2023年全國碩士研究生考試考研英語一試題真題(含答案詳解+作文范文)_第1頁
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文檔簡介

1、第3章 離散傅里葉變換(DFT) 及其快速算法(FFT),,3.1 學習要點與重要公式3.2 頻率域采樣3.3 循環(huán)卷積和線性卷積的快速計算以及信號的頻譜分析3.4 例題3.5 教材第3章習題與上機題解答3.6 教材第4章習題與上機題解答,3.1 學習要點與重要公式3.1.1 學習要點   (1) DFT的定義和物理意義, DFT和FT、 ZT之間的關系;   (2) DFT

2、的重要性質和定理: 隱含周期性、 循環(huán)移位性質、 共軛對稱性、 實序列DFT的特點、 循環(huán)卷積定理、 離散巴塞伐爾定理;   (3) 頻率域采樣定理;   (4) FFT的基本原理及其應用。,3.1.2 重要公式  1) 定義,,k=0, 1, …, N-1,,k=0, 1, …, N-1,2) 隱含周期性,,3) 線性性質若,,則,,4) 時域循環(huán)移位性質,,,5) 頻域循環(huán)移位性質,,,6) 循環(huán)卷積定

3、理   循環(huán)卷積:,,,L x(n),,循環(huán)卷積的矩陣表示:,,循環(huán)卷積定理: 若       yc(n)=h(n) L x(n)則 Yc(k)=DFT[yc(n)]L=H(k)X(k) k=0, 1, 2, …, L-1其中 H(k)=DFT[h(n)]L, X(k)=DFT[x(n)]L  6) 離散巴塞伐爾定理,,,7) 共軛對稱性質  (1) 長度為N的共軛對稱

4、序列xep(n)與反共軛對稱序列xop(n):,,,序列x(n)的共軛對稱分量與共軛反對稱分量:,,,(2) 如果  x(n)=xr(n)+jxi(n)且        X(k)=Xep(k)+Xop(k)則    Xep(k)=DFT[xr(n)], Xop(k)=DFT[jxi(n)] (3) 如果x(n)=xep(n)+xop(n)且    X(k)=Xr(k)+jXi(k)則    Xr(k)=

5、DFT[xep(n)], jXi(k)=DFT[xop(n)] (4) 實序列DFT及FT的特點: 假設x(n)是實序列, X(k)=DFT[x(n)], 則     X(k)=X*(N-k)     |X(k)|=|X(N-k)|, θ(k)=-θ(N-k),,3.2 頻 率 域 采 樣  我們知道, 時域采樣和頻域采樣各有相應的采樣定理。 頻域采樣定理包含以下內容: ?。?) 設

6、x(n)是任意序列, X(ejω)=FT[x(n)],對X(ejω)等間隔采樣得到,,,k=0,1,2,3,…,N-1,則,,,(2) 如果x(n)的長度為M, 只有當頻域采樣點數N≥M時, xN(n)=x(n), 否則,,會發(fā)生時域混疊, xN(n)≠x(n)。,通過頻率域采樣得到頻域離散序列xN(k), 再對xN(k)進行IDFT得到的序列xN(n)應是原序列x(n)以采樣點數N為周期進行周期化后的主值區(qū)序列, 這一

7、概念非常重要。,(3) 如果在頻率域采樣的點數滿足頻率域采樣定理, 即采樣點數N大于等于序列的長度M, 則可以用頻率采樣得到的離散函數X(k)恢復原序列的Z變換X(z), 公式為,,式中,,上面第一式稱為z域內插公式, 第二式稱為內插函數。,,3.3 循環(huán)卷積和線性卷積的快速計算     以及信號的頻譜分析3.3.1 循環(huán)卷積的快速計算  如果兩個序列的長度均不很長, 可以直接采用循環(huán)卷積的矩陣乘法計算其

8、循環(huán)卷積; 如果序列較長, 可以采用快速算法。 快速算法的理論基礎是循環(huán)卷積定理。 設h(n)的長度為N, x(n)的長度為M, 計算yc(n)=h(n) L x(n)的快速算法如下:,,,(1) 計算,,,k=0,1,2,3,…,L-1,L=max[N, M],(2) 計算     Yc(k)=H(k)X(k) k=0, 1, 2, …, L-1 ?。?) 計算

