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文檔簡介
1、第四章微分中值定理和導數(shù)的應(yīng)用一、考核要求Ⅰ知道羅爾定理成立的條件和結(jié)論,知道拉格朗日中值定理成立的條件和結(jié)論。Ⅱ能識別各種類型的未定式,并會用洛必達法則求它們的極限。Ⅲ會判別函數(shù)的單調(diào)性,會用單調(diào)性求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,并會利用函數(shù)的單調(diào)性證明簡單的不等式。Ⅳ會求函數(shù)的極值。Ⅴ會求出數(shù)在閉區(qū)間上的最值,并會求簡單應(yīng)用問題的最值。Ⅵ會判斷曲線的凹凸性,會求曲線的凹凸區(qū)間和拐點。Ⅶ會求曲線的水平漸近線和垂直漸近線。二、基本概念、主要定理和公式
2、、典型例題Ⅰ微分中值定理今后,如果函數(shù)f(x)在某一點x0處的導數(shù)值=0,就說這一點是駐點,因此羅爾中值定理的結(jié)論也可以說f(x)在(a,b)內(nèi)至少有一個駐點。從y=f(x)的幾何圖形(見下圖)可以看出,若y=f(x)滿足羅爾中值的條件,則它在(a,b)內(nèi)至少有一點,其切線是水平的,根據(jù)導數(shù)的幾何意義知道,該點的斜率=k=0。從函數(shù)y=f(x)的圖形看(見下圖),連接y=f(x)在[a,b]上的圖形的端點A與B,則線段AB的斜率為:∴a
3、rctanb-arctana<ba在第三章我們曾知常數(shù)的導數(shù)為零,即反過來會問:導數(shù)為零的函數(shù)是否一定是常數(shù),下面我們證明證:在(a,b)任取兩數(shù)x1,x2,假定x2>x1,證明這兩個函數(shù)值相等的。由于函數(shù)在a,b內(nèi)處處可導,因此根據(jù)拉格朗中值定理知道在區(qū)間內(nèi)部處處連續(xù)。因此函數(shù)在開區(qū)間x1,x2內(nèi)部只少存在一點c使,使在端點的函數(shù)值f(x1)f(x2)=(x2x1)由于函數(shù)在區(qū)間內(nèi)部的導數(shù)值永遠等于0,所以=0∴f(x2)f(x1)=
4、0∴f(x2)=f(x1)證畢。證:令F(x)=f(x)g(x)∴在(a,b)內(nèi)==0∴在(a,b)內(nèi)F(x)=c,即在(a,b)內(nèi)f(x)g(x)=c∴在(a,b)內(nèi)f(x)=g(x)cⅡ洛必達法則當limf(x)=0且limg(x)=0時,或limf(x)=∞且limg(x)=∞時,分式的極限不能用除法公式計算,上面的分式的極限可能存在,也可能是∞,還可能沒有極限,因此叫未定式,對于未定式的極限有下面的計算方法,叫洛必達法則,我們不
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