符號矩陣的廣義基指數(shù)與極大s39;2ns陣

1、同濟大學應用數(shù)學系博士學位論文符號矩陣的廣義基指數(shù)與極大SNS陣姓名：尤利華申請學位級別：博士專業(yè)：基礎數(shù)學指導教師：邵嘉裕20031128中文摘要陣，貝J J l ( A ) ≤2 n 2 —3 n 十2 ，等號成立當且僅當A 的伴隨有向圖同構于D 1 ( 如圖2 ．J 之( a ) ) ．同時我們指出了上述矩陣類的廣義基指數(shù)集合都不是連續(xù)的正整數(shù)集，即存在間隙。2 ． 在j 2 ．3 中，我們還研究了A 的帶號伴隨有向圖S 的不定號

2、指標r ( ∽，證明T d ( S ) + r ( s ) + e x p ( s ) 也是非p o w e r f u l 本原符號矩陣的廣義基指數(shù)的一個可達上界，這里d ( S ) 是S 的直徑。3 ． 在鼢4 中，我們得到了非p o W e r f u l 非本原符號矩陣與一般非本原符號矩陣的廣義基指數(shù)的上界，即：設A 是n 階( 非p o w e r f u l ) 不可約符號矩陣，其非本原指標為p ( ≥2 ) ，設n = p

3、 r + s ，這里r = l 詈j 且0 ≤5 ≤p 一1 ( 【z j 表示不大于z 的最大整數(shù)) ，則l ( A ) ≤p ( 2 ( r —1 ) 2 + r ) + 8 ．4 ． 在犯．1 中，我們還得到了一般不可約符號矩陣和不可約廣義符號矩陣的廣義基指數(shù)的最好上界，并且指出上述矩陣類的廣義基指數(shù)集合都不是連續(xù)的正整數(shù)集。5 ． 在r ；2 ．5 中，我們給出了一般本原符號矩陣的廣義基指數(shù)達到上界時的極矩陣刻劃，并給出了幾個例

4、子來說明( 非p o w e r f u l ) 非本原符號矩陣的廣義基指數(shù)的上界也是最好的。顯然，p o w e r f u l 符號矩陣與p o w e r f u l 帶號有向圖的廣義基指數(shù)即為基指數(shù)。C ，．c o c k a d e s 是一類具有許多良好性質的十分有用的有向圖。在文獻卜5 1 中關于p o w e r f u l 符號矩陣f 及p o w e r f u l 帶號有向圖) 的基指數(shù)的研究中，有一節(jié)專門研究了負

5、C ，一c o c k a d e s 的基指數(shù)，并給出了一些與之相關的關系式。我們在本文第三章中對負C 。一c o c k a d e s 的基指數(shù)乃至一般p o w e r f u l 符號矩陣的基指數(shù)作了進一步的研究，得到了如下的一些結論：1 ．在啦2 中，我們研究了負C 。一c o c k a d e s 的基指數(shù)，所做的主要工作如下：( 1 ) 指出了文獻m 5 1 中一個與”基指數(shù)等于1 ”相當?shù)慕Y論一般說來不一定成立。然后

6、，在定理3 ．2 ．1 中給出了任意負C 。．c o c k a d e 的基指數(shù)的一個簡明的計算公式，即f ( D ) = d 一7 ．+ 1 ( 其中D 為負C ，一c o c k a d e ，而d 是D 的直徑) 。( 2 ) 確定了所有n 階非平凡的負C 。．c o c k a f [ e s 的基指數(shù)所構成的集合就是{ 1 ，2 ，?，n —r 】．．2 ．在§：；．：；中，我們進一步討論了～般的n 階p o w

7、e r f u l 符號矩陣的基指數(shù)集合，證明了所有佗階p o w e r f u l 符號矩陣的基指數(shù)所構成的集合就等于所有n 階非負矩陣的冪斂指數(shù)所構成的集合。本文研究的另一個專題是極大鏟N S 陣。作為符號矩陣論中重要的研究內容之一的S N S 陣與S 2 N S 陣，近年來已得到比較透徹的研究，也得到了許多經典結論( 參見文獻㈤，【1 I ) 】，【li 】，【1 5 】，【l ( q ，【1 s ] ，匕乩¨) 】，