卡方-擬合優(yōu)度檢驗(yàn)

1、生物統(tǒng)計(jì)學(xué),第七章 擬合優(yōu)度檢驗(yàn)- ?2檢驗(yàn),擬合優(yōu)度檢驗(yàn)的意義 判斷實(shí)際觀察的屬性類別分配是否符合已知屬性類別分配理論或?qū)W說的假設(shè)檢驗(yàn)。 簡單的說：＊用于檢驗(yàn)總體是否服從某個(gè)指定分布。 Ⅰ.檢測觀察數(shù)與理論數(shù)之間的一致性；Ⅱ.通過檢測觀察數(shù)與理論數(shù)之間的一致性來判定事物之間的獨(dú)立性。,§7.1、擬合優(yōu)度檢驗(yàn)的一般原理,7.1.1 什么是擬合優(yōu)度檢驗(yàn)（P92）,一、 ?2統(tǒng)計(jì)量的意義

2、 為了便于理解，現(xiàn)結(jié)合一實(shí)例說明?2 (讀作卡方) 統(tǒng)計(jì)量的意義。根據(jù)遺傳學(xué)理論，動(dòng)物的性別比例是1:1。統(tǒng)計(jì)某一年所產(chǎn)的876只實(shí)驗(yàn)動(dòng)物，有雄性428只，雌性448只。按1:1的性別比例計(jì)算，雌雄均應(yīng)為438只。以O(shè)i表示實(shí)際觀察次數(shù)，Ti 表 示 理 論次數(shù)，可將上述情況列成下表。,7.1.2 擬合優(yōu)度檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量（P92）,表 動(dòng)物性別實(shí)際觀察次數(shù)與理論次數(shù),從上表可以看到 ，實(shí)際觀察次數(shù)與理論次數(shù)存在一定的差異

3、。 這個(gè)差異是屬于抽樣誤差、還是其性別比例發(fā)生了實(shí)質(zhì)性的變化? 要回答這個(gè)問題：①首先需要確定一個(gè)統(tǒng)計(jì)量用以表示實(shí)際觀察次數(shù)與理論次數(shù)偏離的程度；②然后判斷這一偏離程度是否屬于抽樣誤差，即進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。,為了度量實(shí)際觀察次數(shù)與理論次數(shù)偏離程度：A：最簡單的辦法是求出實(shí)際觀察次數(shù)與理論次數(shù)的差數(shù)。如上表：O1-T1 =-10，O2-T2=10，由于這兩個(gè)差數(shù)之和為0，顯然此方法不可行；B：計(jì)算∑(O-T)2，其值越大

4、，實(shí)際觀察次數(shù)與理論次數(shù)相差亦越大，反之則越小。但尚有不足。例如某一 組 實(shí) 際 觀 察 次 數(shù)為505、理論次數(shù)為500，相差5；而另一組實(shí)際觀察次數(shù)為26、 理論次數(shù)為21，相差亦為5。,為了彌補(bǔ)B這一不足，將各差數(shù)平方除以相應(yīng)的理論次數(shù)后再相加，并記之為?2 ，即,也就是說?2是度量實(shí)際觀察次數(shù)與理論次數(shù)偏離程度的一個(gè)統(tǒng)計(jì)量， ?2越小，表明實(shí)際觀察次數(shù)與理論次數(shù)越接近； ?2 =0，表示兩者完全吻合； ?2越大，表示兩者相差越大

5、。,二、?2分布 上面引入了統(tǒng)計(jì)量?2， 它近似地服從統(tǒng)計(jì)學(xué)中一種連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布???2分布。下面對(duì)統(tǒng)計(jì)學(xué)中的?2分布作一簡略介紹。 設(shè)有一平均數(shù)為μ、方差為 的正態(tài)總體?，F(xiàn)從此總體中獨(dú)立隨機(jī)抽取n個(gè)隨機(jī)變量：x1、x2、…、xn，并求出其標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)離差：,,,,,記這n個(gè)相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)離差的平方和為?2 ：

6、 它服從自由度為n的?2分布，記為 ～ ?2 (n)；,,,,若用樣本平均數(shù) 代替總體平均數(shù)μ，則隨機(jī)變量 服從自由度為n-1的?2分布，記為 ～,,,,顯 然 ，?2≥0

