第5章多自由度系統(tǒng)的數(shù)值方法

1、第5章多自由度系統(tǒng)的數(shù)值方法,有許多數(shù)值方法，可以得到系統(tǒng)特征值和特征向量的近似值，這對解決許多工程問題是十分有用的。,第1節(jié) Rayleigh法,已知n自由度無阻尼系統(tǒng)特征值問題的方程為l[M]{u}=[K]{u} (5.1-1)l=wn2設(shè)系統(tǒng)的特征值和正則化特征向量為lr, {m}r (r=1, 2, …, n) ，它們滿足方程(5.1-1)，即lr[M]{m}r=[K]{m}r

2、 r=1, 2, …, n (5.1-2),方程(5.1-2)兩邊各左乘以{m}rT，并除以純量{m}rT [M] {m}r，得(5.1-3)方程表明，分子與第r階固有模態(tài)的勢能有關(guān)，分母與第r階固有模態(tài)的動能有關(guān)。 如果有一任意的向量{v}，令(5.1-4),式中R(v)是一個純量，它不僅決定于矩陣[M]和[K]，而且還決定于向量{v}。矩陣[M]和[K]反映系統(tǒng)的特性，而向量{v}是任意的。因此，對于

3、給定的系統(tǒng) ，R(v)只決定于向量{v}。純量R(v)叫做Rayleigh 商。顯然，如果向量{v}與系統(tǒng)的特征向量{m}r 一致，則Rayleigh 商就是其對應(yīng)的lr。,系統(tǒng)特征向量{m}r (r=1, 2, …, n) ，形成 n維空間中一組線性獨立的完備基。因而同一空間中的任一向量{v} ，可用特征向量的線性組合來表示，即(5.1-5)式中cr是常數(shù)，{C}=[c1 c2 … cn]T。把式(5.1-5)代入式(5.1

4、-4)，并考慮到[m]T[M][m]=[I]，[m]T[K][m]=[L],有,(5.1-6),(5.1-6)表明，R(v)是系統(tǒng)特征值lr，即系統(tǒng)固有頻率平方wn2(r=1, 2, …, n)的加權(quán)平均值。如果任意向量{v}與系統(tǒng)的第r階特征向量{m}r很接近，意味著系數(shù)ci 與 cr( i?r) 相比較是很小的，則有ci=eicr r=1, 2, …, n (5.1-7),式中ei??1。方程

5、 (5.1-6)的分子和分母分別除以cr2 ，得,(5.1-8),(5.1-9),式中,(5.1-8)右邊級數(shù)是一個二階小量。當(dāng)向量{v}與{m}r的誤差為一階時，Rayleigh商與特征值lr的誤差為二階。這表明，Rayleigh 商在特征向量的鄰域中有穩(wěn)定的值。通常，Rayleigh法用于計算系統(tǒng)的基頻或第一階固有頻率，即r=1。由方程(5.1-8)得(5.1-10),由于 li >l1 (i=1, 2, …, n),

6、 因而R(v)?l1只有當(dāng)所有ei=0時，R(v)= l1。因此，Rayleigh商大于系統(tǒng)的基頻或第一階固有頻率的真實值。只要構(gòu)造的向量{v}接近于要求的第r階固有模態(tài)的特征向量{m}r，就可以得到特征值lr的比較精確的近似值。,n自由度無阻尼系統(tǒng)的特征值問題，(5.1－1)可改寫為(5.5－1)或(5.5－2)式中[D]為系統(tǒng)的柔度矩陣。解方程(5.5-2)可得系統(tǒng)的特征值。,第2節(jié) Dunkerley法,為

7、了說明Dunkerley法，研究一個兩自由度系統(tǒng)，其特征值問題可表示為,(5.2-3),或,因而系統(tǒng)的特征方程為,(5.2-4),或,如果系統(tǒng)的固有頻率為wn1和wn2，則系統(tǒng)的特征方程可表示為(5.2-5)對照(5.2-5)和(5.2-4)，得,令diimii=1/wii2，wii為只保留質(zhì)量mii和彈簧dii而不計其余質(zhì)量和彈簧所組成的假想系統(tǒng)的固有頻率。對于前2自由度系統(tǒng)，有可以證明，對于n自由度系統(tǒng)，有(5.2-

