高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽解題方法篇不等式

1、第1頁(yè)共15頁(yè)高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽中不等式的解法摘要摘要：本文給出了競(jìng)賽數(shù)學(xué)中常用的排序不等式，平均值不等式，柯西不等式和切比雪夫不等式的證明過程，并挑選了一些與這幾類不等式相關(guān)的一些競(jìng)賽題進(jìn)行了分析和講解。希望對(duì)廣大喜愛競(jìng)賽數(shù)學(xué)的師生有所幫助。不等式在數(shù)學(xué)中占有重要的地位，由于其證明的困難性和方法的多樣性，而成為競(jìng)賽數(shù)學(xué)中的熱門題型.在解決競(jìng)賽數(shù)學(xué)中的不等式問題的過程中，常常要用到幾個(gè)著名的代數(shù)不等式：排序不等式、平均值不等式、柯西不等式、切

2、比雪夫不等式.本文就將探討這幾個(gè)不等式的證明和它們的一些應(yīng)用.1排序不等式定理定理1設(shè)，則有1212......nnaaabbb??????(倒序積和)1211...nnnababab????（亂序積和）1212...nrrnrababab????（順序積和）1122...nnababab????其中是實(shí)數(shù)組一個(gè)排列，等式當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)成立.12...nrrr12...nbbb12...naaa???12...nbbb???（說明：本不等

3、式稱排序不等式，俗稱倒序積和亂序積和順序積和.）證明證明：考察右邊不等式，并記。1212...nrrnrSababab????不等式的意義：當(dāng)時(shí)，S達(dá)到最大值1212...nrrnrSababab????1212...nrrrn???.因此，首先證明必須和搭配，才能使S達(dá)到最大值.也即，設(shè)且和某個(gè)1122...nnababab???nanbnrn?nb搭配時(shí)有()kakn?（11）.nnknnrkrnnabababab???事實(shí)上，()

4、()()0nnnnnkrknnrnrnkababababbbaa???????不等式（11）告訴我們當(dāng)時(shí)，調(diào)換和的位置（其余n2項(xiàng)不變），會(huì)使和S增加.同理，調(diào)整好nrn?nbnrb和后，再調(diào)整和會(huì)使和增加.經(jīng)過n次調(diào)整后，和S達(dá)到最大值，這就證nanb1na?1nb?1122...nnababab???明了.1212...nrrnrababab???1122...nnababab????再證不等式左端第3頁(yè)共15頁(yè)222222222a

5、bbccaabccab????????再考慮，并且333abc??111bccaab??利用排序不等式，333333111abcabcbccaabcaabbc?????333333111abcabcbccaababbcac?????兩式相加并除以2，即得222222333222abbccaabccabbccaab????????綜上所述，原不等式得證.例3設(shè)，而與是的兩個(gè)排列.12120...0...nnaaabbb????????12

6、...niii12...njjj12...n求證：.（12）1111rsnnnnijrsrsrsababrsrs???????????思路分析思路分析：已知條件中有兩組有序?qū)崝?shù)，而式（12）具有“積和”形式，考慮使用排序不等式.證明證明：令（r=）1snjrsbdrs????12...n顯然12...nddd???因?yàn)椋?2...nbbb???111...(1)1rnrnr???????由排序不等式1nsrsbdrs????又因?yàn)?2