7、， 即 ?2 的 取 值 范 圍 是[0,+∞?；?2分布密度曲線是隨自由度不同而改變的一組曲線。隨自由度的增大， 曲線由偏斜漸趨于對(duì)稱；df≥30時(shí)， 接近正態(tài)分布。下面給出了幾個(gè)不同自由度的?2概率分布密度曲線。,,,的連續(xù)性矯正 由公式計(jì)算的?2只是近似地服從連續(xù)型隨機(jī)變量?2分布。在對(duì)次數(shù)資料進(jìn)行?2檢驗(yàn)利用連續(xù)型隨機(jī)變量?2分布計(jì)算概率時(shí)，常常偏低，特別是當(dāng)自由度為1時(shí)偏差較大。 Yates(1934

8、)提出了一個(gè)矯正公式，矯正后的?2值記為 ： = (7-2),,,當(dāng)自由度大于1時(shí)，原公式的?2分布與連續(xù)型隨機(jī)變量?2分布相近似，這時(shí)，可不作連續(xù)性矯正，但要求各組內(nèi)的理論次數(shù)不小于5。若某組的理論次數(shù)小于5，則應(yīng)把它與其相鄰的一組或幾組合并，直到理論次數(shù)大 于5 為止。,統(tǒng)計(jì)量： 使用條件：各理論

9、值均大于5。 若自由度為1，則應(yīng)作連續(xù)性矯正：,,,,方法為：把x的值域分為r個(gè)不相重合的區(qū)間，再計(jì)算在指定的分布下，x落入每一區(qū)間的概率pi 統(tǒng)計(jì)樣本含量為n的抽樣中，觀察值落入各區(qū)間的次數(shù)Oi用統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行檢驗(yàn)，步驟如下：,§7.2、擬合優(yōu)度檢驗(yàn),7.2.1 一般程序（P93）,＊檢驗(yàn)步驟如下：（一）提出無效假設(shè)與備擇假設(shè)（二）選擇計(jì)算公式（三）計(jì)算理論次數(shù)（四）計(jì)算?2值 (五) 查臨界?2值，作出

10、統(tǒng)計(jì)推斷,說明： （一） H0：實(shí)際觀察的屬性類別分配符合已知屬性類別分配的理論或?qū)W說；HA：實(shí)際觀察的屬性類別分配不符合已知屬性類別分配的理論或?qū)W說。（二）選擇計(jì)算出?2還是?2c。（三）在無效假設(shè)成立的條件下，按已知屬性類別分配的理論或?qū)W說計(jì)算 各屬性類別的理論次數(shù)。,（四）計(jì)算出?2或?2c。（五）根據(jù)自由度k-1（若屬性類別分類數(shù)為 k ，則適合性檢驗(yàn)的自由度為 k-1）查?2值表(附表)所得的臨界?2值：?20.05、

11、?20.01，將所計(jì)算得的?2或?2c值與其比較，作出統(tǒng)計(jì)推斷： 若?2 (或?2c)＜?20.05，P＞0.05，表明實(shí)際觀察次數(shù)與理論次數(shù)差異不顯著，可以認(rèn)為實(shí)際觀察的屬性類別分配符合已知屬性類別分配的理論或?qū)W說； 若?20.05≤?2 (或?2c)＜?20.01， 若?2 ( 或?2c)≥?20.01，,下面結(jié)合實(shí)例說明適合性檢驗(yàn)方法。（總體參數(shù)已知 ）【例】 在研究牛的毛色和角

12、的有無兩對(duì)相對(duì)性狀分離現(xiàn)象時(shí) ，用黑色無角牛和紅色有角牛雜交 ，子二代出現(xiàn)黑色無角牛192頭，黑色有角牛78頭，紅色無角牛72頭，紅色有角牛18頭，共360頭。試 問這兩對(duì)性狀是否符合孟德爾遺傳規(guī)律中9∶3∶3∶1的遺傳比例？,7.2.2 對(duì)二項(xiàng)分布的檢驗(yàn)（P93）,檢驗(yàn)步驟： （一）提出無效假設(shè)與備擇假設(shè) H0：實(shí)際觀察次數(shù)之比符合9∶3∶3∶1的理論比例。 HA：實(shí)際觀察次數(shù)之比不符合9∶3∶3∶1的理論比