8、6),wn1是系統(tǒng)的基頻，則1/wn12是(5.2-6)右邊最大項，則(5.2-6)可近似表示為(5.2-7)這就是Dunkerley公式，可用來確定系統(tǒng)基頻的近似值。,可看出(5.2-7)確定的1/wn12大于它的真實值，故Dunkerley法給出的wn1比真實值大。為改進(jìn)它，可用下式(5.2-8),例 質(zhì)量為m1，長為l的均質(zhì)懸臂梁，其端部有集中質(zhì)量m(圖5.2-1)。試確定系統(tǒng)第一階固有頻率。假設(shè)的彎曲剛度為EI,解 對

9、于端部帶有集中質(zhì)量m，而略去梁本身質(zhì)量的懸臂梁，其固有頻率為均質(zhì)懸臂梁的第一階固有頻率為,因此，整個系統(tǒng)的第一階固有頻率近似值為,如m1=m，則,第3節(jié) 矩陣迭代法,n自由度無阻尼系統(tǒng)特征值問題的方程(5.1-1)還可表示為l{u}=[H]{u} (5.3-1)或(5.3-2)式中[H]=[M]-1[K]，[G]=[K]-1[M]=[D][M]稱為動力矩陣。,為求得系統(tǒng)特征值和特征向量可利用

10、(5.3-2)通過迭代得到。迭代過程如下：假定一個向量{v}1，它不是系統(tǒng)的特征向量{u}，{v}1右乘以矩陣[G]，其結(jié)果不會滿足(5.3-2)，而是進(jìn)行了變換，得到向量{v}2，一般它不同于{v}1。,由(5.1-5)，{v}1可表示為(5.3-3)向量{v}1右乘以矩陣[G]可得(5.3-4)式中l(wèi)1=wn12是系統(tǒng)第一階特征值,定義l1<l2<…<lr，因而有l(wèi)1/lr<1(r=2,

11、3, …, n)，且隨著r增加而減少。與{v}1相比較，高階固有模態(tài)在{v}2中的作用在減少。如果{v}1是為得到系統(tǒng)特征向量{u}1而構(gòu)造的試探向量，則{v}2可被認(rèn)為是{v}1的一個改進(jìn)。為了改進(jìn){v}2，令(5.3-5),顯然 {v}3是比{v}2更好的試探向量。重復(fù)這個過程，有(5.3-5),如果迭代次數(shù)s有足夠的大，由于(5.3-7)(5.3-7)表明，當(dāng)?shù)螖?shù)s足夠大時，級數(shù)(5.3-6)的第一項是

12、決定性的，級數(shù)將收斂于c1{u}1。{v}s和{v}s-1都可以認(rèn)為是{u}1，滿足(5.3-2)。 {v}s和{v}s-1互相成比例，比例常數(shù)為1/l1。,如何得到高階模態(tài)的特征值和特征向量？由變換{q}=[u]{p}，或{p}=[u]-1{q}，可以得到主坐標(biāo){p}于物理廣義坐標(biāo){q}的關(guān)系，即(5.3-8)式中nij為矩陣[u]-1的元素。,如果能從系統(tǒng)特征值問題方程(5.3-2)式中消去第一階固有模態(tài)的影響，那么，通過

13、迭代得到的將是第二階固有模態(tài)的特征值和特征向量。消去第一階固有模態(tài)的影響就是使第一階主坐標(biāo)p1=0。由方程(5.3-8)得p1=n11q1+n12q2+…+n1nqn (5.3-9),以一個三自由度系統(tǒng)為例來討論。方程(5.3-9)可表示為p1=n11q1+n12q2+n13q3 =0 q2=q2, q3=q3寫成矩陣的形式為,可變換為,即 {q}=[n]1{q}

14、 (5.3-10),式中,(5.3-10),記 [G]1=[G][n]1 (5.3-11),由于矩陣[G]已被矩陣[n]1修改， [G]1中第一階固有模態(tài)已被消除。把[G]1代入方程(5.3-2)，進(jìn)行迭代，就可以得到第二階固有模態(tài)的特征值和特征向量。然而，方程(5.3-9)中的nij不可能直接由矩陣[u]來確定。因為除[u]1以外，振型矩陣[u]中的其它列向量此時仍

