向量的延伸

1、向量的延伸向量有一些具有較多應(yīng)用的結(jié)論，也聯(lián)系著一些其他的思想方法。下面引入并介紹三角形的重心坐標(biāo)與質(zhì)點(diǎn)幾何，必要時(shí)將引述相關(guān)研究性或介紹性文獻(xiàn)。一、重心坐標(biāo)（面積坐標(biāo)）下面的結(jié)論在向量中是常見的：（1）如果△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P滿足mPAnPBkPC=0那么便有S△PBC:S△PAC:S△PAB=m:n:k（2）GAGBGC=0（G為重心）（3）aIAbIBcIC=0(I為內(nèi)心)由于（3）可利用（1）簡(jiǎn)單推導(dǎo)出來(lái)，想到由（1）可能會(huì)引出一

2、個(gè)很好的方法，于是就有了下面的定義。定義若M是不在一直線上的三點(diǎn)A、B、C關(guān)于定倍數(shù)a＇、b＇、c＇的平均中心，這個(gè)定倍數(shù)a＇、b＇、c＇就稱為M關(guān)于坐標(biāo)△ABC的重心坐標(biāo)，記為M△ABCa＇、b＇、c＇.若坐標(biāo)△ABC確定時(shí)，可簡(jiǎn)記為Ma＇、b＇、c＇.重心坐標(biāo)也可以用面積比來(lái)定義：S△MBC:S△MAC:S△MAB=a＇：b＇：c＇，因此又稱作面積坐標(biāo).注：M可以是平面上任意點(diǎn)，M在三角形外部時(shí)，坐標(biāo)出現(xiàn)負(fù)數(shù)。下面給出巧合點(diǎn)的重心坐

3、標(biāo)：重心G1，1，1；內(nèi)心Iabc旁心Iaabc垂心H=tanAtanBtanC外心Oa2Xab2Xbc2Xc=sin2Asin2Bsin2CXcXbXa111重心坐標(biāo)的求法有分比法、垂距法、平方和法，此處從略。重心坐標(biāo)是三角形幾何學(xué)的內(nèi)容，因此下面不加證明地給出一些相關(guān)的結(jié)論：定理1三點(diǎn)Ni△MBCaibici(i=123)共線的充要條件為=033a322a2c1b1a1cbcb過兩點(diǎn)aibici(i=12)的直線方程為=0zycbx

4、22a2c1b1a1定理2若M△ABCa1、b1、c1，由A、B、C及M至任意直線l引垂線，相應(yīng)的垂足分別為D、E、F及N，則a1ADb1BEc1CF=(a1b1c1)MN定理3若M△ABCa1、b1、c1，P為任意點(diǎn)，如果先講向量把向量說(shuō)成是兩點(diǎn)相減的結(jié)果再?gòu)臏p法說(shuō)到加法就引出了質(zhì)點(diǎn)幾何.這樣不但向量加法的首尾銜接法更為顯然而且把數(shù)直線上的有向線段、解析幾何里的定比分點(diǎn)公式、向量坐標(biāo)的計(jì)算以及力學(xué)中重心和力矩等知識(shí)都聯(lián)系起來(lái)了.下面關(guān)

5、于質(zhì)點(diǎn)幾何的介紹中，將會(huì)表現(xiàn)出質(zhì)點(diǎn)法相比于向量法更有代數(shù)的演繹性，能夠真正將幾何要與代數(shù)完美結(jié)合起來(lái)。下面簡(jiǎn)略地介紹一下質(zhì)點(diǎn)幾何的基本概念.一般來(lái)說(shuō)我們把向量看作是有向線段.而在向量坐標(biāo)化的時(shí)候每個(gè)向量又對(duì)應(yīng)著一個(gè)點(diǎn).幾何學(xué)最基本的元素是點(diǎn).若將任意設(shè)置的原點(diǎn)O省略掉用一個(gè)點(diǎn)來(lái)表示一個(gè)向量可稱之為單點(diǎn)向量.定義在質(zhì)點(diǎn)幾何中稱aP(a≠0a為實(shí)數(shù))為質(zhì)點(diǎn)系數(shù)為1或1時(shí)“1”可以省略稱xMxN(x為實(shí)數(shù))為向量當(dāng)x=0或M=N時(shí)稱xMxN為

6、零向量.性質(zhì)1(1)設(shè)C是直線AB上的一點(diǎn)滿足AC:CB=m:n則(mn)C=nAmB.(2)若點(diǎn)ABC滿足(mn)C=nAmB(mn≠0)AC:CB=m:n注：若將(mn)C=nAmB化為C=AB，若C的位置確定是唯一的值，nmn?nmm?nm令a=則C可以由A、B唯一表示為C=(1a)AaB，這和定比分點(diǎn)公式一致。nmm?性質(zhì)2(1)設(shè)O是直線AB與PQ（PQ與AB不平行）的交點(diǎn)則存在滿足xy=mn(=t)的x，y，m，n使得xAy