概率論2 2

1、,第二章 事件的概率,本章的問題是：如何找到一個合適的數(shù)來表征一般事件在一次試驗中發(fā)生的可能性大小?,什么是可能性大或者小呢？,定義：在n次重復試驗中，事件A發(fā)生的次數(shù) nA稱為這 n 次試驗中事件A發(fā)生的頻數(shù).比值 nA/n 稱為這 n 次試驗中事件A發(fā)生的頻率，并記作 fn(A).,頻率直觀描述了事件A在一次試驗中發(fā)生的可能性大小。,第一節(jié) 概率的概念,頻率的性質(zhì)：,4. 頻率具有不確定性.,5. 頻率具有穩(wěn)定性.,歷史上

2、的擲硬幣試驗,結(jié)論：,1 當重復試驗的次數(shù) n逐漸增大時，頻率fn(A)呈現(xiàn)出穩(wěn)定性，即逐漸穩(wěn)定于某個確定的數(shù)值(即頻率具有統(tǒng)計規(guī)律性)。,2 用這個數(shù)值來表征事件A發(fā)生的可能性大小是合適的.,概率的統(tǒng)計定義,稱事件A的頻率的穩(wěn)定值為事件A發(fā)生的概率.,頻率與概率具有關系 概率是頻率的穩(wěn)定值,頻率是概率的近似值.,觀察§1中的兩個試驗：,E1: 拋一枚硬幣，觀察正面H、反面T出現(xiàn)的 情況。,E2:

3、 拋一顆均勻的骰子，觀察朝上面的點數(shù)。,它們具有兩個共同的特點：,1、試驗的樣本空間包含有限個元素；2、試驗中每個基本事件發(fā)生的可能性相同。,第二節(jié) 古典概型,具有以上兩個特點的試驗稱為等可能概型。,它在概率論發(fā)展初期曾是主要的研究對象，所以也稱為古典概型。,注 等可能性一般表現(xiàn)為幾何上的對稱性：質(zhì)量上的均勻性；信息上的一致性。,例1 將一枚硬幣拋擲三次。（1）設事件A1為“恰有一次出現(xiàn)正面”，求 P(A1)；（2）設事件A2為

4、“至少有一次出現(xiàn)正面”，求 P(A2).,記正面為H，反面為T，則樣本空為： S={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}.,解,例2 一口袋裝有6 只球，其中4只白球、2只紅球。從袋中取球兩次，每次隨機地取一只?？紤]兩種取球方式；(a).第一次取一只球，觀察其顏色后放回袋中，攪勻后再取一球，這種取球方式叫做放回取樣。(b).第一次取一球不放回袋中，第二次從剩余的球中再取一球，這種取球方式叫做不放回取樣

5、。試分別就上面兩種情況求取到的兩只球都是白球的概率；,例3 某城市電話號碼升位后為八位數(shù)，且第一位是6或8.現(xiàn)隨機抽取一個電話號碼，求 (1)該號碼為不重復的八位數(shù)的概率； (2) 該號碼末位數(shù)是8的概率。,例4 一口袋中裝有6個球，分別標以號碼1—6，隨機從此口袋中取兩個球，求 (1)最小號碼是3的概率； (2) 最大號碼是3的概率。,例5(抽獎卷問題) 某超市有獎銷

6、售投放n張獎券只有一張有獎，每位顧客可抽一張，求第k位顧客中獎的概率。,教材上的例3(女士品茶問題)與例5(站位問題)，請同學們自己看。,第三節(jié) 幾何概型,在古典概型中,人們利用等可能性的概念,成功地計算了一類問題的概率。但古典概型的局限性也很明顯，它只能運用于基本事件具有有限性與等可能性的情況。因此歷史上有不少人企圖把古典概型推廣到有無限多個基本事件又有“某種等可能性”的場合，這類問題可以用幾何的方法求解，故稱幾何概型。,如果試驗E

7、具有以下兩個特點：,（1）試驗的可能結(jié)果可表示為某區(qū)域Ω中的一個點，Ω為其樣本空間；,（2）試驗結(jié)果落在區(qū)域A的概率只與A的度量成正比，而與A在Ω中的形狀與位置無關。,則稱此試驗為幾何概型。,注 若視Ω為平面薄板，視P（A）為Ω上區(qū)域A所對應的薄板的質(zhì)量，則特點（2）所闡述的是“等面積則等質(zhì)量”，即質(zhì)量均勻。這正是幾何概型中的等可能性。,對于幾何概型，事件A的概率就規(guī)定為：,其中 s 表示相應的度量,例1 某公共汽車站從上午7點起，每隔

8、15min來一趟車，一乘客在7:00到7:30之間來到該車站。求 (1)該乘客等候不到5min就乘上車的概率； (2)該乘客等候超過10min才乘上車的概率。,例2 紅藍兩軍都等可能地在7點至8點之間強占某一高地，先登上且占據(jù)了10分鐘以上者為勝。若兩軍登上的時間相差不到10分鐘，則拼搏取勝。求兩軍拼搏的概率。,第四節(jié) 概率的公理化定義,概率的統(tǒng)計定義具有應用價值，但在理論上有嚴重缺陷；古典概型和幾何概型雖

9、然解決了這兩類概型的概率計算問題，但不普遍適用，直到上世紀30年代(1933)前蘇聯(lián)的柯爾莫哥洛夫在總結(jié)前人大量研究成果的基礎上建立了概率論的公理化法則，由此產(chǎn)生了概率的一般定義。,定義：設E是隨機試驗，Ω是E的樣本空間。若對E的每一事件A,均有確定的實數(shù)P(A)與之對應，且滿足下列條件：,１、非負性： P(A)≥0；,2、規(guī)范性： P(Ω)=1;,3、可列可加性：設A1,A2,…是兩兩互不相容的事件，則,則稱P(A)為事件A的概率，P