15、是未知的。,為了得到n1j (j=1, 2, …, n)，利用特征向量的正交性關(guān)系[u]T[M][u]=diag[Mrr]可得 (diag[Mrr])-1[u]T[M][u]=[I],上方程右乘以[u]-1，得(diag[Mrr])-1[u]T[M]=[u]-1 (5.3-13)由于矩陣diag[Mrr]為對角陣，方程(5.3-13)的第一行為[n11 n12 … n1n]=c{u}1T[M](5.3-

16、14)這里c為常數(shù)。因此，矩陣[n]可以建立。,為了得到第三階和更高階固有模態(tài)的特征值和特征向量，可用類似的方法，依次建立起相應(yīng)的矩陣[n]2, [n]3，…得到修改后的[G]2, [G]3，…依次代入方程(5.3-2)進(jìn)行迭代。,例 有一三自由度系統(tǒng)，運動方程為,確定其固有頻率和特征向量,解 系統(tǒng)的動力矩陣為計算方便，暫去掉矩陣前系數(shù)m/12k。令,先假定一任意向量{v}1=[1 1 1]T，開始迭代，由(5.3

17、-4)，得,按照規(guī)則。乘以l1，即乘以1/9，實際上就是除去常數(shù)9，繼續(xù)進(jìn)行迭代，得,去掉常數(shù)11，第四次和第五次迭代結(jié)果為取{u}1=[1 2 1]T和1/l1=12，考慮到矩陣[G]前的系數(shù)m/12k，則系統(tǒng)第一階特征值為,為得到第二階固有模態(tài)，應(yīng)消掉第一階固有模態(tài)。為此，由(5.3-14)的去掉公因子m，建立起矩陣[n]1為,由(5.3-12)，得,用[G]1可確定第二階固有模態(tài)假定{v}1=[1 1 1

18、]T，利用[G]1進(jìn)行迭代。迭代14次后，得 {u}2=[-1 0 1]T和,為得到第三階固有模態(tài)，要消去第一階和第二階固有模態(tài)，因此要p1=0，p2=0。由(5.3-14)得[n11 n12 n13]和[n21 n22 n23]，可得到矩陣[n]2為：,從而得,假定{v}1=[1 1 1]T，利用[G]2進(jìn)行迭代。迭代2次后，得 和,最后得到 和,注意到(

19、5.3－11)要矩陣求逆，在高維問題中矩陣求逆計算量很大，是不合適的，因而需要找另外的算法。設(shè)任意初始試向量為{v}1，應(yīng)有因為,所以可見在{v}2包括的第1階主振形的部分為,如假設(shè)的試向量為并用{v}1*來作初始試向量則迭代此時將收斂于l2和{u}2,由主振形對質(zhì)量的正交性可得,則,說明以 算得的{v}1*為初始試向量進(jìn)行迭代將收斂于第2階主振形和固有頻率。 上式中的{v}1仍是任

20、意的，但,稱為濾頻動力矩陣，以后進(jìn)行的迭代就始終用它，以保證將第1階的振形成分濾干凈，即迭代公式為,在迭代收斂得到l2和 {u}2后，如需求第3階模態(tài)參數(shù)，就可以推出 來進(jìn)行迭代。 其余高階模態(tài)都可以類似處理。,注意到這里不用矩陣求逆。 這是矩陣特征值求解的矩陣迭代法的常用算法之一。,第4節(jié) 傳遞矩陣法,在傳遞矩陣法中，系統(tǒng)被假定為由許多質(zhì)量和無質(zhì)量的彈簧所組成，一般是鏈狀連接的。如下圖5.4-1所示為系統(tǒng)的

