剛體定軸轉動

1、0第2章剛體定軸轉動剛體定軸轉動2.28質量為M的空心圓柱體，質量均勻分布，其內外半徑為R1和R2，求對通過其中心軸的轉動慣量解：設圓柱體的高為H，其體積為V=π(R22–R12)h，體密度為ρ=MV在圓柱體中取一面積為S=2πRH，厚度為dr的薄圓殼，體積元為dV=Sdr=2πrHdr，其質量為dm=ρdV，繞中心軸的轉動慣量為dI=r2dm=2πρHr3dr，總轉動慣量為213442112d()2RRIHrrHRR????????2

2、2211()2mRR??2.29一矩形均勻薄板，邊長為a和b，質量為M，中心O取為原點，坐標系OXYZ如圖所示試證明：（1）薄板對OX軸的轉動慣量為；2112OXIMb?（2）薄板對OZ軸的轉動慣量為221()12OZIMab??證：薄板的面積為S=ab，質量面密度為σ=MS（1）在板上取一長為a，寬為dy的矩形元，其面積為dS=ady，其質量為dm=σdS，繞X軸的轉動慣量為dIOX=y2dm=σay2dy，積分得薄板對OX軸的轉動慣

3、量為2223221d3bbOXbbIayyay???????32111212abMb???同理可得薄板對OY軸的轉動慣量為2112OYIMa?（2）方法一：平行軸定理在板上取一長為b，寬為dx的矩形元，其面積為dS=bdx，質量為dm=σdS，繞過質心的O`Z`軸的轉動慣量等于繞OX軸的轉動慣量dIO`Z`=b2dm12根據平行軸定理，矩形元對OZ軸的轉動慣量為dIOZ=x2dmdIO`Z`=σbx2dxb2dm12，積分得薄板對OZ軸

4、的轉動慣量為222201dd12aMOZaIbxxbm??????232211312aabxbM????221()12Mab??方法二：垂直軸定理在板上取一質量元dm，繞OZ軸的轉動慣量為dIOZ=r2dm由于r2=x2y2，所以dIOZ=(x2y2)dm=dIOYdIOX，因此板繞OZ軸的轉動慣量為221()12OZOYOXIIIMab????2.30一半圓形細桿，半徑為R，質量為M，求對過細桿二端AA`軸的轉動慣量R1R2OO`H圖

5、2.28aObXYZ圖2.29aObXYZZ`O`yxrθAA`R圖2.3022.33一輕繩繞于r=0.2m的飛輪邊緣，以恒力F=98N拉繩，如圖（a）所示已知飛輪的轉動慣量I=0.5kgm2，軸承無摩擦求（1）飛輪的角加速度（2）繩子拉下5m時，飛輪的角速度和動能（3）將重力P=98N的物體掛在繩端，如圖（b）所示，再求上面的結果解：（1）恒力的力矩為M=Fr=19.6(Nm)，對飛輪產生角加速度為β=MI=39.2(rads2)（2

6、）方法一：用運動學公式飛輪轉過的角度為θ=sr=25(rad)，由于飛輪開始靜止，根據公式ω2=2βθ，可得角速度為=44.27(rads1)；2????飛輪的轉動動能為Ek=Iω22=490(J)方法二：用動力學定理拉力的功為W=Fs=490(J)，根據動能定理，這就是飛輪的轉動動能Ek根據公式Ek=Iω22，得角速度為=44.27(rads1)2kEI??(3)物體的質量為m=Pg=10(kg)設繩子的張力為T，則P–T=ma，Tr

7、=Iβ由于a=βr，可得Pr=mr2βIβ，解得角加速度為=21.8(rads2)2PrmrI???繩子的張力為=54.4(N)2IIPTrmrI????張力所做的功為W`=Ts=272.2(J)，這就是飛輪此時的轉動動能E`k飛輪的角速度為=33(rads1)``2kEI??2.34質量為m，半徑為R的均勻圓盤在水平面上繞中心軸轉動，如圖所示盤與水平面的摩擦因數為μ，圓盤從初角速度為ω0到停止轉動，共轉了多少圈？解：圓盤對水平面的壓力

8、為N=mg，壓在水平面上的面積為S=πR2，壓強為p=NS=mgπR2當圓盤滑動時，在盤上取一半徑為r、對應角為dθ面積元，其面積為dS=rdθdr，對水平面的壓力為dN=pdS=prdrdθ，所受的摩擦力為df=μdN=μprdrdθ，其方向與半徑垂直，摩擦力產生的力矩為dM=rdf=μpr2drdθ，總力矩為2200ddRMprr??????312π3pR??23mgR??圓盤的轉動慣量為I=mR22，角加速度大小為，負號表示其方向