9、     yc(n)=IDFT[Yc(k)]L n=0, 1, 2, …, L-1  說明: 如上計算過程中的DFT和IDFT均采用FFT算法時, 才稱為快速算法, 否則比直接在時域計算循環(huán)卷積的運算量大3倍以上。,3.3.2 線性卷積的快速計算——快速卷積法 序列h(n)和x(n)的長度分別為N和M, L=N+M-1, 求y(n)=h(n)*x(n)的方法如下:   (1)

10、在h(n)的尾部加L-N個零點, 在x(n)的尾部加L-M個零點; ?。?)計算L點的H(k)=FFT[h(n)]和L點的X(k)=FFT[x(n)];  (3) 計算Y(k)=H(k)X(k); ?。?) 計算Y(n)=IFFT[Y(k)], n=0,1,2,3,…,L-1?! 〉攈(n)和x(n)中任一個的長度很長或者無限長時, 需用書上介紹的重疊相加法和重疊保留法。,3.3.3 用DFT/FFT進行頻譜分

11、析  對序列進行N點的DFT/FFT就是對序列頻域的N點離散采樣, 采樣點的頻率為ωk=2πk/N, k=0, 1, 2, …, N-1。   對信號進行頻譜分析要關心三個問題: 頻譜分辨率、 頻譜分析范圍和分析誤差。   DFT的分辨率指的是頻域采樣間隔2π/N, 用DFT/FFT進行頻譜分析時, 在相鄰采點之間的頻譜是不知道的, 因此頻率分辨率是一個重要指標, 希望分辨率高, 即2π/N要小, DFT的變換

12、區(qū)間N要大。,,當然, 截取信號的長度要足夠長。 但如果截取的長度不夠長, 而依靠在所截取的序列尾部加零點, 增加變換區(qū)間長度, 也不會提高分辨率。 例如, 分析周期序列的頻譜, 只觀察了一個周期的1/4長度, 用這些數據進行DFT, 再通過尾部增加零點, 加大DFT的變換區(qū)間N, 也不能分辨出是周期序列, 更不能得到周期序列的精確頻率。  用DFT/FFT對序列進行頻譜分析, 頻譜分析范圍為π;

13、 用DFT/FFT對模擬信號進行頻譜分析, 頻譜分析范圍為采樣頻率的一半, 即0.5Fs。  用DFT/FFT對信號進行譜分析的誤差表現(xiàn)在三個方面, 即混疊現(xiàn)象、 柵欄效應和截斷效應。 截斷效應包括泄漏和譜間干擾。,,3.4 例 題 ?。劾?.4.1] 設x(n)為存在傅里葉變換的任意序列, 其Z變換為X(z),X(k)是對X(z)在單位圓上的N點等間隔采樣, 即,,求X(k

14、)的N點離散傅里葉逆變換(記為xN(n))與x(n)的關系式。   解: 由題意知,,,,即X(k)是對X(ejω)在[0, 2π]上的N點等間隔采樣。 由于X(ejω)是以2π為周期的, 所以采樣序列,即   以N為周期。 所以它必然與一周期序列   相對應,   為   的DFS系數。,,,,為了導出   與x(n)之間的關系, 應將上式中的用x(n)表示:,,所以,,因為,,所以,,即   是x(n)的周期延拓序列

15、, 由DFT與DFS的關系可得出,,,,xN(n)=IDFT[X(k)]為x(n)的周期延拓序列(以N為延拓周期)的主值序列。 以后這一結論可以直接引用。  ?。劾?.4.2] 已知      x(n)=R8(n), X(ejω)=FT[x(n)]對X(ejω)采樣得到X(k),,,求,,解:直接根據頻域采樣概念得到,,[例3.4.3] 令X(k)表示x(n)的N點DFT, 分別證明: ?。?) 如果x(n)滿足關

16、系式        x(n)=-x(N-1-n)則         X(0)=0 (2) 當N為偶數時, 如果         x(n)=x(N-1-n)則,,證 (1) 直接按DFT定義即可得證。 因為,,所以,,①,令n=N-1-m, 則,②,①式+②式得,,所以           X(0)=0 (2) 因為x(n)=x(N-1-n), 所以,,令m=N-1-n, 則上式

