數(shù)學(xué)歸納法基礎(chǔ)

1、一、基礎(chǔ)知識：一、基礎(chǔ)知識：1.歸納法：由一些特殊事例推出一般結(jié)論的推理方法.特點(diǎn)：特殊→一般2.不完全歸納法:根據(jù)事物的部分(而不是全部)特例得出一般結(jié)論的推理方法叫做不完全歸納法.3.完全歸納法:把研究對象一一都考查到了而推出結(jié)論的歸納法稱為完全歸納法.完全歸納法是一種在研究了事物的所有(有限種)特殊情況后得出一般結(jié)論的推理方法，又叫做枚舉法.與不完全歸納法不同，用完全歸納法得出的結(jié)論是可靠的.通常在事物包括的特殊情況數(shù)不多時(shí)，采用

2、完全歸納法.4數(shù)學(xué)歸納法:對于某些與自然數(shù)n有關(guān)的命題常常采用下面的方法來證明它的正確性：先證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0時(shí)命題成立；然后假設(shè)當(dāng)n=k(k包含于N，k≥n0)時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k1時(shí)命題也成立。這種證明方法就叫做數(shù)學(xué)歸納法。5.數(shù)學(xué)歸納法的基本思想：即先驗(yàn)證使結(jié)論有意義的最小的正整數(shù)n0，如果當(dāng)n=n0時(shí)，命題成立，再假設(shè)當(dāng)n=k(k≥n0，k∈N)時(shí)，命題成立.(這時(shí)命題是否成立不是確定的)，根據(jù)這個(gè)假設(shè)，如能推出當(dāng)n=k

3、1時(shí)，命題也成立，那么就可以遞推出對所有不小于n0的正整數(shù)n01，n02，…，命題都成立.6用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題的步驟：（1）驗(yàn)證n取第一個(gè)值n0時(shí)命題的正確性。（遞推基礎(chǔ)）（2）證明“由n＝k時(shí)命題正確可推得n＝k＋1時(shí)命題也正確”。（遞推的依據(jù)）（3）由以上兩步驟得出結(jié)論。以上的第一步與第二步缺一不可。如果只有第一步證明，缺少第二步的證明，那么就只能保證當(dāng)n＝n0時(shí)，命題成立，至于n取其他自然數(shù)的情形，則并未證明，

4、這種“以一代全”的證明顯然有誤；而如果只證明第二步，而不證明第一步，乍看似乎能由遞推的特性把n取所有自然數(shù)的情形都證明了。但細(xì)細(xì)想來，還是有問題的，試想，當(dāng)n＝n0時(shí)命題成立與否并未確認(rèn)，那么第二步涉及的遞推的基礎(chǔ)又去哪兒尋找呢？即便有第二步的遞推關(guān)系成立，則因缺少遞推的基礎(chǔ)，就使得第二步的證明尤如“空中樓閣”，很不可靠，二、數(shù)學(xué)歸納法疑難點(diǎn)歸納二、數(shù)學(xué)歸納法疑難點(diǎn)歸納難點(diǎn)1：對象的無限性。數(shù)學(xué)歸納法所證明的是無窮個(gè)命題P（1）、P（2

5、）、P（3）、……、P（n）、……為真，無法一一檢驗(yàn)，需要尋找一種好的辦法來解決。難點(diǎn)2：作為認(rèn)識這個(gè)抽象“對象”的必要基礎(chǔ)，學(xué)生本身遞歸方法的知識不夠，往往把“不完全歸納法”作為“數(shù)學(xué)歸納法”，用有限來說明無限，不能理解數(shù)學(xué)歸納法所滲透的數(shù)學(xué)思想。難點(diǎn)3：對數(shù)學(xué)歸納法第二步的真實(shí)作用不夠明確，學(xué)生面臨的心理困難主要是：①n=k時(shí)，命題P（k）到底成立還是不成立？怎樣證明？②既然成立，何必用假設(shè)兩個(gè)字呢？用“已知”不就得了；③假設(shè)n=K

6、時(shí)命題成立不就是假設(shè)原命題成立嗎？把n=K時(shí)的假設(shè)P（k）與原命題P（n）混淆起來。難點(diǎn)4：對數(shù)學(xué)歸納法的真實(shí)性表示困惑。為什么證明了“兩個(gè)步驟”就可以斷言命題對一切自然數(shù)都成立呢？為什么只須驗(yàn)證“n=n0”的情況呢？為什么可以“假設(shè)n=K時(shí)結(jié)論正確”呢？數(shù)列類命題先用遞推式，后利用歸納假設(shè)幾何類命題從p(k1)命題成立的結(jié)論中，分解出p(k)命題成立的部分，然后去證余下的部分整除類命題提出因子，湊成假設(shè)，數(shù)字不符，多退少補(bǔ)“湊”指的是

7、湊成假設(shè)，“變”指的是為了變型推理運(yùn)算得到p(k1)的結(jié)論，是湊成假設(shè)的目的。4、找出差別，才能實(shí)現(xiàn)n=k到n=k1的過渡數(shù)字歸納法證題由第二步的重要性使我們意識到對P(k)和P(k1)認(rèn)識清楚的必要。典例解析典例解析1、用數(shù)學(xué)歸納法證明：證明：證明：1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1=，右邊==，所以等式成立。2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等式成立，即。那么，當(dāng)n=k1時(shí)，這就是說，當(dāng)n=k1時(shí)等式也成立。綜上所述，等式對任何自然數(shù)n都成立。說明：說明：

8、要證明的等式左邊共2n項(xiàng)，而右邊共n項(xiàng)。項(xiàng)。f(k)f(k)與f(k1)f(k1)相比較，左邊增加兩項(xiàng)，右邊增加相比較，左邊增加兩項(xiàng)，右邊增加一項(xiàng)，并且二者右邊的首項(xiàng)也不一樣一項(xiàng)，并且二者右邊的首項(xiàng)也不一樣，因此在證明中采取了將與合并的變形方式，這是在分析了f(k)與f(k1)的差異和聯(lián)系之后找到的方法。（本質(zhì)上是找的函數(shù)的差異）2、已知a1=1，a2=3，an2=(n3)an1(n2)an，若當(dāng)m≥n時(shí)am的值都能被9整除求n的最小值