第4章 剛體的轉動

1、質(zhì)點的運動規(guī)律和剛體定軸轉動規(guī)律的對比(一),質(zhì)點的運動規(guī)律和剛體定軸轉動規(guī)律的對比(二),第四章 部分習題分析與解答,4 －10　如圖(a)所示，圓盤的質(zhì)量為m，半徑為R．求：(1) 以O為中心，將半徑為R／2 的部分挖去，剩余部分對OO 軸的轉動慣量；(2) 剩余部分對O′O′軸(即通過圓盤邊緣且平行于盤中心軸)的轉動慣量．,（1）解1　轉動慣量的定義，剩余部分的轉動慣量為,,解2　整個圓盤對OO 軸轉動慣量為,挖去的小圓盤對OO

2、 軸轉動慣量,剩余部分對OO 軸的轉動慣量為,(2) 由平行軸定理，剩余部分對O′O′軸的轉動慣量為,,4-13 　如圖所示，質(zhì)量m1=16 kg的實心圓柱體A，其半徑為r =15cm，可以繞其固定水平軸轉動，阻力忽略不計．一條輕的柔繩繞在圓柱體上，其另一端系一個質(zhì)量為m2=8.0kg的物體B，求：（1）物體B由靜止開始下降1.0s后的距離；（2）繩的張力．,解　(1) 對實心圓柱體而言，由轉動定律得,對懸掛物體而言，依據(jù)牛頓定律，有,

3、（1）,（2）,,且FＴ ＝FＴ′ .又由角量與線量之間的關系，得,解上述方程組，可得物體下落的加速度,在t ＝1.0 s 時，B 下落的距離為,,,(2) 由式(2)可得繩中的張力為,（3）,分析：對平動的物體和轉動的組合輪分別列出動力學方程，結合角加速度和線加速度之間的關系即可解得。,解 取分別對兩物體及組合輪作受力分析如下圖,4-14 質(zhì)量為m1和m2的兩物體A、B分別懸掛在如圖所示的組合輪兩端。設兩輪的半徑分別為R和r，兩輪的

4、轉動慣量分別為J1和J2，輪與軸承間、繩索與輪間的摩擦力均略去不計，繩的質(zhì)量也略去不計。試求兩物體的加速度和強繩的張力。,根據(jù)質(zhì)點的牛頓定律和剛體的轉動定律，有,由角加速度和線加速度之間的關系，有,解上述方程組，可得,分析：圓盤各部分的摩擦力的力臂不同，為此，可將圓盤分割成許多同心圓環(huán)，對環(huán)的摩擦力矩積分即可得總力矩。另由于摩擦力矩是恒力矩，由角動量定理可求得圓盤停止前所經(jīng)歷的時間。,解 （1）圓盤上半徑為r、寬度為dr的同心圓環(huán)所受的

5、摩擦力矩為,4-17 一半徑為R，質(zhì)量為m的勻質(zhì)圓盤，以角速度ω繞其中心軸轉動，現(xiàn)將它平放在一水平板上，盤與板表面的摩擦因數(shù)為μ。（1）求圓盤所受的摩擦力矩。（2）問經(jīng)過多少時間后，圓盤轉動才能停止？,由于摩擦力矩是一恒力矩，圓盤的轉動慣量J=mR2/2，由角動量定理可得圓盤停止的時間為,對上式沿徑向積分得圓盤所受的總摩擦力矩大小,分析：由于空氣的阻力矩與角速度成正比，由轉動定律可知轉動是變角加速度轉動，須從角加速度和角速度的定義出發(fā)

6、，通過積分的方法求解。,4-18 如圖示，一通風機的轉動部分以初角速度 ω0繞其軸轉動，空氣的阻力矩與角速度成正比，比例系數(shù)C為一常量。若轉動部分對其軸的轉動慣量為J，問（1）經(jīng)過多小時間后其轉動角速度減少為初角速度的一半？（2）在此時間內(nèi)共轉過多少轉？,解 （1）通風機葉片所受的阻力矩為M=－Cω,由轉動定律得,對上式分離變量，根據(jù)初始條件積分有,由于C和J均為常量，得,當角速度由ω0→ω0/2時，轉動所需的時間為,在時間t內(nèi)所轉過的

7、圈數(shù)為,（2）根據(jù)角速度定義和初始條件積分得（其中 ）,4-20　一質(zhì)量為m’、半徑為R的均勻圓盤，通過其中心且與盤面垂直的水平軸以角速度w 轉動，若在某時刻，一質(zhì)量為m的小碎塊從盤邊緣裂開，且恰好沿垂直方向上拋，問它可能達到的高度是多少？破裂后圓盤的角動量為多大？,解　(1) 碎塊拋出時的初速度為,由于碎塊豎直上拋運動，它所能到達的高度為,,圓盤在裂開的過程中，系統(tǒng)角動量守恒，故有,式中,

8、為圓盤未碎時的角動量；,為碎塊被視為質(zhì)點時，碎塊對軸的角動量；,L 為破裂后盤的角動量，則,4-21 在光滑的水平面上有一木桿,其質(zhì)量m1=1.0kg,長l=40cm,可繞通過其中點并與之垂直的軸轉動.一質(zhì)量為m2=10g的子彈,以v=2.0×102m·s-1的速度射入桿端,其方向與桿及軸正交.若子彈陷入桿中,試求所得到的角速度.,分析:,子彈與桿相互作用的瞬間,可將子彈視為繞軸的轉動,這樣,子彈射入桿前的角速度可

9、表示為ω,子彈陷入桿后,它們將一起以角速度ωˊ轉動,若將子彈和桿視為系統(tǒng), 系統(tǒng)的角動量守恒.由角動量守恒定律可解得桿的角速度.,解答:,根據(jù)角動量守恒定理:,式中 為子彈繞軸的轉動慣量, 為子彈在陷入桿前的角動量, 為子彈在此刻繞軸的角速度, 為桿繞軸的轉動慣量.可得桿的角速度為:

10、,4-24 一轉臺繞其中心的豎直軸以角速度ω0 =πs-1 轉動，轉臺對轉軸的轉動慣量為J0 = 4.0×10-3 kg·m2 。今有沙粒以Q = 2t g·s-1的流量豎直落至轉臺，并粘附于臺面形成一圓環(huán)，若環(huán)的半徑為r = 0.10m，求沙粒下落t = 10 s 時，轉臺的角速度。,解：在0 ?t s內(nèi)落至臺面的沙粒質(zhì)量為：,沙粒下落對轉臺不產(chǎn)生力矩作用（沖擊力與軸平行）,則任意時刻系統(tǒng)角動量守恒：,t

11、 = 10 s 時轉臺的角速度：,4-32 A與B兩飛輪的軸桿可由摩擦嚙合器使之連接,A輪的轉動慣量J1=10.0kg.m2,開始時B輪靜止,A輪以n1=600r.min-1的轉速轉動,然后使A與B連接,因而B輪的到加速而A輪減速,直到兩輪的轉速都等于n=200r.min-1為止.求(1)B輪的轉動慣量;(2)在嚙合過程中損失的機械能.,解:,(1)取兩飛輪為系統(tǒng),因軸向力不產(chǎn)生轉動力矩；據(jù)系統(tǒng)的角動量守恒,有,則B輪的轉動慣量,