17、可寫成,,,當   時(N為偶數),,,,因為,,所以,,因此證得,,[例3.4.4] 有限時寬序列的N點離散傅里葉變換相當于其Z變換在單位圓上的N點等間隔采樣。 我們希望求出X(z)在半徑為r的圓上的N點等間隔采樣, 即,,試給出一種用DFT計算得到   的算法。   解: 因為,,,,所以,,,,由此可見, 先對x(n)乘以指數序列r-n, 然后再進行N點DFT, 即可得到題中所要求的復頻域采樣   。,,[例3.4.5]

18、 長度為N的一個有限長序列x(n)的N點DFT為X(k)。 另一個長度為2N的序列y(n)定義為,,試用X(k)表示y(n)的2N點離散傅里葉變換Y(k)。  解: 該題可以直接按DFT定義求解。,,,,,,上面最后一步采用的是X(k)以N為周期的概念。,[例3.4.6] 用DFT對模擬信號進行譜分析, 設模擬信號xa(t)的最高頻率為200 Hz, 以奈奎斯特頻率采樣得到時域離散序列x(n)=xa(nT), 要求

19、頻率分辨率為10 Hz。 假設模擬信號頻譜Xa(jΩ)如圖3.4.1所示, 試畫出X(ejω)=FT[x(n)]和X(k)=DFT[x(n)]的譜線圖, 并標出每個k值對應的數字頻率ωk和模擬頻率fk的取值。,圖3.4.1,解: 因為最高頻率fmax=200 Hz, 頻率分辨率F=10 Hz, 所以采樣頻率fs為,,觀察時間,,采樣點數      N=Tρfs=0.1×400=40個所以, 對xa(t)進行采

20、樣得      x(n)=xa(nT) n=0, 1, …, 39,,,Xa(jf)、 X(ejω)及X((k))N分別如圖3.4.2(a)、 (b)、 (c)所示。,圖3.4.2,當fs=2fmax時, f=fmax 對應            , 由      可求得    ; 當fs>2fmax時,fmax對應的數字頻率ω=2πfmaxT<π。 Xa(if)與X(k

21、)的對應關系(由圖3.4.2(a)、 (c)可看出)為,,,,,,該例題主要說明了模擬信號xa(t)的時域采樣序列x(n)的N點離散傅里葉變換X(k)與xa(t)的頻譜Xa(jf)之間的對應關系。 只有搞清該關系, 才能由X(k)看出Xa(jf)的頻譜特征。 否則, 即使計算出X(k), 也搞不清X(k)的第k條譜線對應于Xa(jf)的哪個頻率點的采樣, 這樣就達不到譜分析的目的。 實際中, X(k)求出后, 也可以將橫坐

22、標換算成模擬頻率, 換算公式為fk=kF=k/(NT)。 直接作Xa(kF)=Xa(fk)=TX(k)譜線圖。,,[例3.4.7] 已知x(n)長度為N, X(z)=ZT[x(n)]。 要求計算X(z)在單位圓上的M個等間隔采樣。 假定M<N, 試設計一種計算M個采樣值的方法, 它只需計算一次M點DFT。  解: 這是一個典型的頻域采樣理論應用問題。 根據頻域采樣、 時域周期延拓以及DFT的惟一性概念, 容易解答

23、該題。   由頻域采樣理論知道, 如果,,即X(k)是X(z)在單位圓上的M點等間隔采樣, 則,,當然,,即首先將x(n)以M為周期進行周期延拓, 取主值區(qū)序列xM(n), 最后進行M點DFT則可得到  應當注意, M<N, 所以周期延拓x(n)時, 有重疊區(qū), xM(n)在重疊區(qū)上的值等于重疊在n點處的所有序列值相加。,顯然, 由于頻域采樣點數M<N, 不滿足頻域采樣定理, 所以, 不能由X(

24、k)恢復x(n),即丟失了x(n)的頻譜信息。  [例3.4.8] 已知序列     x(n)={1, 2, 2, 1}, h(n)={3, 2, -1, 1} (1)計算5點循環(huán)卷積y5(n)=x(n) L h(n);  ?。?)用計算循環(huán)卷積的方法計算線性卷積y(n)=x(n)*h(n)。   解:(1)這里是2個短序列的循環(huán)卷積計算, 可以用矩陣相乘的方法(即用教材第82頁式(3.2.7))計算

