特征方程法求遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式

1、高考數(shù)學(xué)專題講座授人以魚(yú)，不如授人以漁。讓數(shù)學(xué)不再成為障礙！嵩明縣第一中學(xué)吳學(xué)偉13577103702第1頁(yè)共11頁(yè)特征方程法求解遞推關(guān)系中的數(shù)列通項(xiàng)特征方程法求解遞推關(guān)系中的數(shù)列通項(xiàng)一、（一階線性遞推式）設(shè)已知數(shù)列的項(xiàng)滿足nadcaabann????11其中求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。10??cc采用數(shù)學(xué)歸納法可以求解這一問(wèn)題，然而這樣做太過(guò)繁瑣，而且在猜想通項(xiàng)公式中容易出錯(cuò)，本文提出一種易于被學(xué)生掌握的解法——特征方程法：針對(duì)問(wèn)題中的遞推

2、關(guān)系式作出一個(gè)方程稱之為特征方dcxx??程；借助這個(gè)特征方程的根快速求解通項(xiàng)公式.下面以定理形式進(jìn)行闡述.定理1：設(shè)上述遞推關(guān)系式的特征方程的根為，則當(dāng)時(shí)，0x10ax?為常數(shù)列，即，其中是以為公na0101xbaaxaannn????時(shí)當(dāng)nbc比的等比數(shù)列，即.01111xabcbbnn????證明：因?yàn)橛商卣鞣匠痰米鲹Q元?jiǎng)t10?c.10cdx??0xabnn??.)(110011nnnnnncbxacccdcacddcaxab??

3、????????????當(dāng)時(shí)，，數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，故10ax?01?bnbc11??nncbb當(dāng)時(shí)，，為0數(shù)列，故（證畢）10ax?01?bnb.N1??naan下面列舉兩例，說(shuō)明定理1的應(yīng)用.例1已知數(shù)列滿足：求na4N23111??????anaann.na解：作方程.232310?????xxx則當(dāng)時(shí)，41?a.211231101????abxa數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列.于是nb31?.N)31(2112323)31(21

4、1)31(1111???????????????nbabbnnnnnn高考數(shù)學(xué)專題講座授人以魚(yú)，不如授人以漁。讓數(shù)學(xué)不再成為障礙！嵩明縣第一中學(xué)吳學(xué)偉13577103702第3頁(yè)共11頁(yè)則數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，于是??nnaa??1ab?32。把代入，得11)32)((?????nnnabaann321????，abaa???12，)32()(23????abaa，234)32()(????abaa???。21)32)((?

5、????nnnabaa把以上各式相加，得。])32()32(321)[(21???????????nnabaa)(321)32(11abn?????。abbaaabannn23)32)((3)]()32(33[11???????????解法二（特征根法）：數(shù)列：??na)0(025312Nnnaaannn???????，的特征方程是：。baaa??2102532???xx32121??xx?。?1211????nnnBxAxa1)32(