兩類非線性發(fā)展方程組的大時間狀態(tài)估計.pdf

1、本文將研究兩類非線性發(fā)展方程組的大時間狀態(tài)行為,分別為帶阻尼的高維Euler方程組和帶外加磁場的Vlasov-Poisson-Boltzmann方程組。
　　 早在18世紀,Euler在研究宏觀流體的運動時,利用牛頓經典力學理論,通過質量守恒、動量守恒以及能量守恒,推導出了重要的Euler方程組,從此開始了用微分方程進行流體運動定量研究的階段,也標志著流體動力學作為一個分支學科的建立。Euler方程組處理的是理想流體的流動,然而

2、,隨著研究的進一步深入,為滿足實際問題的需要,很多情形下人們還需用形式上更為復雜的方程組來揭示真實流體中出現的現象,比如當考慮流體的粘性及熱傳導效應、介質的阻尼作用或者外力場的影響等時,分別對應Navier-Stokes方程組、帶阻尼的Euler方程組或者Euler-Poisson方程組等經典物理模型。
　　 本文首先考慮的是高維空間中帶阻尼的Euler方程組的平面擴散波問題,將得到高維平面擴散波的穩(wěn)定性與Lp收斂估計?；趯Ψ?/p>

3、程的解的高低頻分解以及其對應近似格林函數的高低頻分解,文中引進了一種新的能量估計方法,不妨稱之為基于高低頻分解和近似格林函數的能量估計方法,對解的低頻部分運用近似格林函數進行Lp估計,對高頻部分進行通常的L2能量估計。這是因為近似格林函數的高頻部分具有強奇異性,而解的低頻部分的能量估計不能像一維情形時用反導數來封閉,因此需結合兩種方法的長處。由于近似格林函數的低頻部分具有代數級衰減,也是決定大時間狀態(tài)的主要部分(高頻部分具有指數級衰減)

4、,通過直接對解的高頻部分作能量估計,避免了對近似格林函數高頻部分強奇異性的分析并可得到同樣的代數級衰減。高頻部分的能量估計能夠自封閉,是因為其本身滿足的Poincaré不等式。這樣結合近似格林函數的能量估計方法還可以運用到更一般的一類滿足Kawashima條件的雙曲-拋物方程組,以及其系數具有一定時間衰減性的方程組。
　　 對宏觀流體進行描述時,考察的對象不是流體單個分子的微觀性質,而是由大量分子組成的流體微團的宏觀性質。然而,

5、流體的宏觀運動狀態(tài)本質上應該是由流體分子的微觀運動狀態(tài)所決定的。理論上,利用經典力學下的分子動力學,人們可以計算分子尺度上的所有細節(jié),然后求得宏觀流體的物理性質。但是,由于計算能力的限制,這一方法并不現實,并且也沒有必要研究每一個分子的運動狀態(tài)。于是,采用統(tǒng)計描述更為合理,從而Boltzmann方程應運而生。
　　 在描述帶電粒子在電場或磁場中的運動時,還應該考慮電場或磁場對帶電粒子運動的影響。帶作用力的分子運動可以甩Vlaso

6、v型Boltzmann方程描述。特別地,其中兩類經典的物理模型Vlasov-Poisson-Boltzmann方程組與Vlasov-Maxwell-Boltzmann方程組可用于很好的描述帶電粒子的運動。
　　 本文考慮的另一個問題是帶外加磁場的Vlasov-Poisson-Boltzmann方程組初值在全局Maxwellian附近小擾動下經典解的整體存在性。不同于Vlasov-Maxwell-Boltzmann方程組考慮的是自

7、身運動產生的電、磁場,該模型考慮的作用力包括帶電粒子自身運動誘導的電場和外加磁場所產生的電磁力。與外加磁場相比,當粒子運動速度較慢時,自身誘導的磁場可以忽略不計。本文將證明當外加磁場為常數時,解的整體存在性不受外加磁場的影響。
　　 文中的證明方法基于[Liu-Yang-Yu:Energy method for Boltzmann equation.PhysicaD,188(3-4)(2004),178-192]中引進的對Bol