具有非退化變系數(shù)Schrodinger方程的研究.pdf

1、本文考察具有非退化系數(shù)的Schr(o)dinger方程|iδu+Q(x,D)u=iδtu-∑qij(x)δiju=0(t,x)∈[0,T]×Rnu(0)=u0,這里qij(x)是常系數(shù)的擾動,系數(shù)矩陣(qij)是非退化,并且滿足Non-trapping條件(參見第一章定義1.3)。主要結(jié)論是如下兩個定理(參見第一章第四節(jié)定理A和定理B):
　　 定理A假設(shè)非退化條件、Non-trapping條件和衰減性條件成立,則非退化變系數(shù)S

2、chr(o)dinger方程存在唯一解,并且對于任意0＜T＜∞,有、||u||Lq(0,T],Lt(Rn))≤C(T,q,m)||u0||L2=(Rn)·其中(q,r)為非端點容許對(non-endpointadmissiblepair)。
　　 定理B假設(shè)非退化條件、Non-trapping條件和衰減性條件成立,并且qij在無界區(qū)域是常數(shù),則非退化變系數(shù)Schr(o)dinger方程存在唯一解,并且對于任意0＜T＜∞,任意容許

3、對(q,r),有||u||Lq([0,T],LT(Rnp))≤C(T,q,m)||u0||L2(Rn)·
　　 全文共分為五章。在第一章,我們敘述了自Schr(o)dinger方程和具有非退化常系數(shù)Schr(o)dinger方程的物理背景,介紹了Strichaxtz估計和loacal smoothing估計。引入了具有非退化變系數(shù)的Schr(o)dinger方程和Non-trapping條件,同時敘述了本文的主要研究結(jié)論和研究思

4、路。
　　 在第二章,我們在Nontrapping條件下證明了Hamilton流(xt,ζt)的整體存在性和估計式。在此基礎(chǔ)上用Kenig[35]的辦法證明了具有非退化變系數(shù)Schr(o)dinger方程的local smoothing估計,這里我們用非光滑象征(non-regular symbol)的辦法將系數(shù)的正則性降為C2+ε。
　　 在第三章,我們證明了有界區(qū)域的Strichartz估計。我們首先利用wavepa

5、ckets變換重述了色散算子(dispersive operator)精確擬逆的構(gòu)造。將有界區(qū)域的Strichartz估計轉(zhuǎn)化為二進(jìn)分解框架下的能量估計式||Sλu||Lq([0,1],LT(Rn)))≤C(λ1/2||Sλu||L2([0,1]×Rn)+λ-1/2||(iδt+Qλ(x,D))Sλu||L2([0,1]×Rn)),這里Sλ是二進(jìn)分解算子。根據(jù)Tataru的建議,我們利用scaling技巧和精確擬逆證明了上述不等式。將T

6、ataru在[53]中關(guān)于橢圓Schr(o)dillger方程的Strichartz估計推廣到一般非退化變系數(shù)的情形,并且證明方法更具有一般性。這里需要特別指出的是聯(lián)系有界區(qū)域能量估計式和Strichartz估計的橋梁是localsmoothing估計。
　　 為了證明無界區(qū)域的Strichartz估計,我們首先需要將問題簡化。簡化工作是在第四章完成的,我們構(gòu)造了二階橢圓算子P,使得換位算子[P,Q]=PQ-QP是零階擬微分算子

7、,然后利用Christ-Kiselev引理將問題轉(zhuǎn)化為證明||(1-x)(ρ)(2-kP)u||LqLt≤c||u0||L2.
　　 這里x是截斷函數(shù)。我們在第五章證明了上述不等式。為此我們應(yīng)用Egrov的思想首先構(gòu)造了將算子Q(x,D)正規(guī)化的位相(ρ)(x,ζ),即q(x,▽ζ(ρ)V(x,ζ))=q0(ζ)=∑j=1εjζ2j.在此基礎(chǔ)上我們首次在全空間構(gòu)造了非退化二階算子的Isozaki-Kitada擬逆。最后利用TT*