25、, 也可以用類似于線性卷積的列表法。 因為要求5點循環(huán)卷積, 因此每個序列尾部加一個零值點, 按照教材式(3.2.7)寫出,,,得到y(tǒng)5(n)={4, 9, 9, 6, 2}。 注意上面矩陣方程右邊第一個5×5矩陣稱為x(n)的循環(huán)矩陣, 它的第一行是x(n)的5點循環(huán)倒相, 第二行是第一行的向右循環(huán)移一位, 第三行是第二行向右循環(huán)移一位, 依次類推。,用列表法可以省去寫矩陣方程, 下面用列表法解:,表中的第一

26、行是h(n)序列, 第2、 3、 4、 5、 6行的前五列即是x(n)的循環(huán)矩陣的對應行。 同樣得到y(tǒng)5(n)={4, 9, 9, 6, 2}。  ?。?) 我們知道只有當循環(huán)卷積的長度大于等于線性卷積結果的長度時, 循環(huán)卷積的結果才能等于線性卷積的結果。 該題目中線性卷積的長度為L=4+4-1=7, 因此循環(huán)卷積的長度可選L=7, 這樣兩個序列的尾部分別加3個零點后, 進行7點循環(huán)卷積, 其結果就是線性卷積的結果。

27、 即,,得到      y(n)=x(n)*h(n)={3, 8, 9, 6, 2, 1, 1},[例3.4.9] 已知實序列x(n)和y(n)的DFT分別為X(k)和Y(k), 試給出一種計算一次IDFT就可得出x(n)和y(n)的計算方法。 (選自2004年北京交通大學碩士研究生入學試題。)  解: 令 w(n)=x(n)+jy(n)對其進行DFT, 得到         W(k)=X(k

28、)+jY(k)         w(n)=IDFT[W(k)]因為x(n)和y(n)分別為實序列, 因此         x(n)=Re[w(n)]         y(n)=Im[w(n)],[例3.4.10]已知x(n) (n=0, 1, 2, …, 1023), h(n) (n=0, 1, 2, …, 15)。 在進行線性卷積時, 每次只能進行16點線性卷積運算。 試問為了得到y(tǒng)(n)=x(n)*h(n)的正確

29、結果, 原始數據應作怎樣處理, 并如何進行運算。 (選自1996年西安電子科技大學碩士研究生入學試題。)  解: 將x(n)進行分組后, 采用書上介紹的重疊相加法。 x(n)的長度為1024點, 按照16分組, 共分64組, 記為xi(n), i=0, 1, 2, …, 63。 即,,,式中, yi(n)=xi(n)*h(n), i=0, 1, 2, …, 63。 可以用FFT計算16點的線性卷積yi(n)。

30、 最后結果y(n)的長度為1024+16-1=1039?! 。劾?.4.11] x(n)是一個長度M=142的信號序列, 即: x(n)=0, 當n<0或n≥M時?,F(xiàn)希望用N=100的DFT來分析頻譜。試問:如何通過一次N=100的DFT求得          ,   k=0, 1, 2, …, 99; 這樣進行頻譜分析是否存在誤差?,,解: 通過頻率域采樣得到頻域離散函數, 再對其進行IDFT得到的序列應是原序列

31、x(n)以N為周期進行周期化后的主值序列。 按照這一概念, 在頻域0~2π采樣100點, 那么相應的時域應以100為周期進行延拓后截取主值區(qū)。 該題要求用一次100點的DFT求得, 可以用下式計算:,,式中, k對應的頻率為      。 這樣進行頻譜分析存在誤差, 誤差是因為時域混疊引起的。,,,3.5 教材第3章習題與上機題解答   1. 計算以下序列的N點DFT, 在變換區(qū)間0≤n≤N-1內, 序列定義為

32、   (1) x(n)=1   (2) x(n)=δ(n)   (3) x(n)=δ(n-n0) 0<n0<N   (4) x(n)=Rm(n) 0<m<N    (5)                (6)             ,,,(7) x

33、(n)=ejω0nRN(n)   (8) x(n)=sin(ω0n)RN(n)   (9) x(n)=cos(ω0n)RN(N)   (10) x(n)=nRN(n)  解:,(1),,,(2),(3),,,(4),,(5),,,0≤k≤N-1,(6),,,,0≤k≤N-1,(7),,,或,(8) 解法一 直接計算:,,,,,解法二 由DFT的共軛對稱性求解。  因為,,所