13、例。 （二）選擇計(jì)算公式 由于本例的屬性類別分類數(shù) k=4：自由 度df=k-1=4-1=3>1，故計(jì)算?2。 （三）計(jì)算理論次數(shù) 依據(jù)各理論比例9:3:3:1計(jì)算理論次數(shù)：,黑色無角牛的理論次數(shù)T1：360×9/16=202.5； 黑色有角牛的理論次數(shù)T2：360×3/16=67.5； 紅色無角牛的理論次數(shù)T3：360×3/16=67.5；

14、紅色有角牛的理論次數(shù)T4：360×1/16=22.5。 或 T4=360-202.5-67.5-67.5=22.5 （四）列表計(jì)算?2,表 ?2計(jì)算表,=0.5444+1.6333+1.6333+0.9 =4.711 （五）查臨界?2值，作出統(tǒng)計(jì)推斷 當(dāng)df=3時(shí)，?20.05(3)=7.81，因 ?20.05，不能否定H0 ，表

15、明實(shí)際觀察次數(shù)與理論次數(shù)差異不顯著， 可以認(rèn)為毛色與角的有無兩對(duì)性狀雜 交 二 代 的 分 離 現(xiàn) 象 符 合 孟 德 爾遺傳規(guī)律中9∶3∶3∶1的遺傳比例。,,例7.1；7.2（P93;94）,總體參數(shù)未知 例P95，表7-1不同之處：要由樣本估計(jì)出總體參數(shù)。,7.2.3 對(duì)正態(tài)分布的檢驗(yàn)（P96）,7.2.4 其他類型問題的檢驗(yàn)（P97）,一、獨(dú)立性檢驗(yàn)的意義 對(duì)次數(shù)資料，除進(jìn)行擬合優(yōu)度檢驗(yàn)外，有時(shí)需

16、要分析兩類因子是相互獨(dú)立還是彼此相關(guān)。如研究兩類藥物對(duì)實(shí)驗(yàn)動(dòng)物某種疾病治療效果的好壞，先將動(dòng)物分為兩組，一組用第一種藥物治療，另一組用第二種藥物治療，然后統(tǒng)計(jì)每種藥物的治愈頭數(shù)和未治愈頭數(shù)。,§7.3、獨(dú)立性檢驗(yàn),7.3.1 列聯(lián)表?2 檢驗(yàn)（P97）,這時(shí)需要分析藥物種類與療效是否相關(guān)，若兩者彼此相關(guān)，表明療效因藥物不同而異，即兩種藥物療效不相同；若兩者相互獨(dú)立，表明兩種藥物療效相同。這種根據(jù)次數(shù)資料判斷兩類因子彼此相關(guān)或相

17、互獨(dú)立的假設(shè)檢驗(yàn)就是獨(dú)立性檢驗(yàn)。＊獨(dú)立性檢驗(yàn)實(shí)際上是基于次數(shù)資料對(duì)因子間相關(guān)性的研究。,獨(dú)立性檢驗(yàn)與擬合優(yōu)度檢驗(yàn)是兩種不同的檢驗(yàn)方法，除了研究目的不同外，還有以下區(qū)別： （一） 獨(dú)立性檢驗(yàn)的次數(shù)資料是按兩因子屬性類別進(jìn)行歸組。根據(jù)兩因子屬性類別數(shù)的不同而構(gòu)成2×2、2×c、r×c列聯(lián)表（r 為行因子的屬性類別數(shù)， c 為 列 因子的屬性類別數(shù)）。而適合性檢驗(yàn)只按某一因子的屬性類別將如性別、表現(xiàn)型等

