有限余撓模及其對(duì)環(huán)的刻畫.pdf

1、同調(diào)代數(shù)初成于上世紀(jì)40年代中期，是由著名數(shù)學(xué)家S.Eilenberg與S.MacLane等人的一系列重要工作奠基而成的一門學(xué)科.它的思想方法主要來自代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)中復(fù)形的同調(diào)理論，它的研究對(duì)象是環(huán)模以及環(huán)模上的復(fù)形，在發(fā)展的過程中，同調(diào)代數(shù)充分地使用了范疇論中的方法與理論，并以Hom，(×)及它們的導(dǎo)出函子Ext，Tor作為最基本的函子，所以它能有效地給出環(huán)類的一些同調(diào)不變量(同調(diào)維數(shù))，使同類的環(huán)具有相同的同調(diào)不變量，從而給環(huán)論的研究提

2、供了一個(gè)有力的新工具.
　　 我們稱一個(gè)R-模M為余撓R-模[1],如果對(duì)任意的一個(gè)平坦R-模F，都有Ext1R(F,M)=0.余撓模與投射模、內(nèi)射模、平坦模一樣，是一種重要的模類，也是同調(diào)代數(shù)的主要研究對(duì)象之一.余撓模與其它模類的聯(lián)系非常緊密，尤其是與平坦模和內(nèi)射模更是密不可分.由余撓模的定義我們已看出它與平坦模是相對(duì)而生的，余撓模的許多性質(zhì)也是借助于平坦模得出來的.例如，現(xiàn)已證明，任意環(huán)R上的模都有平坦蓋和余撓包，并且任意R

3、-模有余撓包當(dāng)且僅當(dāng)它有平坦蓋[7].而且，我們發(fā)現(xiàn)，余撓模可以看作內(nèi)射模的推廣，正如平坦模是投射模的推廣一樣.通過對(duì)余撓模的研究，有助于我們進(jìn)一步了解各種模類的性質(zhì)及相互關(guān)系.特別是在研究余撓模與其它模類的關(guān)系這個(gè)過程中，我們發(fā)現(xiàn)它對(duì)于某些環(huán)的刻畫是非常有用的.但是數(shù)學(xué)界對(duì)余撓模的研究相對(duì)其它三大模類則起步較晚，始于上世紀(jì)八十年代，時(shí)間還不到三十年，這方面的論著也不是很多，相關(guān)專業(yè)的研究生教材中關(guān)于余撓模這方面的內(nèi)容篇幅比較少，涉及的

4、深度和廣度也很有限.因此對(duì)余撓模的研究具有非常重要的實(shí)踐意義和理論價(jià)值.
　　 這篇論文圍繞余撓模這個(gè)課題，首先對(duì)余撓模的有關(guān)概念和性質(zhì)進(jìn)行了較為全面的概括，然后在余撓模的基礎(chǔ)上進(jìn)行了拓展，引入了有限余撓模的概念.設(shè)R是一個(gè)環(huán)，我們稱一個(gè)R模M為有限余撓模，如果對(duì)任意的有限生成的主平坦R-模F，都有Ext1R(F,M)=0.隨后論文對(duì)有限余撓模的性質(zhì)進(jìn)行了初步探究.最后論文探討了Noether環(huán)上的有限余撓性.通過把環(huán)R限定為N