“命題的否定”與“否命題”辨析

1、第1頁(yè)共4頁(yè)命題的命題的“否定否定”與“否命題否命題”的辨析的辨析（郵編331800）江西省東鄉(xiāng)縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)數(shù)學(xué)組黃樹(shù)華數(shù)學(xué)是一門(mén)邏輯性很強(qiáng)的學(xué)科，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)處處涉及命題之間的邏輯關(guān)系和推理論證，現(xiàn)行教材新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)(北師大版)選修11、21的第一章均新增“常用邏輯用語(yǔ)”內(nèi)容，介紹一些簡(jiǎn)單而又實(shí)用的邏輯知識(shí)，本意是讓學(xué)生弄清命題之間的邏輯關(guān)系，自覺(jué)地使用邏輯規(guī)則，避免一些易犯的錯(cuò)誤，從而增強(qiáng)判斷能力和推理能力，提高數(shù)學(xué)思維能力。由于新增

2、內(nèi)容，對(duì)于高中新生來(lái)說(shuō)是較為抽象，在理解上尚一定難度，加之資料書(shū)上對(duì)這方面談得少，且我們有些一線(xiàn)教師知識(shí)上也存在一定缺陷。鑒于此，本人根據(jù)自己已從事一輪新課標(biāo)教學(xué)的實(shí)踐，就此問(wèn)題加以詮釋?zhuān)┩侍接?。一、命題的一、命題的“否命題否命題”關(guān)于“否命題”，教材中講得很明確，僅針對(duì)命題“若P則q”提出來(lái)的。寫(xiě)出一個(gè)命題的否命題，簡(jiǎn)單地說(shuō)就是將原命題改寫(xiě)成否定條件并且否定結(jié)論的形式。即“若p則q”的否命題為“若非p則非q”。命題的否命題與原命題

3、的真假可能相同也可能相反。如“若兩個(gè)三角形全等則面積相等”（真命題）的否命題為“若兩個(gè)三角形不全等則面積不相等”（假命題）。又如“若x≠2，則x2≠4”（假命題）的否命題為“若x=2，則x2=4”（真命題）。寫(xiě)出一個(gè)命題的否命題，關(guān)鍵是弄清楚命題的條件和結(jié)論，如命題“正方形是菱形”的條件是“四邊形是正方形”，結(jié)論是“這個(gè)四邊形是菱形”，其否命題為“若四邊形不是正方形則這個(gè)四邊形不是菱形”。二、命題的二、命題的“否定否定”“非p”叫做命題

4、p的非命題，即命題p的否定。一個(gè)命題p經(jīng)過(guò)使用邏輯聯(lián)結(jié)詞“非”，就構(gòu)成一個(gè)復(fù)合命題“非p”（記作“┓p”）稱(chēng)為命題的否定?！胺莗”形式的復(fù)合命題的真值與原命題p的真值正好相反，構(gòu)成一對(duì)矛盾命題。但值得注意的是“非p”絕不是“是”與“不是”的簡(jiǎn)單演譯，而是要對(duì)判斷對(duì)象做出正確的否定。以下分別舉例說(shuō)明：（一）簡(jiǎn)單命題的否定（一）簡(jiǎn)單命題的否定。簡(jiǎn)單命題是不含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題。常見(jiàn)的有：1形如“A是B”的命題，這類(lèi)命題的否定為：“A不是B”。

5、如命題“e是無(wú)理數(shù)。”的否定為“e不是無(wú)理數(shù)。”第3頁(yè)共4頁(yè)相反，故“非p”的否定是p。如命題“3不是9的約數(shù)”的否定是“3是9的約數(shù)”；(2)用聯(lián)結(jié)詞“且”聯(lián)結(jié)構(gòu)成“p且q”型的復(fù)合命題稱(chēng)為聯(lián)言命題。其否定是：非p或非q。如命題“96是48與16的倍數(shù)。”的否定為“96不是48的倍數(shù)或不是16的倍數(shù)?！?3)用聯(lián)結(jié)詞“或”聯(lián)結(jié)構(gòu)成“p或q”型的復(fù)合命題稱(chēng)為選言命題，其否定是：非p且非q。如命題“1是合數(shù)或質(zhì)數(shù)”的否定為“1既不是合數(shù)也

6、不是質(zhì)數(shù)”；(三)“)“若p則q”q”的命題。的命題。用聯(lián)結(jié)詞“若…則…”聯(lián)結(jié)的“若p則q”型的命題稱(chēng)為p、q的假言命題。其否定是：若p則非q。如命題“若一個(gè)數(shù)是質(zhì)數(shù)，則這個(gè)數(shù)是奇數(shù)?！钡姆穸ㄊ恰叭粢粋€(gè)數(shù)是質(zhì)數(shù)，則這個(gè)數(shù)不一定是奇數(shù)。”三、否命題與命題的否定的區(qū)別三、否命題與命題的否定的區(qū)別“否命題”與“命題的否定”是兩個(gè)不同的概念。區(qū)別在于：一、兩者研究對(duì)象的范圍不同，任何命題，無(wú)論是真命題還是假命題均有否定；而否命題僅針對(duì)命題“若p

7、則q”提出來(lái)的，并非所有命題都有否命題；二、命題的否定是原命題的矛盾命題，兩者的真假性必然是“一真一假”或“一假一真”；而否命題與原命題可能是“同真同假”，也可能是“真假相反”；三、命題的否定是對(duì)命題的結(jié)論加以否定，即命題的“非P”形式，而否命題是對(duì)一個(gè)命題的條件和結(jié)論都加以否定。即原命題是“若p則q”，那么這個(gè)命題的否定是“若p則非q”，而這個(gè)命題的否命題是“若非p則非q”。以下舉例說(shuō)明：例3.寫(xiě)出下列命題的否定與否命題，并判斷其真假

8、性：(1)若x、y都是奇數(shù)，則xy是偶數(shù)；(2)若xy=0，則x=0或y=0；(3)對(duì)頂角相等；(4)若a、b是奇數(shù)，則ab必是奇數(shù)。解：(1)的否定：若x、y都是奇數(shù)，則xy不是偶數(shù)；(假命題)；(1)的否命題：若x、y不都是奇數(shù)，則xy不是偶數(shù)；(假命題)；(2)的否定：若xy=0，則x≠0且y≠0；(假命題)(2)的否命題：若xy≠0，則x≠0且y≠0；(真命題)(3)的否定：對(duì)頂角不都相等（或“存在一對(duì)對(duì)頂角不相等”或“有些對(duì)頂