與微分多項(xiàng)式分擔(dān)值相關(guān)的亞純函數(shù)唯一性理論.pdf

1、上世紀(jì)二十年代,R.Nevanlinna引進(jìn)了亞純函數(shù)的特征函數(shù)并且以此創(chuàng)立了著名的Nevanlinna理論,被著名數(shù)學(xué)家Weyl評(píng)價(jià)為二十世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)成就之一.它不僅奠定了現(xiàn)代亞純函數(shù)的基礎(chǔ),并且對(duì)其他數(shù)學(xué)分支的交叉與融合產(chǎn)生了重要的影響,比如丟番圖逼近,非阿基米德分析等.Nevanlinna理論主要由Nevanlinna第一基本定理和Nevanlinna第二基本定理組成,它們是經(jīng)典函數(shù)理論發(fā)展史上的重大突破,其中第二基本定理極大

2、地推廣了Picard定理.Nevanlinna理論還得到不斷的自我完善和發(fā)展。同時(shí)還廣泛的應(yīng)用于其他領(lǐng)域的研究,如亞純函數(shù)唯一性理論,正規(guī)族,復(fù)動(dòng)力系統(tǒng)和復(fù)微分方程等等.
　　 亞純函數(shù)唯一性理論是值分布理論的重要分支,主要研究有且僅有一個(gè)函數(shù)滿足的條件.早期,R.Nevanlinna本人證明了著名的Nevanlinna五值(四值)定理,即兩個(gè)亞純函數(shù)如果分擔(dān)擴(kuò)充復(fù)平面上的五個(gè)(四個(gè))判別值則他們相同(互為線性變換),從此拉開了

3、亞純函數(shù)唯一性理論研究的序幕.半個(gè)多世紀(jì)以來(lái),國(guó)外數(shù)學(xué)家F.Gross,M.Ozawa,G.Frank,E.Mues,N.Steinmetz,H.Ueda,G.Gundersen及我國(guó)數(shù)學(xué)家熊慶來(lái),楊樂(lè),楊重駿,儀洪勛等在唯一性理論方面取得了令人矚目的成果,使之得到了蓬勃的發(fā)展.
　　 亞純函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)的分擔(dān)值問(wèn)題是亞純函數(shù)唯一性理論的一個(gè)重要研究課題.1977年,Rubel-Yang[36]研究了整函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)具有兩個(gè)CM公共

4、值的情形.其后,MuesSteinmetz[35],楊連中[44],Gundersen[14],Frank-Weissenborn[11]等不斷改進(jìn)并推廣了有關(guān)結(jié)果.但是關(guān)于亞純函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)具有一個(gè)CM公共值的問(wèn)題,直到1996年才由Raider Brück提出了Brück猜想,而后也有不少學(xué)者經(jīng)過(guò)深入研究取得了許多成果,其中,Fang-Hua[7],Zhang-Lin[51],Q.C.Zhang[49]還深入研究了亞純函數(shù)與其微分多項(xiàng)

5、式分擔(dān)一個(gè)值的問(wèn)題.
　　 本文主要介紹作者在扈培礎(chǔ)教授的精心指導(dǎo)下做的關(guān)于亞純函數(shù)在其微分多項(xiàng)式分擔(dān)一值時(shí)的唯一性問(wèn)題,全文共分三章.
　　 第一章,作者扼要介紹了本文的研究背景,Nevanlinna理論中的常用記號(hào),并敘述了亞純函數(shù)理論中的一些基本概念和結(jié)果.
　　 第二章,我們主要研究了當(dāng)一些更為一般的微分多項(xiàng)式[fnP(f)](k)分擔(dān)一值時(shí)整函數(shù)的唯一性問(wèn)題,我們極大地改進(jìn)了Zhang-Lin[51]的

6、一些結(jié)論.主要結(jié)論如下:定理2.1.設(shè)f(z)和g(z)是兩個(gè)非常值的整函數(shù),P(f)=amfm+am-1fm-1+…+aifi(am≠0,ai≠0,0≤I≤m),其中,n,k,m是三個(gè)滿足條件n＞2k+m+4的正整數(shù),如果[fnP(f)](k)和[gnP(g)](k)分擔(dān)1 CM,那么有下面兩者之一成立:
　　 (1)若0≤I＜m,則或者f(z)≡g(z)或者f,g滿足代數(shù)體方程R(f,g)≡0,其中R(w1,w2)=w1nP

