4.2--偏導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

1、高等數(shù)學(xué)下冊講稿第四章數(shù)學(xué)分析教研室1第二節(jié)第二節(jié)偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)教學(xué)目的：教學(xué)目的：(1)理解多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的概念；(2)掌握偏導(dǎo)數(shù)和高階偏導(dǎo)數(shù)的求法的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則(3)了解混合偏導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)次序無關(guān)的充分條件。教學(xué)重點：教學(xué)重點：偏導(dǎo)數(shù)和高階偏導(dǎo)數(shù)的求法教學(xué)難點：教學(xué)難點：偏導(dǎo)數(shù)存在性的討論教學(xué)方法：教學(xué)方法：講練結(jié)合教學(xué)時數(shù)：教學(xué)時數(shù)：2課時一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計算一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計算在研究一元函數(shù)時，從研究函數(shù)

2、的變化率引入了導(dǎo)數(shù)的概念，對于多元函數(shù)同樣需要討論它的變化率。由于多元函數(shù)不止一個自變量，研究起來要復(fù)雜得多。但是，我們可考慮多元函數(shù)關(guān)于其中一個自變量的變化率，例如:理想氣體的體積：TVkp?因此，我們引入下面的偏導(dǎo)數(shù)概念。1、偏導(dǎo)數(shù)的定義、偏導(dǎo)數(shù)的定義定義定義2.12.1設(shè)函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)固定在，而)(yxfz?)(00yxy0y在處有增量時，相應(yīng)地函數(shù)有增量：，x0xx?)()(0000yxfyxxf???如果存在，

3、則稱此極限為函數(shù)在點處xyxfyxxfx??????)()(lim00000)(yxfz?)(00yx對的偏導(dǎo)數(shù)，記為x，，或.00()xyzx??00()xyfx??00()xzxy)(00yxfx即。0000000()()()limxxfxxyfxyfxyx???????00d()dxxfxyx??同理可定義函數(shù)在點處對的偏導(dǎo)數(shù)，為)(yxfz?)(00yxyyyxfyyxfy??????)()(lim00000記為，，或.00()

4、xyzy??00()xyfy??00()yzxy00()yfxy即。00()yfxy00000()()limyfxyyfxyy???????00d()dyyfxyy??高等數(shù)學(xué)下冊講稿第四章數(shù)學(xué)分析教研室3證明：證明：??VRTp2VRTVp??????pRTVpRTV?????RpVTRVpT???=?????????pTTVVp2VRT?pR?RV?pVRT??1.?有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的幾點有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的幾點說明說明：1、偏導(dǎo)數(shù)是一個整體記號

5、，不能拆分xu??2、求分界點、不連續(xù)點處的偏導(dǎo)數(shù)要用定義求；()(00)(00).xyzfxyxyff??例例例解：=0xxfxx0|0|lim)00(0????).00(yf?例4：設(shè)求的偏導(dǎo)數(shù)。22()(00)()0()(00)xyxyxyfxyxy?????????()fxy解：解：)00()(時當(dāng)?yx22222)(2)()(yxxyxyxyyxfx?????)()(22222yxxyy???22222)(2)()(yxxyy

6、yxxyxfy?????)()(22222yxyxx???按定義可知)00()(時當(dāng)?yxxfxffxx??????)00()0(lim)00(000lim0?????xxyfyffyy??????)00()0(lim)00(000lim0?????yy故)00()(0)00()()()()(22222??????????yxyxyxxyyyxfx.)00()(0)00()()()()(22222??????????yxyxyxyxxy