數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例

1、數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例,安徽師大附中 吳中才,教材分析,學(xué)生學(xué)情,教學(xué)目標(biāo),方法手段,教學(xué)程序,板書設(shè)計,數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例,教材分析,教學(xué)內(nèi)容,地位作用,重點難點,數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例是人民教育出版社全日制普通高級中學(xué)教科書數(shù)學(xué)第三冊(選修II)第二章第一節(jié)的內(nèi)容，根據(jù)教學(xué)大綱，本節(jié)共3課時，這是第1課時, 主要內(nèi)容是數(shù)學(xué)歸納法理解與簡單應(yīng)用．,數(shù)學(xué)歸納法學(xué)習(xí)是數(shù)列知識的深入與擴(kuò)展,也是一種重要的數(shù)學(xué)方法,可以使學(xué)生學(xué)會一種研究

2、數(shù)學(xué)的科學(xué)方法．,重點：歸納法意義的認(rèn)識和數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生過程的分析． 難點：數(shù)學(xué)歸納法中遞推思想的理解．,數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例,學(xué)生學(xué)情,知識準(zhǔn)備,能力儲備,學(xué)生情況,學(xué)生對等差（比）數(shù)列、數(shù)列求和、二項式定理等知識有較全面的把握和較深入的理解，同時也具備一定的從特殊到一般的歸納能力，但對歸納的概念是模糊的．,學(xué)生經(jīng)過中學(xué)五年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，已具有一定的推理能力，數(shù)學(xué)思維也逐步向理性層次躍進(jìn)，并逐步形成了辨證思維體系．但學(xué)生自主探究問題

3、的能力普遍還不夠理想．,我所在的學(xué)校是省屬重點中學(xué)，所教的班級是平行班，學(xué)生基礎(chǔ)還不錯.,數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例,教學(xué)目標(biāo),知識與技能,過程與方法,情感態(tài)度價值觀,了解歸納法, 理解數(shù)學(xué)歸納的原理與實質(zhì)．掌握兩個步驟；會證明簡單的與自然數(shù)有關(guān)的命題．培養(yǎng)學(xué)生觀察, 分析, 論證的能力, 發(fā)展抽象思維能力和創(chuàng)新能力．培養(yǎng)學(xué)生大膽猜想，小心求證的辨證思維素質(zhì)以及發(fā)現(xiàn)問題，提出問題的意識和數(shù)學(xué)交流的能力．,努力創(chuàng)設(shè)課堂愉悅情境，使學(xué)生處于積極

4、思考、大膽質(zhì)疑氛圍，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和課堂效率．讓學(xué)生經(jīng)歷知識的構(gòu)建過程, 體會類比的數(shù)學(xué)思想．,讓學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想和辯證唯物主義觀點；體會研究數(shù)學(xué)問題的一種方法, 激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，使學(xué)生初步形成做數(shù)學(xué)的意識和科學(xué)精神．,數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例,方法手段,教學(xué)方法,學(xué)法指導(dǎo),教學(xué)手段,類比啟發(fā)探究式教學(xué)方法進(jìn)行教學(xué),在教學(xué)過程中，我不僅要傳授學(xué)生課本知識，還要培養(yǎng)學(xué)生主動觀察、主動思考、親自動手、自我發(fā)現(xiàn)等學(xué)習(xí)能力，增強(qiáng)學(xué)生的綜合

5、素質(zhì)，從而達(dá)到較為理想的教學(xué)終極目標(biāo)．,借助多媒體呈現(xiàn)多米諾骨牌等生活素材,真正輔助課堂教學(xué).,數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例,教學(xué)程序,第一階段:輸入階段,第二階段:新舊知識相互作用階段,第三階段:操作階段,創(chuàng)設(shè)問題情境，啟動學(xué)生思維;回顧數(shù)學(xué)舊知，追溯歸納意識;借助數(shù)學(xué)史料, 促使學(xué)生思辨.,搜索生活實例，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣;類比數(shù)學(xué)問題, 激起思維浪花;引導(dǎo)學(xué)生概括, 形成科學(xué)方法.,蘊(yùn)含猜想證明, 培養(yǎng)研究意識;基礎(chǔ)反饋練習(xí), 鞏固

6、方法應(yīng)用;師生共同小結(jié), 完成概括提升;布置課后作業(yè), 鞏固延伸鋪墊.,教學(xué)設(shè)計三條線:1.知識線;2.思想方法線;3.邏輯思維線.,第一階段:輸入階段,創(chuàng)設(shè)問題情境，啟動學(xué)生思維,(1) 不完全歸納法引例,明朝劉元卿編的《應(yīng)諧錄》中有一個笑話：財主的兒子學(xué)寫字．這則笑話中財主的兒子得出“四就是四橫、五就是五橫……”的結(jié)論，用的就是“歸納法”，不過，這個歸納推出的結(jié)論顯然是錯誤的．,(2) 完全歸納法對比引例,有一位師傅想考考

