涉及微分多項式分擔公共值的亞純函數(shù)唯一性理論.pdf

1、上世紀20年代,芬蘭數(shù)學(xué)家Rolf Nevanlinna.建立了的該世紀最為重要的數(shù)學(xué)理論之_,復(fù)平面C上的亞純函數(shù)的值分布理論,即通常因紀念他而被稱之為的Nevanlinna理論.該理論主要由兩部分組成,即Nevanlinna第一及第二基本定理,并且后者顯著地推廣了Picard小定理.因此,Nevanlinna理論不僅是經(jīng)典函數(shù)論發(fā)展史上的一個里程碑,而且還標志著現(xiàn)代亞純函數(shù)理論的開端.在隨后的八十年里,Nevanlinna理論不但自

2、身不斷地發(fā)展完善,而且還被廣泛地應(yīng)用于亞純函數(shù)的唯一性、正規(guī)族、復(fù)動力系統(tǒng)以及復(fù)微分方程等諸多理論的研究上面.
　　 1929年,Roll Nevanlinna利用其自己創(chuàng)立的值分布理論來研究亞純函數(shù)的唯一性問題,即在何種值分布的條件下一個亞純函數(shù)可以被完全確定,并且證明了著名的Nevanlinna五值、四值和三值定理,從此拉開了亞純函數(shù)唯一性理論研究的序幕.半個多世紀以來,國外數(shù)學(xué)家以及我國的很多數(shù)學(xué)家在惟-性方面取得了令人矚

3、目的成果,使之得到了蓬勃發(fā)展.
　　 亞純函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)的分擔值問題是亞純函數(shù)唯一性理論的一個重要研究課題.1977年,Rubel-Yang[4]研究了整函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)具有兩個CM公共值的情形.其后,Mues-Steinmetz[25],楊連中[26],Gundersen[27]等不斷改進并推廣了有關(guān)結(jié)果.但是關(guān)于亞純函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)具有一個CM公共值的問題,直到1996年才有Raider Brück提出了Brück猜想.之后,也有不少

4、學(xué)者經(jīng)過深入研究取得了許多結(jié)果.其中Q.C.zhang[24],Fang-Hua[23],Zhang-Lin.[21]還深入研究了亞純函數(shù)與其微分多項式分擔一個值的問題.
　　 本文主要介紹作者在扈培礎(chǔ)教授的精心指導(dǎo)下做的關(guān)于亞純函數(shù)在其微分多項式分擔一值時的唯-性問題,全文共分為三章.
　　 第一章,扼要介紹了本文的研究背景,Nevanlinna理論中的常用記號,并敘述了亞純函數(shù)理論中的一些基本概念和結(jié)果.
　　

5、 第二章,我們主要研究了當亞純函數(shù)的微分多項式分擔一值時的唯一性問題,我們改進了Renukadevi.Dyavanal[9]的一些結(jié)論.主要結(jié)論如下:
　　 定理2.1.設(shè)f(z)和g(z)是兩個非常數(shù)的亞純函數(shù),并且它們的零點和極點的重數(shù)最小為s,其中s是一個正整數(shù)。設(shè)n≥2是一個正整數(shù)且滿足(n+1)s≥21,如果fnf'和gng'分擔1IM,那么或者f=dg其中常數(shù)d滿足dn+1=1,或者,f(z)=c1ecz,g(z)

6、=c2e-cz,其中c,c1,c2是滿足(c1c2)n+1=-1的三個常數(shù).
　　 下面我們進一步考慮微分多項式fn(f-1)f'和gn(9-1)9'分擔一值的唯一性問題.
　　 定理2.2.設(shè)f(z)和g(z)是兩個非常數(shù)的亞純函數(shù),并且它們的零點和極點的重數(shù)最小為s,其中s是一個正整數(shù)且滿足θ(∞,f)＞2/n+1.設(shè)n≥2是一個正整數(shù)且滿足(n+1)s≥21,如果fn(f-1),f'和gn(g-1)g'分擔1IM,

7、那么f≡g.
　　 當我們把微分多項式推廣到fn(f-1)2f'時,我們可以得到下面的定理.
　　 定理2.3.設(shè)f(z)和g(z)是兩個非常數(shù)的亞純函數(shù),并且它們的零點和極點的重數(shù)最小為s,其中s是一個正整數(shù).設(shè)n≥3是一個正整數(shù)且滿足(n+1)s≥21,如果fn(f-1)2f'和gn(g-1)2g'分擔1IM,那么f≡g.
　　 第三章我們主要研究了更一般的微分多項式fnP(f)(k)分擔一值時亞純函數(shù)的唯-

8、性問題.推廣了由Lü,Chen和Yi[12]所得出的結(jié)果,主要結(jié)果如下:
　　 定理3.1.設(shè)f(z)是非常數(shù)的亞純函數(shù),并且n,k,m是滿足n≥k+3的正整數(shù),那么[fnP(f)](k)=1,(am≠0)有無窮多個解.
　　 在上述定理成立的條件下,我們可以得到下面的關(guān)于微分多項式分擔一值的唯一性定理.
　　 定理3.2.設(shè)f(z)和g(z)是兩個超越的亞純函數(shù),再設(shè)P(f)=amfm+am-1fm-1+…+a

9、ifi(am≠0,ai≠0,0≤i≤m),且n,k,m是滿足n＞6m+9k+13的正整數(shù),如果fnP(f)(k)和gnP(g)(k)分擔1IM,并且f,g分擔∞IM,那么
　　 (1)如果0≤i＜m,那么或者f(z)≡g(z)或者f,g滿足代數(shù)體方程R(f,g)≡0,其中R(w1,w2)=wn1P(w1)-wn2P(w2).
　　 (2)如果i≡m,那么或者有f(z)≡tg(z),其中t為滿足tn+m=1的常數(shù),或者f(