21、一部分。,質(zhì)量mn和彈簧kn組成一個分段(圖5.4-2) 。把質(zhì)量mn分離出來，其位移為xn，所受力為Fn。上標(biāo)L和R分別表示質(zhì)量左邊或右邊的位移或作用力。設(shè)質(zhì)量mn為剛體質(zhì)點，所以,xnR ＝xnL ＝xn (5.4-1)其運動方程為mnxn=FnR －FnL (5.4-2)假定質(zhì)量mn作頻率為w的諧波振動，其加速度為xn=－w2xn (5

22、.4-3),..,..,由方程(5.4-1)和(5.4-3)，方程(5.4-2)可改寫為FnR=FnL－w2mnxnL (5.4-4)將(5.4-1)和(5.4-4)組合起來寫成矩陣形式(5.4-5),向量[x F]T叫做狀態(tài)向量；矩陣 叫做點傳遞矩陣。點傳遞矩陣把質(zhì)點兩邊狀態(tài)向量聯(lián)系起來。,把彈簧kn分離出來(圖5.4-3)，由于假定彈簧為無質(zhì)量的彈簧，其兩邊的力應(yīng)相等，即(5.4-6)且所

23、以,(5.4-7),由方程(5.4-6)和(5.4-7)得(5.4-8)矩陣叫做場傳遞矩陣。場傳遞矩陣把彈簧兩邊的狀態(tài)向量聯(lián)系起來。,把方程(5.4-8)代入方程(5.4-5)，得(5.4-9)(5.4-10),方程(5.4-10)把位置和的右邊的狀態(tài)向量直接聯(lián)系起來。寫成簡明的形式，有(5.4-11)式中(5.4-12),矩陣叫做分段的傳遞矩陣，它把一個位置的狀態(tài)向量變換為另一個位置的狀態(tài)向量。一個

24、復(fù)雜的或連續(xù)的系統(tǒng)，可以被劃分成有限個單元或分段，可以利用傳遞矩陣法求得系統(tǒng)的各階固有頻率和特征向量，通過遞推，可以得到系統(tǒng)某一位置的狀態(tài)向量與邊界處狀態(tài)向量的關(guān)系。,例 確定圖5.4-4單自由度系統(tǒng)的固有頻率,解 在位置0處的狀態(tài)向量，由于邊界為固定端，有由方程(5.4-10)得位置1處的狀態(tài)向量,位置1處是自由端，故 F1R=0從上式得1－w2/k=0或,例2 確定圖5.4-5系統(tǒng)的固有頻率和特征向量。假定m

25、=1，k=1,位置0x0,F0,解 位置0到位置1分段的傳遞矩陣為位置0到位置1狀態(tài)向量的表達(dá)式為,通過迭代來確定wn1和{u}1。根據(jù)位置0處的邊界條件進(jìn)行迭代，其狀態(tài)向量可表示為假定w2=0，則傳遞矩陣為,因而得位置1的狀態(tài)向量為位置1到位置2的傳遞矩陣[H]2和[H]1相同。由,得如對x2歸一，則F2=1/2。但位置2是自由端，有F2R=0，因而w=0不是wn1的精確值。進(jìn)行第二次試探，令w2=0.5，此時

26、傳遞矩陣為,通過計算可得F2R=－1/6，w2=0.5也不是wn2的精確值。以上結(jié)果表明wn2在0到0.5之間。假定w2=1/3，則傳遞矩陣為,從而有F2R=0.066。由圖5.4-6可見，對于F2R=0有w2=0.382，這時,從而得,由F2R=0表明，w2=0.382是系統(tǒng)固有頻率wn12的值，而對應(yīng)特征向量為{u}1=[x1 x2]T=[1 1.618]T對于第二階固有模態(tài)，也應(yīng)滿足邊界條件，通過迭代可以確定wn2

27、和{u}2。設(shè)幾次迭代后，把w2=2.618代入傳遞矩陣，得,由開始計算，有,因為F2R=0，表明wn22=2.618。而{u}2=[x1 x2]T=[1 －0.618]T對于扭轉(zhuǎn)系統(tǒng)如圖5.4-7，質(zhì)量Jn和彈簧kn組成分段。,把質(zhì)量Jn和彈簧kn分別從系統(tǒng)中分離如圖5.4-8所示,圖5.4-8,由圖可分別得到(5.4-13)和(5.4-14),式中(5.4-15)為點傳遞矩陣；而(5.4-1