18、次數(shù)資料歸組。,（二）擬合優(yōu)度檢驗(yàn)按已知的屬性分類理論或?qū)W說，計(jì)算理論次數(shù)。獨(dú)立性檢驗(yàn)在計(jì)算理論次數(shù)時(shí)沒有現(xiàn)成的理論或?qū)W說可資利用，理論次數(shù)是在兩因子相互獨(dú)立的假設(shè)下進(jìn)行計(jì)算。 （三）在擬合優(yōu)度檢驗(yàn)中確定自由度時(shí)，只有一個(gè)約束條件：各理論次數(shù)之和等于各實(shí)際次數(shù)之和，自由度為屬性類別數(shù)減1。而在r×c列聯(lián)表的獨(dú)立性檢驗(yàn)中，共有rc個(gè)理論次數(shù)，但受到以下條件的約束：,1、rc個(gè)理論次數(shù)的總和等于rc個(gè)實(shí)際次數(shù)的總和；

19、 2、r個(gè)橫行中的每一個(gè)橫行理論次數(shù)總和等于該行實(shí)際次數(shù)的總和 。 獨(dú)立的行約束條件只有r-1個(gè)； 3、類似地，獨(dú)立的列約束條件有c-1個(gè)。 因而在進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)時(shí)，自由度為rc-1-(r-1)-(c-1)=(r-1)(c-1)，即等于（橫行屬性類別數(shù)-1）×（直列屬性類別數(shù)-1）。,二、獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法 （一）2×2列聯(lián)表的獨(dú)立性檢驗(yàn) 2×2列聯(lián)表

20、的一般形式如下表所示，其自由度 df=( c -1) (r-1)=(2-1) (2-1)=1，在進(jìn)行?2檢驗(yàn)時(shí)，需作連續(xù)性矯正，應(yīng)計(jì)算 值。,,表 2×2列聯(lián)表的一般形式,其中Aij為實(shí)際觀察次數(shù)，Tij為理論次數(shù)。,其理論數(shù)的計(jì)算為：,例 7.3 下表是不同給藥方式與給藥效果表 給藥方式與給藥效果的2×2列聯(lián)表,上表稱為2×2列聯(lián)表(2×2 contingency table)。

21、　2×2列聯(lián)表的 c2 檢驗(yàn)一般需經(jīng)以下各步：,（1）提出零假設(shè)：認(rèn)為有效或無效與給藥方式并無關(guān)聯(lián)。實(shí)際觀察的結(jié)果與在兩者之間并無關(guān)聯(lián)的前提下，從理論上推導(dǎo)出的理論數(shù)之間無差異。即H0：O－T＝0?！　。?）根據(jù)概率乘法法則，若事件A和事件B是相互獨(dú)立的，或者說它們之間并無關(guān)聯(lián)，這時(shí)事件A和事件B同時(shí)出現(xiàn)的概率等于它們分別出現(xiàn)的概率乘積。,反過來，若事件A和事件B同時(shí)出現(xiàn)的概率等于它們分別出現(xiàn)的概率的乘積，那么事件A 和事

22、件B是獨(dú)立的兩者無關(guān)聯(lián)。若事件A和事件B 同時(shí)出現(xiàn)的概率不等于它們分布出現(xiàn)的概率的乘積，則這兩個(gè)事件間是有關(guān)聯(lián)的。,例 7.3 的零假設(shè)是給藥方式與給藥效果之間無關(guān)聯(lián)，則口服與有效同時(shí)出現(xiàn)的理論頻率應(yīng)為口服的頻率與有效的頻率的乘積，P(BA)＝P(B)P(A)＝(98／193)(122／193)。其理論數(shù)T1應(yīng)當(dāng)用理論頻率乘以總數(shù)得出，T1＝(98／193)(122／193)(193)＝(98)(122)／193＝61.15。同樣可以計(jì)

23、算出另外三種情況的理論數(shù)。 （3）如吻合度檢驗(yàn)?zāi)菢佑?jì)算c2值。若c2＜c2α，則觀察數(shù)與理論數(shù)是一致的， 給藥方式與給藥效果間無關(guān)聯(lián)的假設(shè)可以成立。若c2＞c2α，則觀察數(shù)與理論數(shù)不一致，說明給藥方式與給藥效果間是有關(guān)聯(lián)的，不同的給藥方式產(chǎn)生不同的效果。,,（4）確定自由度，2×2列聯(lián)表的自由度不再是4－1＝3，而是(r－1)(c－1)或者寫為(行－1)(列－1)。因?yàn)槊恳恍械母骼碚摂?shù)受該行總數(shù)的約束， 每一列

