三角形四心競賽講義全

1、.. .三角形四心競賽講義 競賽講義一、 “四心”分類討論...........................................................................................................................................11、外心.....................

2、.......................................................................................................................................12、內(nèi)心................................................................................

3、............................................................................23、垂心...........................................................................................................................................

4、.................34、重心............................................................................................................................................................55、外心與內(nèi)心 .................................

5、.............................................................................................................66、重心與內(nèi)心 ......................................................................................................

6、........................................67、外心與垂心 ..............................................................................................................................................78、外心與重心 ....................

7、..........................................................................................................................89、垂心與內(nèi)心 .........................................................................................

8、.....................................................810、垂心、重心、外心 ..............................................................................................................................8旁心 ........................

9、...........................................................................................................................................9二、 “四心”的聯(lián)想 .....................................................................

10、..........................................................................91、由內(nèi)心、重心性質(zhì)產(chǎn)生的聯(lián)想..........................................................................................................92、重心的巧用................

11、............................................................................................................................113、三角形“四心”與一組面積公式 .............................................................................

12、...........................12三角形各心間的聯(lián)系.....................................................................................................................................15與三角形的心有關的幾何命題的證明...............................

13、......................................................................16三角形的內(nèi)心、外心、垂心及重心(以下簡稱“四心”)是新頒發(fā)的初中數(shù)學競賽大綱特別加強的內(nèi)容。由于與四心有關的幾何問題涉及知識面廣、難度大、應用的技巧性強、方法靈.. .說明由于 O 點與△ABC 的三個頂點 A，B，C 距離相等，所以以 O 點

14、為圓心，以 OA長為半徑作圓，此圓必過 A，B，C 三點，所以稱此圓為三角形的外接圓，O 點稱為三角形的外心．例 1、如圖 9-1 所示，在△ABC 中，AB=AC，任意延長 CA 到P，再延長 AB 到 Q，使 AP=BQ，求證：△ABC 的外心 O 與點 A、P、Q 四點共圓。分析一、O 是外心，作△ABC 的外接圓⊙O，并作 OE⊥AB 于E，OF⊥AC 于 F，連接 OP、OQ。易知 OE=OF，BE=AF，從而 Rt△OPF≌

15、Rt△OQE，于是∠P=∠Q，從而 O、A、P、Q 四點共圓。分析二、延長 BA 至 G，使 AG=AP，連接 OP、OA、OG、OQ，并作 OE⊥AB 于 E(圖略)。利用△PAO≌△PGO 和△QEO≌△GEO 也可證得結論。例 2、如圖 9-2 所示，在△ABC 的大邊 AB 上取 AN=AC，BM=BC，點 P 為△ABC 的內(nèi)心，求證：∠MPN=∠A+∠B。 分析、連接 PA、PB、PC 及 PM、PN。由已知易證△APC≌△

16、APN，△BPC≌△BPM。從而△PC=PN，PC=PM，即 PM=PN=PC。故 P 為△CMN 的外心，此時有∠MPN=2∠MCN。而∠CAN=90º－ ∠A，∠BCM=90º－ ∠B， 2121故∠ACN+∠BCM=180º－ (∠A+∠B)，即 ∠MCN+∠ACB=180º－ (∠A+∠B)， 2121則∠MCN=(180º－∠ACB)－ (∠A+∠B) = (∠A+∠B)。