高考數(shù)學(xué)必備—函數(shù)—函數(shù)中的常見錯誤分析（1.2）

1、第 1 頁 共 8 頁函數(shù)中的常見錯誤分析（一）函數(shù)是高考數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，高考考點多、覆蓋面廣，在考試中往往容易“因小失大” ，在審題過程中一定要抓住題目中的關(guān)鍵條件，從而理清解題思路。一、函數(shù)的概念及其表示易錯點 1 忽視函數(shù)概念中的“唯一性”【例 1】函數(shù) 的圖象與直線 交點的個數(shù)為（）【解析】當(dāng) 在函數(shù) 的定義域內(nèi)時，交點有 1 個；當(dāng) 不在函數(shù) 的定義域內(nèi)時，交點的個數(shù)為 0，故選擇 C?！驹u注】函數(shù)概念要求“對于定義域內(nèi)每一

2、個 x 在值域中都有唯一元素與之對應(yīng)” 。本題在解題過程中容易忽視 不在函數(shù) 的定義域內(nèi)或誤認(rèn)為交點個數(shù)可以有無數(shù)個，造成錯選 A 或D.易錯點 2 對同一函數(shù)的理解錯誤【例 2】已知函數(shù) ，則下列函數(shù)與函數(shù) 是同一函數(shù)的是（）【解析】兩個函數(shù)是同一函數(shù)的充要條件是它們的定義域和對應(yīng)法則分別相同。A 選項與函數(shù)的定義域不同；C,D 選項與函數(shù) 的對應(yīng)法則不同，故選擇 B?！驹u注】本題中 C 選項的定義域與對應(yīng)法則看似與函數(shù) 相同，但其分

3、段的分類標(biāo)準(zhǔn)與函數(shù)不相同，要注意辨別，不要錯選 C。易錯點 3 求函數(shù)的定義域時漏條件【例 3】函數(shù) 的定義域為（ ）【解析】由已知可得 則 故選 C.【評注】本題中容易出現(xiàn)將 漏掉的情況，從而錯選 B.求函數(shù)定義域時可能會出現(xiàn)忽視分式的分母不為 0、開偶次方時被開方數(shù)大于或等于 0，冪指數(shù)為 0 的數(shù)底數(shù)不為 0、對數(shù)的真數(shù)大于0 等情形。易錯點 4 求函數(shù)解析式時忽視定義域【例 4】已知 ，則函數(shù)?！窘馕觥坑捎?，且 ，所以

4、。【評注】本題中容易漏掉函數(shù) 的定義域，而只能得到 的錯誤結(jié)論?！咀兪?1】已知 = ?！窘馕觥苛?消去 x 得 ，又 且 ，故所求函數(shù) 。易錯點 5 混淆“函數(shù) 在某區(qū)間有意義”與“函數(shù) 的定義域為某區(qū)間”【例 5】函數(shù) 在 上有意義，求實數(shù) 的取值范圍?！窘狻坑梢阎傻卯?dāng) 時， 恒成立，則 ，故實數(shù) 的取值范圍為 ?！驹u注】函數(shù) 的定義域為某區(qū)間，則該區(qū)間為函數(shù)有意義的最大范圍；若函數(shù) 在某區(qū)間上有意義

5、，則該區(qū)間是函數(shù)定義域的子集，本題容易誤認(rèn)為 就是函數(shù) 的定義域?！咀兪?2】已知函數(shù) 的定義域為 ，求實數(shù) 的取值范圍?！窘狻?函數(shù) 的定義域為 ， 是不等式的解集，令 ，得不等式 的解集為 ，所以 3 是關(guān)于 m 的方程 的根，代入可得 。經(jīng)檢驗知 時，不等式的解集是 ，故實數(shù) 的取值范圍為 。易錯點 6 錯誤理解復(fù)合函數(shù)定義域的求法步驟【例 6】已知函數(shù) 的定義域為 ，則函數(shù) 的定義域為（）【解析】由已知可得 的定義域為 ，令

6、，得 ，故函數(shù)第 3 頁 共 8 頁圍是 ?！窘馕觥恳驗楹瘮?shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間為 ，所以【變式 6】已知函數(shù) 在區(qū)間（0,1）上有增區(qū)間，則 的取值范圍是 ?！窘馕觥坑梢阎?，又函數(shù)在（0,1）上有增區(qū)間，則 為所求。三、 函數(shù)的奇偶性易錯點 11 在函數(shù)的奇偶性問題中未注意“定義域關(guān)于原點對稱”【例 11】已知函數(shù) 的定義域為 ，且 為偶函數(shù)，則實數(shù) 的值是（ ）【解析】函數(shù) 的圖象是

7、由函數(shù) 的圖象向左平移 1 個單位長度得到的，所以函數(shù)的定義域為（ ） ，又 為偶函數(shù)，且偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，則 ，即 ，故選 B.【評注】若沒有注意奇（偶）函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱的性質(zhì)，很可能錯誤地認(rèn)為，得到 ，從而錯選 C.易錯點 12 不能熟練應(yīng)用“奇函數(shù) 若 x=0 處有定義，則 ”【例 12】定義在 R 上的奇函數(shù) 滿足當(dāng) 時， ，則在R 上函數(shù) 的零點的個數(shù)為 ?！窘馕觥慨?dāng) 時，由函數(shù) 得，在

8、同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù) 和的圖象，可知它們只有一個交點，所以當(dāng) 時，函數(shù)只有一個零點；由奇函數(shù)關(guān)于原點對稱的性質(zhì)知當(dāng) 時函數(shù)只有一個零點；又當(dāng) x=0 時， 。綜上可知，在 R 上函數(shù) 的零點個數(shù)為 3.【評注】本題中若沒有注意到“奇函數(shù) 若 x=0 處有定義，則 ”的結(jié)論，很容易得出在 R 上函數(shù) 的零點個數(shù)為 2 的錯誤結(jié)論?！咀兪?7】已知 是定義在 R 上的奇函數(shù)，在 上單調(diào)遞減，且，則函數(shù)的零點的個數(shù)為

9、 。【解析】由函數(shù) 是定義在 R 上的奇函數(shù)，得 ，所以函數(shù) 在 內(nèi)有一個零點。而 在 上單調(diào)遞減，故在上只有一個零點；由奇函數(shù)的性質(zhì)知函數(shù) 在 上也只有一個零點，又，故函數(shù) 零點的個數(shù)為 3.易錯點 13 復(fù)合函數(shù)奇偶性中錯將含自變量的代數(shù)式當(dāng)成自變量【例 13】函數(shù) 的定義域為 R，若 與 都是奇函數(shù)，則（）【解析】由 與 都是奇函數(shù)，可得，則 ， ，故函數(shù) 是以 4 為周期的周期函數(shù)，又由 得,即 ， 函數(shù)是奇函數(shù)，故選 D.【