傅里葉變換(fft)詳解

1、一、傅立葉變換的由來關于傅立葉變換，無論是書本還是在網上可以很容易找到關于傅立葉變換的描述，但是大都是些故弄玄虛的文章，太過抽象，盡是一些讓人看了就望而生畏的公式的羅列，讓人很難能夠從感性上得到理解，最近，我偶爾從網上看到一個關于數(shù)字信號處理的電子書籍，是一個叫StevenW.SmithPh.D.外國人寫的，寫得非常淺顯，里面有七章由淺入深地專門講述關于離散信號的傅立葉變換，雖然是英文文檔，我還是硬著頭皮看完了有關傅立葉變換的有關內容，

2、看了有茅塞頓開的感覺，在此把我從中得到的理解拿出來跟大家分享，希望很多被傅立葉變換迷惑的朋友能夠得到一點啟發(fā)，這電子書籍是免費的，有興趣的朋友也可以從網上下載下來看一下，URL地址是：pdfbook.htm要理解傅立葉變換，確實需要一定的耐心，別一下子想著傅立葉變換是怎么變換的，當然，也需要一定的高等數(shù)學基礎，最基本的是級數(shù)變換，其中傅立葉級數(shù)變換是傅立葉變換的基礎公式。二、傅立葉變換的提出讓我們先看看為什么會有傅立葉變換？傅立葉是一位

3、法國數(shù)學家和物理學家的名字，英語原名是JeanBaptisteJosephFourier(17681830)Fourier對熱傳遞很感興趣，于1807年在法國科學學會上發(fā)表了一篇論文，運用正弦曲線來描述溫度分布，論文里有個在當時具有爭議性的決斷：任何連續(xù)周期信號可以由一組適當?shù)恼仪€組合而成。當時審查這個論文的人，其中有兩位是歷史上著名的數(shù)學家拉格朗日(JosephLouisLagrange17361813)和拉普拉斯(PierreS

4、imondeLaplace17491827)，當拉普拉斯和其它審查者投票通過并要發(fā)表這個論文時，拉格朗日堅決反對，在近50年的時間里，拉格朗日堅持認為傅立葉的方法無法表示帶有棱角的信號，如在方波中出現(xiàn)非連續(xù)變化斜率。法國科學學會屈服于拉格朗日的威望，拒絕了傅立葉的工作，幸運的是，傅立葉還有其它事情可忙，他參加了政治運動，隨拿破侖遠征埃及，法國大革命后因會被推上斷頭臺而一直在逃避。直到拉格朗日死后15年這個論文才被發(fā)表出來。誰是對的呢？拉

5、格朗日是對的：正弦曲線無法組合成一個帶有棱角的信號。但是，我們可以用正弦曲線來非常逼近地表示它，逼近到兩種表示方法不存在能量差別，基于此，傅立葉是對的。為什么我們要用正弦曲線來代替原來的曲線呢？如我們也還可以用方波或三角波來代替呀，分解信號的方法是無窮的，但分解信號的目的是為了更加簡單地處理原來的信號。用正余弦來表示原信號會更加簡單，因為正余弦擁有原信號所不具有的性質：正弦曲線保真度。一個正弦曲線信號輸入后，輸出的仍是正我們就可以用到離

6、散時域傅立葉變換的方法。還有，也可以把信號用復制的方法進行延伸，這樣信號就變成了周期性離解信號，這時我們就可以用離散傅立葉變換方法進行變換。這里我們要學的是離散信號，對于連續(xù)信號我們不作討論，因為計算機只能處理離散的數(shù)值信號，我們的最終目的是運用計算機來處理信號的。但是對于非周期性的信號，我們需要用無窮多不同頻率的正弦曲線來表示，這對于計算機來說是不可能實現(xiàn)的。所以對于離散信號的變換只有離散傅立葉變換（DFT）才能被適用，對于計算機來說

7、只有離散的和有限長度的數(shù)據(jù)才能被處理，對于其它的變換類型只有在數(shù)學演算中才能用到，在計算機面前我們只能用DFT方法，后面我們要理解的也正是DFT方法。這里要理解的是我們使用周期性的信號目的是為了能夠用數(shù)學方法來解決問題，至于考慮周期性信號是從哪里得到或怎樣得到是無意義的。每種傅立葉變換都分成實數(shù)和復數(shù)兩種方法，對于實數(shù)方法是最好理解的，但是復數(shù)方法就相對復雜許多了，需要懂得有關復數(shù)的理論知識，不過，如果理解了實數(shù)離散傅立葉變換(real

8、DFT)，再去理解復數(shù)傅立葉就更容易了，所以我們先把復數(shù)的傅立葉放到一邊去，先來理解實數(shù)傅立葉變換，在后面我們會先講講關于復數(shù)的基本理論，然后在理解了實數(shù)傅立葉變換的基礎上再來理解復數(shù)傅立葉變換。還有，這里我們所要說的變換(transfm)雖然是數(shù)學意義上的變換，但跟函數(shù)變換是不同的，函數(shù)變換是符合一一映射準則的，對于離散數(shù)字信號處理（DSP），有許多的變換：傅立葉變換、拉普拉斯變換、Z變換、希爾伯特變換、離散余弦變換等，這些都擴展了函

9、數(shù)變換的定義，允許輸入和輸出有多種的值，簡單地說變換就是把一堆的數(shù)據(jù)變成另一堆的數(shù)據(jù)的方法。四、傅立葉變換的物理意義傅立葉變換是數(shù)字信號處理領域一種很重要的算法。要知道傅立葉變換算法的意義，首先要了解傅立葉原理的意義。傅立葉原理表明：任何連續(xù)測量的時序或信號，都可以表示為不同頻率的正弦波信號的無限疊加。而根據(jù)該原理創(chuàng)立的傅立葉變換算法利用直接測量到的原始信號，以累加方式來計算該信號中不同正弦波信號的頻率、振幅和相位。和傅立葉變換算法對應

10、的是反傅立葉變換算法。該反變換從本質上說也是一種累加處理，這樣就可以將單獨改變的正弦波信號轉換成一個信號。因此，可以說，傅立葉變換將原來難以處理的時域信號轉換成了易于分析的頻域信號（信號的頻譜），可以利用一些工具對這些頻域信號進行處理、加工。最后還可以利用傅立葉反變換將這些頻域信號轉換成時域信號。從現(xiàn)代數(shù)學的眼光來看，傅里葉變換是一種特殊的積分變換。它能將滿足一定條件的某個函數(shù)表示成正弦基函數(shù)的線性組合或者積分。在不同的研究領域，傅里葉