34、以,,所以,,即,,結果與解法一所得結果相同。 此題驗證了共軛對稱性?! ?9) 解法一 直接計算:,,,,,解法二 由DFT共軛對稱性可得同樣結果。   因為,,,,(10) 解法一,,上式直接計算較難, 可根據循環(huán)移位性質來求解X(k)。 因為x(n)=nRN(n), 所以 x(n)-x((n-1))NRN(n)+Nδ(n)=RN(n)等式兩邊進行DFT, 得到

35、 X(k)-X(k)WkN+N=Nδ(k),故,,當k=0時, 可直接計算得出X(0)為,,這樣, X(k)可寫成如下形式:,,解法二 k=0時,,,k≠0時,,,,,,所以,,,,即,,2. 已知下列X(k), 求x(n)=IDFT[X(k)],(1),(2),,其中, m為正整數, 0<m<N/2, N為變換區(qū)間長度。,,,解: (1),,,n=0, 1, …, N-1,(2),

36、,,,n=0, 1, …, N-1,3. 已知長度為N=10的兩個有限長序列:,≤,≤,≤,≤,,≤,≤,≤,≤,做圖表示x1(n)、 x2(n)和y(n)=x1(n) * x2(n), 循環(huán)卷積區(qū)間長度L=10。   解: x1(n)、 x2(n)和y(n)=x1(n) * x2(n)分別如題3解圖(a)、 (b)、 (c)所示。,,,題3解圖,4. 證明DFT的對稱定理, 即假設X(k)=DFT[x(n)], 證明     

37、    DFT[X(n)]=Nx(N-k) 證: 因為,,所以,,,由于,,≤,≤,所以 DFT[X(n)]=Nx(N-k) k=0, 1, …, N-1 5. 如果X(k)=DFT[x(n)], 證明DFT的初值定理,,證: 由IDFT定義式,,可知,,6. 設x(n)的長度為N, 且    X(k)=DFT[x(n)] 0≤k≤N-1令   

38、h(n)=x((n))NRmN(n) m為自然數   H(k)=DFT[h(n)]mN 0≤k≤mN-1求H(k)與X(k)的關系式。   解: H(k)=DFT[h(n)] 0≤k≤mN-1  令n=n′+lN, l=0, 1, …, m-1, n′=0, 1, …, N-1, 則,,,,因為,所以,,7. 證明: 若x(n)為實序列, X(k)=DFT[x(n)]N, 則

39、X(k)為共軛對稱序列, 即X(k)=X*(N-k); 若x(n)實偶對稱, 即x(n)=x(N-n), 則X(k)也實偶對稱; 若x(n)實奇對稱, 即x(n)=-x(N-n), 則X(k)為純虛函數并奇對稱。,證: (1) 由教材(3.2.17)~(3.2.20)式知道, 如果將x(n)表示為      x(n)=xr(n)+jxi(n)則    X(k)=DFT[x(n)]=Xep(k)+Xop(k)其中, Xep

40、(k)=DFT[xr(n)], 是X(k)的共軛對稱分量; Xop(k)=DFT[jxi(n)], 是X(k)的共軛反對稱分量。 所以, 如果x(n)為實序列, 則Xop(k)=DFT[jxi(n)]=0, 故X(k)=DFT[x(n)]=Xep(k), 即X(k)=X*(N-k)。,(2) 由DFT的共軛對稱性可知, 如果      x(n)=xep(n)+xop(n)且     X(k)=Re[X

41、(k)]+j Im[X(k)]則  Re[X(k)]=DFT[xep(n)], j Im[X(k)]=DFT[xop(n)]所以, 當x(n)=x(N-n)時, 等價于上式中xop(n)=0, x(n)中只有xep(n)成分, 所以X(k)只有實部, 即X(k)為實函數。 又由(1)證明結果知道, 實序列的DFT必然為共軛對稱函數, 即X(k)=X*(N-k)=X(N-k), 所以X(k)實偶對稱。,,同理,

42、 當x(n)=-x(N-n)時, 等價于x(n)只有xop(n)成分(即xep(n)=0), 故X(k)只有純虛部, 且由于x(n)為實序列, 即X(k)共軛對稱, X(k)=X*(N-k)=-X(N-k), 為純虛奇函數。 8. 證明頻域循環(huán)移位性質: 設X(k)=DFT[x(n)], Y(k)=DFT[y(n)], 如果Y(k)=X((k+l))NRN(k), 則,,,,,證:,,,令m=k+l, 則,,,9. 已知x(n

