傳統(tǒng)考點(diǎn)(中值定理)

1、【第1頁共8頁】微分中值定理證明中輔助函數(shù)的構(gòu)造微分中值定理證明中輔助函數(shù)的構(gòu)造摘要：摘要：本文總結(jié)了證明微分中值命題時(shí)常用的六種構(gòu)造輔助函數(shù)的方法，并給出了具體的應(yīng)用.關(guān)鍵詞：關(guān)鍵詞：輔助函數(shù)；原函數(shù)；不定積分；羅爾定理利用微分中值定理解決問題時(shí)，通常需要構(gòu)造一個(gè)輔助函數(shù)，由這個(gè)輔助函數(shù)滿足某個(gè)中值定理的條件而得到要證明的結(jié)論，而構(gòu)造性方法是高等數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的分析技巧，這往往成為解題的難點(diǎn)所在本文主要介紹證明微分中值命題時(shí)常用的六種

2、構(gòu)造輔助函數(shù)的方法1原函數(shù)法原函數(shù)法此法是將結(jié)論變形并向羅爾定理的結(jié)論靠攏，湊出適當(dāng)?shù)脑瘮?shù)作為輔助函數(shù)，主要思想分為四點(diǎn)：(1)將要證的結(jié)論中的換成；(2)通過恒等變形將結(jié)論化?x為易消除導(dǎo)數(shù)符號(hào)的形式；(3)用觀察法或積分法求出原函數(shù)（等式中不含導(dǎo)數(shù)符號(hào)），并取積分常數(shù)為零；(4)移項(xiàng)使等式一邊為零，另一邊即為所求輔助函數(shù)()Fx例1：證明柯西中值定理分析：在柯西中值定理的結(jié)論中令，得()()()()()()fbfafgbgag??

3、???x??，先變形為再兩邊同時(shí)積分得()()()()()()fbfafxgbgagx???()()()()()()fbfagxfxgbga???A，令，有故()()()()()()fbfagxfxCgbga????A0C?()()()()0()()fbfafxgxgbga????A為所求輔助函數(shù)()()()()()()()fbfaFxfxgxgbga????A例2：若…是使得的實(shí)數(shù)證明方程0a1a2ana1200231naaaan??

4、????…在（0，1）內(nèi)至少有一實(shí)根20120nnaaxaxax?????…【第3頁共7頁】，所以()()()fxdxgdxfx??????1[()][()]ln()()()dfxdgxfxgxCfx????????，其中，由()(())exp(())exp()fxexpgxCgxC?????Aexp(())Kgx??exp()KC?可得由上面積分的推導(dǎo)可知，()(())fxKexpgx??()exp(())Kfxgx?為一常數(shù)，故其導(dǎo)

5、數(shù)必為零，從整個(gè)變形過程知，滿足這樣結(jié)論的()exp(())fxgxK的存在是不成問題的因而令，易驗(yàn)證其滿足羅爾定理的條?()()exp(())Fxfxgx?件，原題得證3幾何直觀法幾何直觀法此法是通過幾何圖形考查兩函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值的關(guān)系，從而建立適當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)例5：證明拉格朗日中值定理分析：通過弦兩個(gè)端點(diǎn)的直線方程為AB，則函數(shù)()()()()fbfayfaxaba?????()fx與直線AB的方程之差即函數(shù)在兩()()()()

6、[()()]fbfaFxfxfaxaba??????個(gè)端點(diǎn)處的函數(shù)值均為零，從而滿足羅爾定理的條件故上式即為要做輔助函數(shù)例6：若在上連續(xù)且試證在內(nèi)至少有一點(diǎn)()fx[]ab()()faafbb??()ab?，使()f???分析：由圖可看出，此題的幾何意義是說，連續(xù)函數(shù)的圖形曲線必跨越這一條()yfx?yx?直線，而兩者的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，恰滿足?()f???進(jìn)而還可由圖知道，對(duì)上的同一自變量值[]ab，這兩條曲線縱坐標(biāo)之差構(gòu)成一個(gè)新的x()