高中數(shù)學(xué)解題方法之分離變量法含答案

1、分離變量法分離變量法分離變量法是近年來(lái)發(fā)展較快的思想方法之一.高考數(shù)學(xué)試題中，求參數(shù)的范圍常常與分類(lèi)討論、方程的根與零點(diǎn)等基本思想方法相聯(lián)系.其中與二次函數(shù)相關(guān)的充分體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合及分類(lèi)思想方法的題目最為常見(jiàn).與二次函數(shù)有關(guān)的求解參數(shù)的題目相當(dāng)一部分題目都可以避開(kāi)二次函數(shù)使用分離變量使得做題的正確率大大提高.隨著分離變量的廣泛使用越來(lái)越多的壓軸題都需要使用該思想方法.分離變量法：是通過(guò)將兩個(gè)變量構(gòu)成的不等式(方程)變形到不等號(hào)(等號(hào))兩端

2、，使兩端變量各自相同解決有關(guān)不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中參數(shù)取值范圍的一種方法.兩個(gè)變量，其中一個(gè)范圍已知，另一個(gè)范圍未知.解決問(wèn)題的關(guān)鍵:分離變量之后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值或值域的問(wèn)題.分離變量后，對(duì)于不同問(wèn)題我們有不同的理論依據(jù)可以遵循.以下定理均為已知的范圍，求的范圍：xa定理定理1不等式恒成立（求解的最小值）；不()()fxga????min()()fxga?()fx等式恒成立（求解的最大值）.()()fxga

3、????max()()fxga?()fx定理定理2不等式存在解（求解的最大值）；不()()fxga????max()()fxga?()fx等式存在解（即求解的最小值）.()()fxga????min()()fxga?()fx定理定理3方程有解的范圍的值域（求解的值域）.()()fxga??()ga?()fx()fx解決問(wèn)題時(shí)需要注意：（1）確定問(wèn)題是恒成立、存在、方程有解中的哪一個(gè)；（2）確定是求最大值、最小值還是值域.再現(xiàn)性題組：1、

4、已知當(dāng)xR時(shí)，不等式acos2x(4sinxcos2x)??f(x)=4sinxcos2x22f(x)=4sinxcos2x=2sinx4sinx1=2(sinx1)3???方向判別式對(duì)稱(chēng)軸特殊點(diǎn)的函數(shù)值.解題時(shí)需要分為大3類(lèi)小5類(lèi).學(xué)生能夠部分得分很難列出所有不等式組.方法二(分離變量):問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上恒有解?分離變22230axxa????[11]x??量得有解?由定理1.3得只需求23221xax???2222[1)()(1]22

5、22x??????函數(shù)在上的值域即可單獨(dú)232()21xgxx???2222[1)()(1]2222x??????22?考慮.此法思維兩較小運(yùn)算量較二次函數(shù)略大得分率略有增加.通過(guò)對(duì)上述三道題目解答過(guò)程中出現(xiàn)的兩種做法的比較不難體會(huì)到分離變方法的優(yōu)越性:思維量小過(guò)程簡(jiǎn)捷明快思維嚴(yán)謹(jǐn)性的要求有所降低.不足之處:個(gè)別時(shí)候分離后產(chǎn)生的函數(shù)在求解其最值或值域時(shí)運(yùn)算量較大.總體來(lái)說(shuō)多數(shù)時(shí)候應(yīng)優(yōu)先使用分離變量法。例4、已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，.3()3

6、1fxxax???()fx()()3gxfxax???（1）若對(duì)一切恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；()60xgx???2x?a（2）若對(duì)滿足的一切的值，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.01a??a()0gx?x解：（解：（1）22()33()333fxxagxxaax????????()6gxxa???即對(duì)一切恒成立即對(duì)一切恒成立2660xax???2x??66axx??2x?記，則在上恒成立，在上恒大于0，6()6hxxx??2x?()ahx??

7、26()6hxx??2x?在上單調(diào)遞增，?6()6hxxx??2x?min()(2)15hxh???15a??（2）即對(duì)一切恒成立2()333gxxaax????01a??若，則不滿足3x?2()333240gxxaax??????x???若，則對(duì)一切恒成立3x?2333xax???01a??23311033xxx???????若，則對(duì)一切恒成立3x?2333xax???01a??223303303xxx???????11x????x?