43、)長度為N, X(k)=DFT[x(n)],,,≤,≤,≤,≤,,,≤,≤,求Y(k)與X(k)的關系式。   解:,,10. 證明離散相關定理。 若         X(k)=X1* (k)X2(k)則,,證: 根據DFT的惟一性, 只要證明,,即可。,,,,,,令m=l+n, 則,,,所以,,≤,≤,當然也可以直接計算X(k)=X1 *(k)X2(k)的IDFT。,,,,,0≤n≤N-1,,由于,,0≤n≤N-1,所以

44、,,11. 證明離散帕塞瓦爾定理。 若X(k)=DFT[x(n)], 則,,證:,,,,,12. 已知f(n)=x(n)+jy(n), x(n)與y(n)均為長度為N的實序列。 設     F(k)=DFT[f(n)]N 0≤k≤N-1,,(1),(2)   F(k)=1+jN試求X(k)=DFT[x(n)]N, Y(k)=DFT[y(n)]N以及x(n)和y(n)。   解: 由DFT的共軛對稱性可知

45、      x(n)  X(k)=Fep(k)      jy(n)  jY(k)=Fop(k),,方法一 (1),,,,,,,0≤n≤N-1,由于,,0≤n, m≤N-1,所以 x(n)=an 0≤n≤N-1同理 y(n)=bn 0≤n≤N-1 (2) F(k)=

46、1+jN,,,,,,,方法二 令,,只要證明A(k)為共軛對稱的,B(k)為共軛反對稱, 則就會有 A(k)=Fep(k)=X(k), B(k)=Fop(k)=jY(k)因為,,,共軛對稱,,,,共軛反對稱,所以,,,由方法一知 x(n)=IDFT[X(k)]=anRN(n)     y(n)=IDFT[Y(k)]=bnRN(n) 1

47、3. 已知序列x(n)=anu(n), 0<a<1, 對x(n)的Z變換X(z)在單位圓上等間隔采樣N點, 采樣序列為,,求有限長序列IDFT[X(k)]N。   解: 我們知道, , 是以2π為周期的周期函數, 所以,,,①,以N為周期, 將   看作一周期序列   的DFS系數, 則,,,,②,由式①知   為,,③,將式③代入式②得到,由于

48、,,所以,,由題意知,,所以根據有關X(k)與xN(n)的周期延拓序列的DFS系數的關系有,,,,由于0≤n≤N-1, 所以,,≥,≥,因此,,說明: 平時解題時, 本題推導,的過程可省去, 直接引用頻域采樣理論給出的結論(教材中式(3.3.2)和(3.3.3))即可。  14. 兩個有限長序列x(n)和y(n)的零值區(qū)間為     x(n)=0 n<0, 8≤n     y(n)=0

49、n<0, 20≤n對每個序列作20點DFT, 即     X(k)=DFT[x(n)] k=0, 1, …, 19     Y(k)=DFT[y(n)] k=0, 1, …, 19試問在哪些點上f(n)與x(n)*y(n)值相等, 為什么?,解: 如前所述, 記fl(n)=x(n)*y(n),而f(n)=IDFT[F(k)]=x(n) 20 y(n)。 fl(n)長度為27, f(n)

50、長度為20。 由教材中式(3.4.3)知道f(n)與fl(n)的關系為,,,只有在如上周期延拓序列中無混疊的點上, 才滿足f(n)=fl(n),所以 f(n)=fl(n)=x(n)*y(n) 7≤n≤19,15. 已知實序列x(n)的8點DFT的前5個值為0.25, 0.125-j0.3018, 0, 0.125-j0.0518, 0。  ?。?) 求X(k)的其

51、余3點的值; ,(2),,求X1(k)=DFT[x1(n)]8;,(3),,,求,,。,解: (1)因為x(n)是實序列, 由第7題證明結果有X(k)=X*(N-k), 即X(N-k)=X*(k), 所以, X(k)的其余3點值為   {X(5), X(6), X(7)}={0.125+j0.0518, 0, 0.125+j0.3018 (2) 根據DFT的時域循環(huán)移位性質,,(3),,16. x(n)、 x1

