初一競賽講座14（抽屜原理）

1、初一數(shù)學(xué)競賽系列講座(14)抽屜原理一、一、知識要點(diǎn)1、1、抽屜原理1把n1個東西，任意地分放到n個抽屜里，那么必有一個抽屜里有2個東西。2、2、抽屜原理2把m個東西，任意地分放到n個抽屜里，那么必有一個抽屜里至少有k個東西。其中nmnmnmnmknmnmk表示，的倍數(shù)時不是當(dāng)或的倍數(shù)時是當(dāng)???????????????)(1)(的整數(shù)部分。3、3、上述二個原理統(tǒng)稱為抽屜原理。抽屜原理雖然簡單、淺顯，卻是解決很多存在性問題的有力工具。利

2、用抽屜原理解題的一般步驟是：(1)(1)構(gòu)造抽屜，指出東西；(2)(2)將東西放入抽屜，或從抽屜里取出；(3)(3)說明理由，得出結(jié)論。二、二、例題精講例1用2種顏色涂3行9列共27個小方格，證明：不論如何涂色，其中必至少有兩列，它們的涂色方式相同.分析：把用兩種顏色涂１３的小方格的方法當(dāng)作抽屜。解：用兩種顏色涂１３的小方格共有８種方法現(xiàn)有９列，由抽屜原理，必有兩列涂法一樣評注：用抽屜原理解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造抽屜，另外還要搞清什么是抽屜？

3、什么是東西？例2已知一個圓。經(jīng)過圓心任意作993條直徑，它們與圓共有1986個交點(diǎn)，在每個交點(diǎn)處分別填寫從1到496中的一個整數(shù)(可重復(fù)填寫)。證明：一定可以找到兩條直徑，它們兩端的數(shù)的和相等。(第二屆迎春杯決賽試題)分析：直徑兩端的數(shù)都在1到496之間，所以它們兩端的數(shù)的和在2到992之間，則可構(gòu)造991只抽屜，而東西有993個，因而得到證明。證明：直徑兩端的數(shù)都在1到496之間，所以直徑兩端的數(shù)的和≥2，且≤992所以，這種和只有9

4、91種。而直徑有993條，993991，所以一定可以找到兩條直徑，它們兩端的數(shù)的和相等。評注：由解題過程知本題將“993條直徑”改為“992條直徑”結(jié)論仍然成立。如果將結(jié)論改為“可以找到兩條直徑，它們兩端的數(shù)的和相等”，那么條件“經(jīng)過圓心任意作993條直徑”就要改為“經(jīng)過圓心任意作1983條直徑”。例3夏令營組織1987名營員去游覽故宮、景山公園、北海公園，規(guī)定每人最少去一處，最多去兩處游覽，至少有幾個人游覽的地方完全相同？試證明你的結(jié)

5、論。(第二屆迎春杯決賽試題)第二十六個抽屜里放進(jìn)數(shù)：51.…………第五十個抽屜里放進(jìn)數(shù)：99.那么隨意取出51個數(shù)中，必有兩個數(shù)同屬一個抽屜，其中一個數(shù)是另一個數(shù)的倍數(shù).評注：本題構(gòu)造的抽屜比較別致，它必須符合分析中的兩個條件。這種構(gòu)造抽屜的方法值得我們體會。例7在邊長分別為2和4的矩形中任取9個點(diǎn)(任三點(diǎn)不共線)，證明至少存在三點(diǎn)，以它們?yōu)轫旤c(diǎn)的三角形的面積不大于1。分析：矩形中任一三角形的面積不超過該矩形面積的一半，而已知矩形面積為

6、8，故若將該矩形分為4個等積的小矩形，則小矩形的面積為2，其內(nèi)的任一三角形的面積不超過1，因而只須將已知矩形分為4個等積的小矩形，證明其中至少有一份含有9個點(diǎn)中的3個點(diǎn)即可。證明：將已知矩形分為4個全等的小矩形，則由抽屜原理，任取9個點(diǎn)中至少有3個點(diǎn)在一個小矩形中。由于這個小矩形的面積等于24)(241??，故以這3個點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積不超過該小矩形面積的一半1，問題得證。例8有一位國際象棋大師，用11周時間準(zhǔn)備一次錦標(biāo)賽。在準(zhǔn)備期間

7、，他決定每天至少參加一次比賽，但每周累計比賽不超過12次。證明：存在連續(xù)若干天，這位大師恰好共進(jìn)行了21次比賽。證明：設(shè)前A天這位大師累計比賽的次數(shù)為ai，11周共有77天，故1≤i≤77。由于每天至少參加一次比賽，但每周累計比賽不超過12次，故有1≤a1a2…a77≤11?12=132，于是，22≤a121a221…a7721≤13221=153則在1到153之間共有154個整數(shù)：a1，a2，…，a77，a121，a221，…，a77

8、21由抽屜原理，其中至少有兩個數(shù)相等。由于a1，a2，…，a77不可能相等，a121，a221，…，a7721也不可能相等，所以只可能是某個ai與某個aj21(ji)相等，即aiaj=21。這說明這位大師第j1天，第j2天，…，第i天累計比賽21次。三、三、鞏固練習(xí)選擇題1、一副撲克有4種花色，每種花色有13張，從中任意抽牌，最少要抽()張才能保證有4張牌是同一花色。A、12B、13C、14D、152、有22只裝鋼筆的文具盒，如果不管如