7、他的兩個徒弟，看誰更聰明一些．他給每人筐花生去剝皮，看看每一?；ㄉ适遣皇嵌加蟹垡掳?，看誰先給出答案．大徒弟費了很大勁將花生全部剝完了；二徒弟只揀了幾個飽滿的，幾個干癟的，幾個熟好的，幾個沒熟的，幾個三仁的，幾個一仁、兩仁的，總共不過一把花生．顯然，二徒弟比大徒弟聰明．,第一階段:輸入階段,回顧數(shù)學(xué)舊知，追溯歸納意識,(1) 不完全歸納法實例,給出等差數(shù)列前四項, 寫出該數(shù)列的通項公式．,(2) 完全歸納法實例,證明圓周角定理分圓心在

8、圓周角內(nèi)部、外部及一邊上三種情況．,第一階段:輸入階段,借助數(shù)學(xué)史料, 促使學(xué)生思辨,問題1 已知 = (n∈N*),(1)分別求 , , , .(2)由此你能得到一個什么結(jié)論? 這個結(jié)論正確嗎?,,,問題2 費馬（Fermat）是17世紀(jì)法國著名的數(shù)學(xué)家，他曾認(rèn)為，當(dāng)n∈N時， 一定都是質(zhì)數(shù)，這是他對n＝0，1，

9、2，3，4作了驗證后得到的．后來，18世紀(jì)偉大的瑞士科學(xué)家歐拉（Euler）卻證明了 ＝4 294 967 297＝6 700 417×641，從而否定了費馬的推測．沒想到當(dāng)n＝5這一結(jié)論便不成立．,問題3 ,當(dāng)n∈N時，是否都為質(zhì)數(shù)？ 驗證： f（0）＝41，f（1）＝43，f（2）＝47，f（3）＝53，f（4）＝61，f（5）＝71，f（6）＝83，f（7）

10、＝97，f（8）＝113，f（9）＝131，f（10）＝151，… ， f（39）＝1 601． 但是 f（40）＝1 681＝ ，是合數(shù)．,第二階段:新舊知識相互作用階段,搜索生活實例，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣,多米諾成功的關(guān)鍵有兩點：(1) 第一張牌被推倒； (2) 假如某一張牌倒下, 則它的后一張牌必定倒下． 于是, 我們可以下結(jié)論： 多米諾骨牌會全部倒下．,搜索：再舉幾則生活事例：推倒自行車, 早操排隊對齊等．,第二階段

11、:新舊知識相互作用階段,類比數(shù)學(xué)問題, 激起思維浪花,第二階段:新舊知識相互作用階段,引導(dǎo)學(xué)生概括, 形成科學(xué)方法,第三階段:操作階段,蘊(yùn)含猜想證明, 培養(yǎng)研究意識,第三階段:操作階段,基礎(chǔ)反饋練習(xí), 鞏固方法應(yīng)用,（1）（第63頁例1）用數(shù)學(xué)歸納法證明： 1＋3＋5＋…＋（2n－1）＝n2 .,第三階段:操作階段,師生共同小結(jié), 完成概括提升,(1) 本節(jié)課的中心內(nèi)容是歸納法和數(shù)學(xué)歸納法；(2) 歸納法是一種

12、由特殊到一般的推理方法，它可以分為完全歸納法和不完全歸納法兩種，完全歸納法只局限于有限個元素，而不完全歸納法得出的結(jié)論不一定具有可靠性，數(shù)學(xué)歸納法屬于完全歸納法；(3) 數(shù)學(xué)歸納法作為一種證明方法，它的基本思想是遞推(遞歸)思想，它的使用要點可概括為：兩個步驟一結(jié)論，遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉；(4) 本節(jié)課所涉及到的數(shù)學(xué)思想方法有：遞推思想、類比思想、分類思想、歸納思想、辯證唯物主義思想．,第三階段:操作階段,

13、布置課后作業(yè), 鞏固延伸鋪墊,,,,(1) 課本第64頁練習(xí)第1, 2題；第67頁習(xí)題2.1第2題．(2) (辨析與思考) 用數(shù)學(xué)歸納法證明 1+2+22+23+…+2n－１ = 2n－1(n∈ N*)時, 其中第二步采用下面的證法： 設(shè)n＝k時等式成立, 即1+2+22+23+…+2k－1=2k－1, 則當(dāng)n＝k＋1時,

14、 ,即n＝k＋1時等式也成立．,數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例,板書設(shè)計,2.1 數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例 問題1 例題(猜想,證明過程的板書) 問題2 問題3 練習(xí)1 練習(xí)2