()Dmxyd????

3、?2、二重積分的性質(zhì)（1）區(qū)域面積，其中為區(qū)域的面積。DdA????AD（2）可積函數(shù)必有界：當(dāng)在閉區(qū)域上可積時，則在上必有界()fxyD()fxyD（3）線性性質(zhì)：為常??1212()()d()d()dDDDkfxykgxykfxykgxy????????????12kk數(shù)。（4）可加性：，1212DDDDD?????。12()d()d()dDDDfxyfxyfxy???????????（5）保號性：若在上，則；D()()fxygxy

4、?()()DDfxydgxyd???????特殊的有。|()d|()dDDfxyfxy???????（6）估值定理：設(shè)，的面積為則有max()min()DDMfxymfxy??D?()DmfxydM???????（7）二重積分中值定理：設(shè)函數(shù)在閉區(qū)域上連續(xù)，的面積為，則至少存()fxyDD?在一點(diǎn)使得。()D???()()Dfxydf????????3、二重積分的計算（1）直角坐標(biāo)系計算法①型：，在上連續(xù)，則X??12()()()Dxy

5、xyxaxb???????12()()xx????ab21()()()()bxaxDfxyddxfxydy????????②型：，在上連續(xù)，則Y??12()()()Dxyyxycyd???????12()()yy????cd。12()()()fxyzdvfxyzdvfxyzdv??????????????（5）保號性：若在上，則；?()()fxyzgxyz?()()fxyzdvgxyzdv?????????特殊的有。|()|()fxyz

6、dvfxyzdv?????????（6）估值定理：設(shè)，的體積為則有max()min()Mfxyzmfxyz?????V()mVfxyzdvMV??????（7）三重積分中值定理：設(shè)函數(shù)在閉區(qū)域上連續(xù)，的體積為，則至少存()fxy??V在一點(diǎn)使得。()?????()()fxyzdvfV?????????3、三重積分的計算（1）坐標(biāo)平面投影法（二套一）??12()()()()xyxyzzxyzzxyxyD???????2211()()()(

7、)()d()ddddd()dzxyzxyzxyzxyDDfxyzvfxyzzxyxyfxyzz????????????（2）坐標(biāo)軸投影法（一套二）??()()zxyzxyDazb?????()d()dd()ddzzbbaaDDfxyzvfxyzxydzdzfxyzxy????????????（3）柱面坐標(biāo)法“直角坐標(biāo)系極坐標(biāo)系”，，，其中cosx???siny???zz?002z???????????????()d(cossin)ddd

8、fxyzvfzz????????????????（4）球坐標(biāo)計算法其中sincosxr???sinsinyr???coszr??0020r????????????2()d(sincossinsincos)sindddfxyzvfrrrrr?????????????????4、三重積分的對稱性、三重積分的對稱性（1）若關(guān)于平面對稱，則?xoy為對稱區(qū)域的一10()()()d2()d()()fxyzfxyzfxyzvfxyzvfxyzfxy

9、z???????????????????1?半。同理與同理與關(guān)于關(guān)于平面對稱和平面對稱和平面對稱平面對稱?yozxoz（2）輪換對稱性：若關(guān)于具有輪換對稱性（即若，將意互換?xyz??xyz??xyz后的點(diǎn)也屬于），則被積函數(shù)中的自變量可以任意輪換而不改變積分值?()()()fxyzdvfyxzdvfyzxdv??????????????當(dāng)：，有()()()fxdvfydvfzdv??????????????[()()()]3()fxf