52、(n)和x2(n)分別如題16圖(a)、 (b)和(c)所示, 已知X(k)=DFT[x(n)]8。 求,,和,,[注: 用X(k)表示X1(k)和X2(k)。],解: 因為x1(n)=x((n+3))8R8(n), x2(n)=x((n-2))8R8(n), 所以根據DFT的時域循環(huán)移位性質得到,,,17. 設x(n)是長度為N的因果序列, 且,,,,試確定Y(k)與X(ejω)的關系式。,,解: y(n)是x(n)以M為周期

53、的周期延拓序列的主值序列, 根據頻域采樣理論得到,,18. 用微處理機對實數序列作譜分析, 要求譜分辨率F≤50 Hz, 信號最高頻率為 1 kHz, 試確定以下各參數:     (1) 最小記錄時間Tp min;   (2) 最大取樣間隔Tmax;   (3) 最少采樣點數Nmin;   (4) 在頻帶寬度不變的情況下, 使頻率分辨率提高1倍(即F縮小一半)的N值。 ,解: (1) 已知F=50 Hz,

54、 因而,,(2),,(3),,(4) 頻帶寬度不變就意味著采樣間隔T不變, 應該使記錄時間擴大1倍, 即為0.04 s, 實現(xiàn)頻率分辨率提高1倍(F變?yōu)樵瓉淼?/2)。,,19. 已知調幅信號的載波頻率fc=1 kHz, 調制信號頻率fm=100 Hz, 用FFT對其進行譜分析, 試求:   (1) 最小記錄時間Tp min;  (2) 最低采樣頻率fs min;  (3) 最少采樣點數Nmin。,解: 調制

55、信號為單一頻率正弦波時, 已調AM信號為    x(t)=cos(2πfct+jc)[1+cos(2πfmt+jm)]所以, 已調AM信號x(t) 只有3個頻率: fc、 fc+fm、 fc-fm。 x(t)的最高頻率fmax=1.1 kHz, 頻率分辨率F≤100 Hz(對本題所給單頻AM調制信號應滿足100/F=整數, 以便能采樣到這三個頻率成分)。 故,,(1),(2),,(3),,(注意, 對窄帶已調信號可以采

56、用亞奈奎斯特采樣速率采樣, 壓縮碼率。 而在本題的解答中, 我們僅按基帶信號的采樣定理來求解。 )  20. 在下列說法中選擇正確的結論。 線性調頻Z變換可以用來計算一個有限長序列h(n)在z平面實軸上諸點{zk}的Z變換H(zk), 使,(1) zk=ak, k=0, 1, …, N-1, a為實數, a≠1;   (2) zk=ak, k=0, 1, …, N-1, a為實數, a≠1;   (3) (

57、1)和(2)都不行, 即線性調頻Z變換不能計算H(z)在z平面實軸上的取樣值。   解: 在chirp-Z變換中, 在z平面上分析的N點為       zk=AW-k k=0, 1, …, N-1其中所以  當A0=1, ω0=0, W0=a-1, j=0時,         zk=ak故說法(1)正確, 說法(2)、 (3)不正確。 ,,,21. 我們希望利用h(n)長度為N=

58、50的FIR濾波器對一段很長的數據序列進行濾波處理, 要求采用重疊保留法通過DFT(即FFT)來實現(xiàn)。 所謂重疊保留法, 就是對輸入序列進行分段(本題設每段長度為M=100個采樣點), 但相鄰兩段必須重疊V個點, 然后計算各段與h(n)的L點(本題取L=128)循環(huán)卷積, 得到輸出序列ym(n), m表示第m段循環(huán)卷積計算輸出。 最后, 從ym(n)中選取B個樣值, 使每段選取的B個樣值連接得到濾波輸出y(n)。,(1) 求V;  

59、  (2) 求B;    (3) 確定取出的B個采樣應為ym(n)中的哪些樣點。   解: 為了便于敘述, 規(guī)定循環(huán)卷積的輸出序列ym(n)的序列標號為n=0, 1, 2, …, 127。   先以h(n)與各段輸入的線性卷積ylm(n)分析問題, 因為當h(n)的50個樣值點完全與第m段輸入序列xm(n)重疊后, ylm(n)才與真正的濾波輸出y(n)相等, 所以, ylm(n)中第0點到第48點(共49個點

