2023年全國碩士研究生考試考研英語一試題真題(含答案詳解+作文范文)_第1頁
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文檔簡介

1、本論文主要分為兩部分,其一:利用廣義穿農(nóng)方法,討論了一族可積變系數(shù)非線性Schrodinger方程,可積變系數(shù)Dirac系統(tǒng)及可積變系數(shù)Toda格方程;并得到它們的顯示解和Lax對。其二:利用代數(shù)曲線方法,研究了高維可積離散系統(tǒng)并得到這些系統(tǒng)的擬周期解。
   廣義穿衣方法是戴暉輝教授和Jeffery于上世紀90年代提出的,它是經(jīng)典穿衣方法的拓展。這種推廣不但構(gòu)建可積變系數(shù)非線性演化方程而且還給出其顯示解和Lax對。它從一個積分

2、算子F和兩個Volterra算子K±出發(fā),由算子三角因式分解關(guān)系式得到GLM方程,再由穿衣關(guān)系將已知的變系數(shù)算子(M1,M2)變?yōu)樽兿禂?shù)穿衣算子(M1,M2)。從穿衣算子的相容性,得到可積變系數(shù)非線性演化方程。為了獲得這些方程的顯示解,利用初始算子(M1,M2)與算子F的交換性[Mk,F(xiàn)]=0(k=1,2),求得積分核F,最后借助GLM方程求得微分算子K+的核,也即給出已經(jīng)獲得的方程的解。作為應用,一方面,借助n階AKNS矩陣非保譜問題

3、(n=2,3,N+1,2N+1)和Dirac系統(tǒng),分別討論了可積變系數(shù)耦合柱狀NLS方程和mKdV方程:可積變系數(shù)耦合的Hirota方程和Manakov方程;一族可積變系數(shù)N-耦合NLS方程和可積變系數(shù)散焦NLS方程。另一方面,把廣義穿衣方法由連續(xù)系統(tǒng)平行推廣到離散系統(tǒng),成功地討論了可積變系數(shù) Toda格方程。特別的,給出了這些方程的顯示解和Lax對。
   曹策問教授于1988年提出了特征值問題非線性化方法,并被推廣到求解高維

4、孤子方程的擬周期解,這個方法是非常有效的,可分為三步來實現(xiàn):即分解、拉直、反演。在本文的第六章利用此方法討論了兩個離散譜問題。其一,提出一個新的離散譜問題,進而獲得與之相應的一族微分差分方程,有趣的是,給出了一個新的2+1-維離散導數(shù)NLS方程。在Bargmann約束下,這些孤子方程分解為兩個相容的常微分方程和一個可積辛映射。然后引入母函數(shù)方法易證守恒積分的對合性和獨立性,進而知這些系統(tǒng)是Liouville意義下是可積的。通過引入橢圓變

5、量和Abel-Jacobi坐標,直化連續(xù)流和離散流。最后,借助Riemann-theta函數(shù)和Abel-Jacobi反演,得到孤子方程在原始坐標下的代數(shù)幾何解。其二,用類似的方法,給出了一個新的2+1-維可積離散模型,并得到了豐富的結(jié)果。
   耿獻國教授提出的Lax方程解矩陣的有限階展開法,也給出求解多維孤子方程的一個方法。即利用分解的技術(shù),將2+1-維離散系統(tǒng)被分解為可解的常微分方程和離散流的演化,借助特征函數(shù)所滿足的Lax

6、方程的解矩陣,合適地引入橢圓變量,再利用代數(shù)幾何知識,構(gòu)造黎曼曲面。選取黎曼曲面上的Abel-Jacobi坐標,將所得有限維可積系統(tǒng)和離散流線性約化(或拉直)。在本文的第五章,利用此方法詳細討論了兩類半離散系統(tǒng),其一,半離散Kaup-Newell系統(tǒng),有趣的是,它的一個2+1-維離散模型的連續(xù)極限恰是2+1-維Chen-Lee-Liu方程,并獲得了這個方程的擬周期解。其二,半離散Chen-Lee-Liu系統(tǒng),借助Lenard梯度序列獲得

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