24、的各理論數(shù)受該列總數(shù)的約束，所以總的自由度只有(r－1)(c－1)。　　下面計(jì)算例 1.11的c2并做推斷。首先計(jì)算各格的理論數(shù)，從下表中可以看出， 任何一格的理論數(shù)等于這格所在的行總數(shù)乘以這格所在的列總數(shù)，再除以總數(shù)。在實(shí)際計(jì)算時(shí)，算出T1以后，可以用列總數(shù)減去T1得T3，用行總數(shù)減去T1得T2，列總數(shù)減去T2得T4。,結(jié)論是用口服方式與注射方式給藥的效果沒有顯著不同。因?yàn)橐呀?jīng)接受H0,不必再矯正。,【例】 某研究用80頭實(shí)驗(yàn)動(dòng)物檢

25、驗(yàn)?zāi)撤N疫苗是否有預(yù)防效果。結(jié)果是注射疫苗的44頭中有 12 頭發(fā)病，32頭未發(fā)?。晃醋⑸涞?6頭中有22頭發(fā)病，14頭未發(fā)病，問該疫苗是否有預(yù)防效果？ 1、 先將資料整理成列聯(lián)表（ 2×2列聯(lián)表 ）,2、 提出無效假設(shè)與備擇假設(shè) H0：發(fā)病與否和注射疫苗無關(guān)，即二因子相互獨(dú)立。 HA：發(fā)病與否和注射疫苗有關(guān)，即二因子彼此相關(guān)。 3、 計(jì)算理論次數(shù) 根據(jù)二因

26、子相互獨(dú)立的假設(shè)，由樣本數(shù)據(jù)計(jì)算出各個(gè)理論次數(shù)。二因子相互獨(dú)立，就是說注射疫苗與否不影響發(fā)病率。也就是說注射組與未注射組的理論發(fā)病率應(yīng)當(dāng)相同，均應(yīng)等于總發(fā)病率34/80=0.425=42.5%。依 此計(jì)算出各個(gè)理論次數(shù)如下：,注射組的理論發(fā)病數(shù)： T11=44×34/80=18.7 注射組的理論未發(fā)病數(shù)： T12=44×

27、46/80=25.3， 或 T12=44-18.7=25.3；,未注射組的理論發(fā)病數(shù)： T21=36×34/80=15.3， 或 T21=34-18.7=15.3； 未注射組的理論未發(fā)病數(shù)： T22=36×46/80=20.7， 或 T22=36-15

28、.3=20.7。,從上述各理論次數(shù)Tij的計(jì)算可以看到，理論次數(shù)的計(jì)算利用了行、列總和， 總總和，4個(gè)理論次數(shù)僅有一個(gè)是獨(dú)立的。（括號(hào)內(nèi)的數(shù)據(jù)為相應(yīng)的理論次數(shù)）。 4、 計(jì)算 值 將表7-11中的實(shí)際次數(shù)、理論次數(shù)代入公式得：,,,,5、 由自由度df=1查臨界?2值，作出統(tǒng)計(jì)推斷 因?yàn)??20.01（1） = 6 . 6 3 ， 而 =7.944>

29、?20.01（1），P<0.01，否定H0，接受HA，表明發(fā)病率與是否注射疫苗極顯著相關(guān)，這里表現(xiàn)為注射組發(fā)病率極顯著低于未注射組，說明該疫苗是有預(yù)防效果的。,（二）2×c列聯(lián)表的獨(dú)立性檢驗(yàn) 2×c列聯(lián)表是行因子的屬性類別數(shù)為2，列因子的屬性類別數(shù)為c（c?3）的列聯(lián)表。其自由度d f = (2-1) (c -1) = (c-1)，因?yàn)閏?3，所以自由度大于2，在進(jìn)行?2檢驗(yàn)時(shí)，不需作連續(xù)性矯正。

