整函數(shù)及其差分多項式的唯一性問題.pdf

1、上世紀二十年代,芬蘭數(shù)學家R.Nevanlinna引進了亞純函數(shù)的特征函數(shù),并建立了兩個基本定理,發(fā)表了他關(guān)于亞純函數(shù)理論的文章,也就是后來的重要的數(shù)學理論Nevanlinna,理論[1],即復平面C上的亞純函數(shù)值分布理論.這一理論是二十世紀最重大的數(shù)學成就之一,不僅奠定了現(xiàn)代亞純函數(shù)理論的基礎(chǔ),而且對數(shù)學的許多分支的發(fā)展、交叉和融合產(chǎn)生了重大而深遠的影響,特別是在復域中常微分方程大范圍解析解的研究中.R.Nevanlinna利用他所創(chuàng)

2、立的亞純函數(shù)值分布理論,研究了確定一個亞純函數(shù)所需要的條件,得到著名的Nevanlinna五值定理和Nevanlinna四值定理,從此拉開了亞純函數(shù)唯一性理論研究的序幕.半個多世紀以來,國內(nèi)外諸多數(shù)學家致力于此領(lǐng)域的研究,取得了一系列令人矚目的成果.其中,儀洪勛教授做出的一系列富有創(chuàng)造性的成果(參見[4]),引起了國內(nèi)外許多知名數(shù)學家的關(guān)注,有力地推動了亞純函數(shù)唯一性理論的發(fā)展.隨著Nevanlinna理論自身的不斷發(fā)展,以它為主要研究

3、工具的亞純函數(shù)唯一性理論取得了蓬勃的發(fā)展(參見[2-5]),同時廣泛的應(yīng)用到復分析其他的領(lǐng)域中,如勢理論,復微分及差分方程理論,多復變量理論,極小曲面理論等.
　　 復差分方面的Nevanlinna理論是最近才確立的.其中,最關(guān)鍵的結(jié)果是差分對數(shù)導數(shù)引理,Halburd-Korhonen[14]和Chiang-Feng[15]給出了這個引理的兩種表達形式.Halburd-Korhonen[16]在差分算子的基礎(chǔ)上建立了Nevan

4、linna理論.Ishizaki和Yanagihara[17]研究了差分方程慢增長的解的性質(zhì),并且給出了在微分方程中著名的Wiman-Valiron理論的差分定理.Bergweiler和Langley[18,19]研究了慢增長的亞純函數(shù)的差分算子的值分布論.同樣Nevanlinna理論這一重要工具可以運用在復差分方程亞純解方面的研究.起初,也即二十世紀的早期,Batchelder[6],N(o)rlund[7]和Whittaker[8]

5、在這個方面做出了重大貢獻.后來,Shimomura[9]和Yanagihara[10-12]利用Nevanlinna理論研究了非線性復差分方程的解.2007年,Halburd-Korhonen[13]證明了亞純函數(shù)有窮級解的存在性是檢測差分方程可解性的一個有力工具,激起了廣泛的研究興趣.
　　 本論文主要介紹作者在楊連中教授的精心指導下,利用Nevanlinna理論就整函數(shù)及差分多項式的值分布問題所做的一些研究,得到了一些結(jié)果.

6、全文共分為三章:
　　 在第一章中,我們簡單介紹了本文的研究背景,Nevanlinna基本理論中的常用記號,并敘述了亞純函數(shù)唯一性理論中的一些基本概念和經(jīng)典結(jié)果.
　　 在第二章中,我們簡單回憶了差分的對數(shù)導數(shù)引理,差分的Clunie引理.在此基礎(chǔ)上,作者在整函數(shù)及其差分乘積的值分布方面做了一些研究,得到了如下結(jié)論:
　　 定理1設(shè)f(z)是有窮級的超越整函數(shù),α(z)是f(z)的一個小函數(shù).當n≥2時,m∈N,

7、則差分多項式f(z)n(f(z)m-1)f(z+c)-α(z)有無窮多個零點.其中,c是非零復數(shù),n是正整數(shù).
　　 從Laine和C.C.Yang于2007年發(fā)表的差分多項式的值分布一文([20,Theorem1])和定理1,我們可以看出,定理1中的n可以是任意的正整數(shù).鑒于此,我們得出了當n=1時,對應(yīng)于定理1的一個結(jié)論:
　　 定理2在定理1的條件下,當m≥3時,差分多項式f(z)(f(z)m-1),(z+c)-α

8、(z)有無窮多零點.
　　 在第三章中主要討論了兩個差分多項式分擔一個公共小函數(shù)的唯一性問題,得到的主要結(jié)論如下:
　　 定理3設(shè)f(z)和g(z)是兩個有窮級的超越整函數(shù),α(z)是關(guān)于f(z)和g(z)的小函數(shù).令c是非零常數(shù),m,n∈N.當n≥m+6時,且f(z)n(f(z)m-1)f(z+c)和g(z)n(g(z)m-1)g(z+c)分擔α(z)CM,那么f(z)≡tg(z),這里tm=tn+1=1.