7、(w1)-w2nP(w2).
　　 (2)若I=m,則或者f(z)≡tg(z),其中t是一個(gè)滿足條件tn+m=1的常數(shù),或者f(z)=c1ecz,g(z)=c2e-cz,其中c1,c2和c是三個(gè)常值滿足條件:(-1)ka2m(c1c2)n+m[(n+m)c]2k=1.
　　 關(guān)于IM分擔(dān)值的問(wèn)題,在n,k,m滿足條件n+m＞(5k+7)(m+1)時(shí),我們也有如下定理成立.在這個(gè)定理的證明過(guò)程中,我們巧妙地引用了有關(guān)虧量的

8、引理2.4,這不僅使得證明過(guò)程簡(jiǎn)單化,而且使我們的結(jié)果更為精確.
　　 定理2.2.設(shè)f(z)和g(z)是兩個(gè)超越整函數(shù).令P(f)=amfm+am-1fm1+…+aifi(am≠0,ai≠0,0≤I≤m),其中n,k,m是三個(gè)滿足條件n+m＞(5k+7)(m+1)的正整數(shù),如果[fnP(f)](k)和[gnP(q)](k)分擔(dān)1IM,那么有下面兩者之一成立:(1)若0≤I＜m,則f和g滿足代數(shù)體方程R(f,g)≡0,其中,R(

9、w1.w2)=wn1P(w1)-wn2p(w2).(2)若I=m,則或者f(z)≡tg(z),其中t是一個(gè)滿足條件tn+m=1的常值,或者f(z)=c1ecz,g(z)=c2e-cz,其中c1,c2和C是三個(gè)常值滿足下列條件:(-1)ka2m(c1c2)n+m[(n+m)c]2k=1.
　　 第三章,我們主要研究當(dāng)微分多項(xiàng)式fnp(f)f'不計(jì)重?cái)?shù)分擔(dān)一值時(shí)有關(guān)亞純函數(shù)的唯一性問(wèn)題,推廣了由Zhang Chen和Lin[50]所

10、得出的結(jié)果,主要結(jié)果如下:
　　 定理3.1.設(shè)f和g是兩個(gè)超越亞純函數(shù),且n和m是兩個(gè)滿足條件n＞11m+22的正整數(shù),令P(z)=amzm+am-1zm-1+…+a1z+a0,其中a0(≠0),a1,…,am-1,am(≠0)是復(fù)數(shù).如果fnP(f)f'和gnP(g)g'分擔(dān)1 IM,那么或者f≡tg其中常數(shù)t滿足條件td=1,并且d=(n+m+1,…,n+m+1-I,…,n+1),am-I≠0,I:0,1,…,m,或者f和

11、g滿足代數(shù)體方程R(f,g)≡0,其中R(w1,w2)=wn1+1(amwm1/n+m+1+am-1wm1-1/n+m+…+a0/n+1)-wn2+1(amum1/n+m+1+am-1w2m-1/n+m+…+a0/n+1).
　　 在這個(gè)定理證明之前我們首先通過(guò)對(duì)所構(gòu)造的函數(shù)進(jìn)行討論分析得出了對(duì)定理證明有重要作用的引理3.6(詳見(jiàn)第3.3節(jié)).除了考慮IM分擔(dān)值問(wèn)題外,我們也可以利用I.Lahiri引進(jìn)的加權(quán)思想來(lái)考慮分擔(dān)值的本

12、性,從而得出下述定理.
　　 定理3.2.設(shè)f和g是兩個(gè)非常值亞純函數(shù),且n和m是兩個(gè)滿足條件n＞max(m+10,3m+3)的正整數(shù),令P(z):amzm+am-1zm-1+…+a1z+a0,其中a0(≠0),a1,…,am-1,am(≠0)是復(fù)數(shù).如果fnP(f)f'和gnP(g)g'分擔(dān)(1,2),那么定理3.1的結(jié)論依然成立.
　　 自然地,我們會(huì)想除了加權(quán)思想外是否可以用別的方法來(lái)進(jìn)一步削弱分擔(dān)值的本性呢?下面