30、2×c表的一般形式見表：,例見P99例7.4,此外，在畜牧、水產(chǎn)科學(xué)研究中，有時(shí)需將數(shù)量性狀資料以等級(jí)分類，如剪毛量分為特等、 一等、二等，產(chǎn)奶量分為高產(chǎn)與低產(chǎn)等，這些由數(shù)量性狀資料轉(zhuǎn)化為質(zhì)量性狀的次數(shù)資料檢驗(yàn)，也可用?2檢驗(yàn)。,A、B兩個(gè)品種產(chǎn)仔數(shù)的分類統(tǒng)計(jì),（三）r×c列聯(lián)表的獨(dú)立性檢驗(yàn) r×c表是指行因子的屬性類別數(shù)為r（r>2），列因子的屬性類別數(shù)為c( c>2)的列聯(lián)

31、表。其一般形式見表7-17。,其中Aij（i=1,2,…r;j=1,2,…c）為實(shí)際觀察次數(shù)。 r×c 列 聯(lián) 表各個(gè)理論次數(shù)的計(jì)算方法與上述（2×2）、（2×c）表適合性檢驗(yàn)類似。 【例】 對(duì)三組實(shí)驗(yàn)動(dòng)物（每組39頭）分別喂給不同的飼料，各組發(fā)病次數(shù)統(tǒng)計(jì)如下表，問發(fā)病次數(shù)的構(gòu)成比與所喂飼料是否有關(guān)？,,表 三組動(dòng)物的發(fā)病次數(shù)資料,檢驗(yàn)步驟如下： 1、提出無效假設(shè)與

32、備擇假設(shè) H0：發(fā)病次數(shù)的構(gòu)成比與飼料種類無關(guān)，即二者相互獨(dú)立。 HA：發(fā)病次數(shù)的構(gòu)成比與飼料種類有關(guān)，即二者彼此獨(dú)立。 2、計(jì)算理論次數(shù) 對(duì)于理論次數(shù)小于5者，將相鄰幾個(gè)組加以合并（見表7—19），合并后的各組的理論次數(shù)均大于5。,表 資料合并結(jié)果（注：括號(hào)內(nèi)為理論次數(shù)）,3、計(jì)算?2值 利用公式計(jì)算?2值，得：,4、查臨界?2值，進(jìn)行統(tǒng)

33、計(jì)推斷 由自由度df=(4-1)(3-1)=6，查臨界?2值得： ?20..05（6）=12.59 因?yàn)橛?jì)算所得的?20.05，不能否定HO ， 可以認(rèn)為發(fā)病次數(shù)的構(gòu)成比與飼料種類相互獨(dú)立，即用三種不同的飼料飼喂動(dòng)物，各組動(dòng)物發(fā)病次數(shù)的構(gòu)成比相同。,,7.3.2 2×2列聯(lián)表的精確檢驗(yàn)（P99）,2×2列聯(lián)表的中的任何一格的理論數(shù)都不得小于5，當(dāng)小于

34、5時(shí)，需要用精確檢驗(yàn)。,,N≤40或T≤1,2×2列聯(lián)表概率的計(jì)算方法：設(shè)4個(gè)格的取值分別為：a,b,c,d。令N=a+b+c+d，事件E為保持各行，列總數(shù)不變，事件F為各格取值為a,b,c,d，則有：,,尾區(qū)建立方法：若a,b,c,d中任何一個(gè)為0，則可用上式算出的P值與α或α/2比較。 若各格取值均不為0，按離散分布建立尾區(qū)，進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)。＊離散分布尾區(qū)建立原則：從實(shí)際觀察值開始，把對(duì)H0成立不利的方向上的概率全加起

35、來，作為尾區(qū)的概率。,例7.5 例7.6 P100－101,例見表7-5 P101用不同實(shí)驗(yàn)方法得到結(jié)果，一般不可以累加，但可以將其概率進(jìn)行混合，以便累加得到各方面信息。 例見P102,§7.4、 ?2 的可加性,7.4.1 ?2的齊性檢驗(yàn)（P101）,7.4.2 概率的混合（P102）,題,圓粒豌豆與皺粒豌豆雜交，第二代的分離比例為：336粒圓粒對(duì)101粒皺粒， 問這種分離比例是否符合孟德爾的3:1分離率？,課后