60、)不正確, 不能作為濾波輸出, 第49點到第99點(共51個點)為正確的濾波輸出序列y(n)的第m段, 即B=51。,所以, 為了去除前面49個不正確點, 取出51個正確的點連接, 得到不間斷又無多余點的y(n), 必須重疊100-51=49個點, 即V=49。   下面說明, 對128點的循環(huán)卷積ym(n), 上述結果也是正確的。 我們知道,,因為ylm(n)長度為,N+M-1=50+100-1=149,所以n

61、從21到127區(qū)域無時域混疊, ym(n)=ylm(n), 當然, 第49點到第99點二者亦相等, 所以, 所取出的51點為從第49點到第99點的ym(n)。   綜上所述, 總結所得結論:        V=49,  B=51 選取ym(n)中第49~99點作為濾波輸出。   讀者可以通過作圖來理解重疊保留法的原理和本題的解答。 ,22. 證明DFT的頻域循環(huán)卷積定理。   證: DFT的

62、頻域循環(huán)卷積定理重寫如下:   設h(n)和x(n)的長度分別為N和M,     ym(n)=h(n)x(n)    H(k)=DFT[h(n)]L, X(k)=DFT[X(n)]L則,,L X(k),,,其中, L≥max[N, M]。,根據DFT的惟一性, 只要證明ym(n)=IDFT[Ym(k)]=h(n)x(n), 就證明了DFT的頻域循環(huán)卷積定理。,,23*. 已知序列x(n)={1, 2, 3, 3, 2

63、, 1}。  ?。?) 求出x(n)的傅里葉變換X(ejω), 畫出幅頻特性和相頻特性曲線(提示: 用1024點FFT近似X(ejω));   (2) 計算x(n)的N(N≥6)點離散傅里葉變換X(k), 畫出幅頻特性和相頻特性曲線;  ?。?) 將X(ejω)和X(k)的幅頻特性和相頻特性曲線分別畫在同一幅圖中, 驗證X(k)是X(ejω)的等間隔采樣, 采樣間隔為2π/N;  ?。?) 計算X(k)的N點IDFT,

64、驗證DFT和IDFT的惟一性。,,解: 該題求解程序為ex323.m, 程序運行結果如題23*解圖所示。 第(1)小題用1024點DFT近似x(n)的傅里葉變換; 第(2)小題用32點DFT。 題23*解圖(e)和(f)驗證了X(k)是X(ejω)的等間隔采樣, 采樣間隔為2π/N。 題23*解圖(g) 驗證了IDFT的惟一性。,題23*解圖,24*.給定兩個序列: x1(n)={2, 1, 1, 2} , x2(n)

65、={1, -1, -1, 1}。   (1) 直接在時域計算x1(n)與x2(n)的卷積;  ?。?) 用DFT計算x1(n)與x2(n)的卷積, 總結出DFT的時域卷積定理。    解: 設x1(n)和x2(n)的長度分別為M1和M2,   X1(k)=DFT[x1(n)]N, X2(k)=DFT[x2(n)]N  Yc(k)=X1(k)X2(k), yc(n)=IDFT[Yc(k)]N所謂DFT的

66、時域卷積定理, 就是當N≥M1+M2-1時, yc(n)=x1(n)*x2(n)。,本題中, M1=M2=4, 所以, 程序中取N=7。 本題的求解程序ex324.m如下:   % 程序 ex324.m   x1n=[2 1 1 2]; x2n=[1 -1 -1 1];   %時域直接計算卷積yn:   yn=conv(x1n, x2n)  %用DFT計算卷積ycn:   M1=length(x1n);M

67、2=length(x2n); N=M1+M2-1;  X1k=fft(x1n, N); %計算x1n的N點DFT  X2k=fft(x2n, N); %計算x2n的N點DFT  Yck=X1k.*X2k; ycn=ifft(Yck, N),,程序運行結果:    直接在時域計算x1(n)與x2(n)的卷積yn和用DFT計算x1(n)與x2(n)的卷積ycn如下:   yn=[2 -

68、1 -2 2 -2 -1 2]  ycn=[ 2.0000 -1.0000 -2.0000 2.0000     ?。?.0000 -1.0000 2.0000],25*.已知序列h(n)=R6(n), x(n)=nR8(n)。  ?。?) 計算yc(n)=h(n) 8 x(n);   (2) 計算yc(n)=h(n)

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