中點(diǎn)坐標(biāo)法解決二次函數(shù)中平行四邊形存在性問題

1、圖2圖3圖1另辟蹊徑解決二次函數(shù)中平行四邊形存在性問題以二次函數(shù)為載體的平行四邊形存在性問題是近年來中考的熱點(diǎn)，其圖形復(fù)雜，知識(shí)覆蓋面廣，綜合性較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生分析問題和解決問題的能力要求高對(duì)這類題，常規(guī)解法是先畫出平行四邊形，再依據(jù)“平行四邊形的一組對(duì)邊平行且相等”或“平行四邊形的對(duì)角線互相平分”來解決由于先要畫出草圖，若考慮不周，很容易漏解為此，筆者另辟蹊徑，借助探究平行四邊形頂點(diǎn)坐標(biāo)公式來解決這一類題1兩個(gè)結(jié)論，解題的切入點(diǎn)兩個(gè)結(jié)論，

2、解題的切入點(diǎn)數(shù)學(xué)課標(biāo)，現(xiàn)行初中數(shù)學(xué)教材中沒有線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式，也沒有平行四邊形的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，我們可幫助學(xué)生來探究，這可作為解題的切入點(diǎn)。1.1線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A坐標(biāo)為(x1y1)，點(diǎn)B坐標(biāo)為(x2y2)，則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為().221xx?221yy?證明證明：如圖1，設(shè)AB中點(diǎn)P的坐標(biāo)為(xPyP).由xPx1=x2xP，得xP=，同理221xx?yP=，所以線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為().221

3、yy?221xx?221yy?1.2平行四邊形頂點(diǎn)坐標(biāo)公式平行四邊形頂點(diǎn)坐標(biāo)公式□ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(xAyA)、B(xByB)、C(xCyC)、D(xDyD)，則：xAxC=xBxD；yAyC=yByD.證明：證明：如圖2，連接AC、BD，相交于點(diǎn)E∵點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，∴E點(diǎn)坐標(biāo)為().2CAxx?2CAyy?又∵點(diǎn)E為BD的中點(diǎn)，∴E點(diǎn)坐標(biāo)為().2DBxx?2DByy?∴xAxC=xBxD；yAyC=yByD.即平行四邊形

4、對(duì)角線兩端點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)之和分別相等即平行四邊形對(duì)角線兩端點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)之和分別相等2一個(gè)基本事實(shí)，解題的預(yù)備知識(shí)一個(gè)基本事實(shí)，解題的預(yù)備知識(shí)如圖3，已知不在同一直線上的三點(diǎn)A、B、C，在平面內(nèi)另找一個(gè)點(diǎn)D，使以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形答案有三種：以AB為對(duì)角線的□ACBD1，以AC為對(duì)角線的□ABCD2，以BC為對(duì)角線的□ABD3C3兩類存在性問題解題策略例析與反思兩類存在性問題解題策略例析與反思3.1三個(gè)定點(diǎn)

5、、一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，探究平行四邊形的存在性問題三個(gè)定點(diǎn)、一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，探究平行四邊形的存在性問題例1已知拋物線y=x22xa(a＜0）與y軸相交于點(diǎn)A，頂點(diǎn)為M.直線y=xa分別21與x軸、y軸相交于B、C兩點(diǎn)，并且與直線AM相交于點(diǎn)N.(1)填空：試用含a的代數(shù)式分別表示點(diǎn)M與N的坐標(biāo)，則M()N()；圖6①當(dāng)以AQ為對(duì)角線時(shí)，由四個(gè)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)公式得：10=3m，∴m=4，∴P1(47)；②當(dāng)以BQ為對(duì)角線時(shí)，得：1m=30，∴m=4，∴P2(

6、4)；35③當(dāng)以AB為對(duì)角線時(shí)，得：13=m0，∴m=2，∴P3(21).綜上，滿足條件的點(diǎn)P為P1(47)、P2(4)、P3(21).35反思：反思：這種題型往往特殊，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)在拋物線上，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)在x軸（y軸）或?qū)ΨQ軸或某一定直線上設(shè)出拋物線上的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)若在x軸上，縱坐標(biāo)為0，則用平行四邊形頂點(diǎn)縱坐標(biāo)公式；若在y軸上，橫坐標(biāo)為0，則用平行四邊形頂點(diǎn)橫坐標(biāo)公式該動(dòng)點(diǎn)哪個(gè)坐標(biāo)已知就用與該坐標(biāo)有關(guān)的公式本例中點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)t沒有

7、用上，可以不設(shè)另外，把在定直線上的動(dòng)點(diǎn)看成一個(gè)定點(diǎn)，這樣就轉(zhuǎn)化為三定一動(dòng)了，分別以三個(gè)定點(diǎn)構(gòu)成的三條線段為對(duì)角線分類，分三種情況討論.例3如圖6，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過A(40)B(04)C(20)三點(diǎn)（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)M為第三象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，△AMB的面積為S求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值；（3）若點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線y=x上的動(dòng)點(diǎn)，判斷有幾個(gè)位置能使以點(diǎn)P、Q

8、、B、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，直接寫出相應(yīng)的點(diǎn)Q的坐標(biāo)解：解：（1）易求拋物線的解析式為y=x2x4；21（2）s=m24m(4m0)；s最大=4（過程略）；（3）盡管是直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，這里也寫出過程由題意知O(00)、B(04).由于點(diǎn)Q是直線y=x上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)Q(ss)，把Q看做定點(diǎn)；設(shè)P(mm2m4).21①當(dāng)以O(shè)Q為對(duì)角線時(shí)，??????????????42140002mmsms∴s=2.52?∴Q1(22)，Q2(2