第二講極限

1、第二講極限《數(shù)學(xué)分析》是以極限概念為基礎(chǔ)，以極限理論為工具對函數(shù)進(jìn)行研究的一門學(xué)科，研究了函數(shù)的連續(xù)性、可微性、可積性等性質(zhì)。一、極限思想極限思想極限思想是近代數(shù)學(xué)的一種重要思想，所謂極限思想，是指用極限的概念分析問題和解決問題的一種數(shù)學(xué)思想。極限思想是《數(shù)學(xué)分析》的基本思想，《數(shù)學(xué)分析》中一系列重要概念，如函數(shù)的連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、以及定積分等都借助于極限來定義的，可以這樣說“數(shù)學(xué)分析就是用極限思想來研究函數(shù)的一門學(xué)科”。（1）極限思想的萌芽

2、劉徽的割圓術(shù)、古希臘人的窮竭法，16世紀(jì)荷蘭數(shù)學(xué)家斯泰文借助集合直觀，改進(jìn)了古希臘人的窮結(jié)法，大膽應(yīng)用極限思想思考問題。（2）極限思想的發(fā)展極限思想的發(fā)展是與微積分的建立密切聯(lián)系。社會背景：16世紀(jì)，資本主義萌芽，需要解決實(shí)際生產(chǎn)和技術(shù)問題，初等數(shù)學(xué)無法解決，要求數(shù)學(xué)提供一種新工具，用以描述和研究運(yùn)動和變化的過程。牛頓用極限思想研究瞬時(shí)速度：路程的改變量與時(shí)間的改變量之比表示運(yùn)動物S?t?體的平均速度，讓無限趨近于0，得到物體的瞬時(shí)速度

3、。t?萊布尼茨用極限的思想研究曲線的切線：（這在數(shù)學(xué)分析書介紹很詳細(xì)）因此有這樣一說：切線是割線的極限。他們運(yùn)用的極限概念，接近于極限的直觀的語言描述：如果當(dāng)無限增大時(shí)，無限nna地接近于常數(shù)，稱數(shù)列以為極限。anaa這個(gè)描述，容易接受，但沒有量化，就不能作為科學(xué)論證的邏輯基礎(chǔ)，正因?yàn)槿绱?，才受到了英國哲學(xué)家、大主教貝克萊對微積分的激烈攻擊。（3）極限思想的完善極限思想的完善與微積分的嚴(yán)格化聯(lián)系在一起。解決“無窮小”在“零”與“非零”之

4、間的轉(zhuǎn)化經(jīng)過了大約一個(gè)世紀(jì)的完善。18世紀(jì)，羅賓斯、達(dá)朗貝爾、波爾查諾等人先后明確表示必須將極限作為微積分的基礎(chǔ)，并各自對極限作出定義。19世紀(jì)，法國數(shù)學(xué)家苛西在前人的基礎(chǔ)上，比較完整地闡述了極限概念和極限理論，他在《分析教程》中把無窮小視為以“0”為極限的變量。這就澄清了無窮小“似0非0”的模糊認(rèn)識。魏爾斯特拉斯提出了極限的靜態(tài)概念，即我們現(xiàn)在數(shù)學(xué)分析書上嚴(yán)格的極限概念：如果對任何，總存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，不等式成立，則稱數(shù)列0??NNn

5、????||aan以為極限，記作naa.limaann???這個(gè)定義，借助不等式，通過與之間的關(guān)系，定量地、具體地刻畫了兩個(gè)無限過?N程“”之間的聯(lián)系。這個(gè)定義也體現(xiàn)哲學(xué)中“靜態(tài)”與“動態(tài)”有機(jī)地結(jié)aann???合在一起。因此，這個(gè)定義是嚴(yán)格的，可以作為科學(xué)論證的基礎(chǔ)。（4）極限思想的思維功能由（1）有，（2）])1[(1nbanbann????令，代入（2）得nbna11111?????.)11()111(1nnnn?????故數(shù)列為

6、單調(diào)增加數(shù)列。)11(nn?又令，代入（2）得nba2111???.4)211(21.)211(12?????nnnn從而數(shù)列有界，由單調(diào)有界原理知數(shù)列收斂。)11(nn?)11(nn?證法2（利用均值不等式：，nnnaaanaaa??2121????niai210???等號成立的充分必要條件是）.21naaa????對任意的正整數(shù)，由均值不等式n11.)11(11)11(11)1(111?????????????nnnnnnnnn從而

7、.)11()111(1nnnn?????故數(shù)列為單調(diào)增加數(shù)列。)11(nn?又1221.2)11()21.()11(22???????nnnnnn于是，故數(shù)列有界，由單調(diào)有界原理知數(shù)列收斂。4)11(??nn)11(nn?)11(nn?證法3（用Bernoulli不等式：，等號成立的充分必要條)1(1)1(???????Nnhnhhn件是）令，則.0?hnnna)11(??nnnnnnnnnnnnaa??????????????????