平面向量三點(diǎn)共線性質(zhì)定理的推論及空間推廣

1、1平面向量三點(diǎn)共線定理的推論及空間推廣平面向量三點(diǎn)共線定理的推論及空間推廣南昌外國語學(xué)校梁懿濤郵編：330025地址：江西省南昌市桃苑西路126號(hào)南昌外國語學(xué)校電話：13607917611電子信箱：liangyitao@一問題的來源平面向量三點(diǎn)共線定理平面向量三點(diǎn)共線定理:對(duì)于共面向量，則、、三點(diǎn)共線的OAOBOC????????????OCxOAyOB??????????????ABC充要條件是1xy??二問題的提出問題問題1.在上述

2、定理中，如果、時(shí)，分別有什么結(jié)論？1xy??1xy??問題問題2.、有什么特定的意義嗎？xy問題問題3.上述問題可以推廣到空間嗎？三問題的解決推論推論1.對(duì)于不共線向量若，則OAOB????????OCxOAyOB??????????????（1）點(diǎn)在直線外側(cè)（不含點(diǎn)一側(cè)）的充要條件是CABO1xy??（2）點(diǎn)在直線內(nèi)側(cè)（含點(diǎn)一側(cè)）的充要條件是CABO1xy??證明：（1）必要性：如圖11，連OC交AB于點(diǎn)，則存在實(shí)數(shù)，使得，C??(1

3、)OCOC??????????????，，，(1)OCxOAyOBxy??????????????????????OCxOAyOB???????????????????xxyy??????()1xyxy????????充分性：，存在，使得且1xy????1??xxyy??????1xy????，在直線上，在直線外側(cè)()OCxOAyOBOC??????????????????????????C??ABC?AB同理可證（2）進(jìn)一步分析，得：

4、推論推論.對(duì)于不共線向量若，則1?OAOB????????OCxOAyOB??????????????（1）連接得直線，過點(diǎn)作平行于的直線，則、將平面分成三個(gè)區(qū)域，如圖12AB1?O1?2?1?2?OAB點(diǎn)落在各區(qū)域時(shí)，、滿足的條件是：Cxy（Ⅰ）區(qū)：；（Ⅱ）區(qū)：；（Ⅲ）區(qū)：特別地，當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，1xy??01xy???0xy??C1?；當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，1xy??C2?0xy??（2）直線、將平面分成四個(gè)區(qū)域，如圖13，則點(diǎn)落在各區(qū)域時(shí)，

5、、滿足的條件OAOBOABCxy是：（Ⅰ）區(qū)：；（Ⅱ）區(qū)：；（Ⅲ）區(qū)：；（Ⅳ）區(qū)：00xy?????00xy?????00xy?????00xy?????證明略推論推論2.若，，則，且當(dāng)，則點(diǎn)在線OCxOAyOB??????????????(1xy??0)xy?||||||||ACyBCx?00xy??C段上；當(dāng)，則點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上；當(dāng)，則點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線AB00xy??CBA00xy??CAB上3證明：只證的情形，其它情形可類似證明

6、0abcd?由，得，令0aOAbOBcOCdOD?????????????????????aOAbOBcOCdODbcdbcd????????????????????????bOBcOCdODOPbcd?????????????????????，則四點(diǎn)共面，由推論5，，PBCD::::PCDPBDPBCSSSbcd????又，如圖4，知，aOAOPbcd????????????||:||:()OPOAabcd???，同理可證OABDcb

7、cdcVbcdabcdabcd???????????????，，OBCDaVabcd??????OACDbVabcd?????，命題得證OABCdVabcd?????四結(jié)論的應(yīng)用1（2006年湖南（理））如圖，∥，點(diǎn)在由射線，線段及的延長(zhǎng)線圍成的陰影OMABPOMOBAB區(qū)域內(nèi)（不含邊界）運(yùn)動(dòng)，且，則的取值范圍是；當(dāng)時(shí)，的取OPxOAyOB??????????????x12x??y值范圍是解析：由推論1及推論，有，且當(dāng)，有，即1?0x?

8、12x??1Oxy???答案為：，（，）1131222Oyy???????0x?12322（2009年安徽卷（理））給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量和，它們的夾角為如圖所示，點(diǎn)OA????OB????0120C在以O(shè)為圓心的圓弧上變動(dòng)若其中則AB????OCxOAyOB??????????????xyR?xy?的最大值是________解析：由推論3，，OABOBCOACSOCSOASOB?????????????????，設(shè)，43()3OB

9、COACOBCOACOABOABSSxySSSS????????????AOC???，2[0]3???，112sinsin()223OACOBCSS????????，此時(shí)431122333[sinsin()](cossin)2sin()232233226xy?????????????????3???3(2010年高考天津卷理)如圖，在中，，，則ABC?ADAB?3||1BCBDAD??????????????ACAD????????A=

10、解析：，由推論2，得，||31||3CDBC????(13)3ACABAD???????????????答案：2[(13)3]33ACADABADADAD???????????????????????????????34（2011屆黑龍江省哈爾濱三中高三10月月考理）如圖所示，兩射線OA與OB交于O，下列向量若以O(shè)為起點(diǎn)，終點(diǎn)落在陰影區(qū)域內(nèi)（含邊界）的是.①2OAOB?????????；②3143OAOB?????????；③1123O