28、6)是場傳遞矩陣。,因而把一個位置的狀態(tài)向量變換到另一個位置的狀態(tài)向量的分段傳遞矩陣為(5.4-17),如果是有阻尼系統(tǒng)，則由質(zhì)量Jn，彈簧kn和阻尼cn組成一個分段。用類似的分析，考慮到阻尼力矩的作用，可以得到其點傳遞矩陣和場傳遞矩陣分別為(5.4-18)(5.4-19),對于有阻尼直線振動系統(tǒng)，也可得到對應(yīng)的點傳遞矩陣和場傳遞矩陣。,第5節(jié) 梁,作近似分析，連續(xù)梁可以用集中質(zhì)量和無質(zhì)量的梁段組成的系統(tǒng)來表示(圖5

29、.5-1)。,圖5.5-1,梁的典型分段，如下圖5.5-2(a)所示，包含了一個點質(zhì)量mn和一段無質(zhì)量的粱ln。從粱自由體圖(圖5.5-2(b))，可以得到(5.5-1),圖5.5-2,M 和V為彎矩和剪力。彎矩和剪力所引起的轉(zhuǎn)角q和位移y為(5.5-2)(5.5-3),把(5.5-1)代入(5.5-2)和(5.5-3)得,（5.5-4）,（5.5-5）,把(5.5-1)，(5.5-4)和(5.5-5)寫成矩陣形式,（

30、5.5-6）,方程(5.5-6)的矩陣就是場傳遞矩陣。由質(zhì)量mn的自由體圖(圖5.5-2(c))，認(rèn)為mn僅作剛體運動，得(5.5-7)(5.5-8)(5.5-9),式中Jn是質(zhì)量mn繞法向于xy平面軸線的轉(zhuǎn)動慣量。由(5.5-7)，(5.5-8)和(5.5-9)得(5.5-10),式中矩陣就是傳遞矩陣。由(5.5-6)和(5.5-10) 得(5.5-11),式(5.5-11) 矩陣就是分段的傳遞矩陣。關(guān)

31、于粱，通常的邊界條件有,利用方程(5.5-11)，可以從系統(tǒng)左邊的邊界——位置0算起，計算到右邊的邊界——位置n，可以得到(5.5-11),一般說來，兩端的邊界條件總是已知的，因此，滿足這些邊界條件的頻率就是系統(tǒng)的固有頻率。,例1 一根左端固定的懸臂梁，用個集中質(zhì)量描述，導(dǎo)出系統(tǒng)的特征方程。解 在位置0處是固定端，有y0=0，q0=0。從(5.5-12)，得到式中M0，V0 是未知的。根據(jù)位置的邊界條件，自由端

32、有Mn=0，Vn=0，得齊次方程,要M0和V0有非零解，必須有這就是系統(tǒng)的特征方程?？捎媒馕龇ㄗ鲌D求出各階固有頻率。作圖法是利用△(w2)隨w2變化的曲線，曲線與w2軸的交點就確定了系統(tǒng)固有頻率。,例2 計算圖5.5-3所示系統(tǒng)的固有頻率和特征向量,圖5.5-3,解 對于所示的系統(tǒng)，可以寫出它的傳遞矩陣方程 {z}2R=[P]2[F]2[P]1[F]1[P]0{z}0L=[H]2[H]1[P]0{z}0L系統(tǒng)的邊界

33、條件是,略去質(zhì)量m和M的轉(zhuǎn)動慣量的影響，則有,,進(jìn)行計算后，由邊界條件得：,,其中 ：,y0L和q0L要有非零解，則方程的系數(shù)行列式要等于零。由此可得系統(tǒng)的特征方程式為：系統(tǒng)有二個等于零的固有頻率，產(chǎn)生剛體運動－移動和轉(zhuǎn)動。還有一個固有頻率為式中n=M/m,為了確定系統(tǒng)的特征向量，把系統(tǒng)方程寫成如下形式(5.5-12),可以得到解兩方程得因而等于1是因為系統(tǒng)的對稱性。,為計算y2/y1，利用方程即,位置2