關(guān)于復(fù)微分方程解的增長(zhǎng)性和正規(guī)族問(wèn)題的研究.pdf

1、值分布論是由Rolf Nevanlinna在二十世紀(jì)二十年代初創(chuàng)立的，通常為了紀(jì)念他，我們常稱(chēng)之為Newnlinna理論.Nevanlinna理論可以看做是上個(gè)世紀(jì)研究亞純函數(shù)性質(zhì)所取得的最好的成果.這個(gè)理論包括了兩個(gè)基本定理，我們把它們稱(chēng)之為第一基本定理和第二基本定理，這兩個(gè)定理顯著的提高了經(jīng)典函數(shù)理論的研究，并且在隨后，推廣和擴(kuò)展了Picard第一定理，由此開(kāi)創(chuàng)了亞純函數(shù)研究的先河.更為重要的是，Nevanlinna理論及其擴(kuò)展在一

2、些領(lǐng)域里有著許多的應(yīng)用，如位勢(shì)理論，復(fù)微分方程，復(fù)差分方程，正規(guī)族，多復(fù)變等等。在研究復(fù)微分方程時(shí)，Nevanlinna理論被用來(lái)探求他們解的內(nèi)在性質(zhì).據(jù)我們所知，第一次這種應(yīng)用是由F.Nevanlinna做出的.在此之后，利用Nevanlinna理論研究復(fù)微分方程解的全局性質(zhì)變得越來(lái)越普遍.在各國(guó)數(shù)學(xué)家的努力下，得到了許多關(guān)于線(xiàn)性復(fù)微分方程和非線(xiàn)性代數(shù)體方程(例如Riccati方程，Painlevé方程，Schwarz微分方程)的結(jié)果

3、.近年來(lái)，另一個(gè)很熱門(mén)的研究領(lǐng)域是復(fù)差分方程和q復(fù)差分方程解的值分布性質(zhì).很多關(guān)于復(fù)微分方程的一些結(jié)果在復(fù)差分方程和q復(fù)差分方程中都有類(lèi)似的結(jié)論。1907年，Montel引入正規(guī)族的概念，由于它在復(fù)動(dòng)力系統(tǒng)中的重要作用，越來(lái)越受到重視.一個(gè)亞純函數(shù)族稱(chēng)為是正規(guī)的，若它的任一序列都存在子列按球面度量?jī)?nèi)閉一致收斂.研究正規(guī)族的主要目的是為了尋找正規(guī)族.Bloch原理在其中起到很重要的指導(dǎo)作用，盡管它一般而言并不成立.近年來(lái)，應(yīng)用Zalcma

4、n-Pang引理來(lái)研究正規(guī)族已經(jīng)越來(lái)越熱門(mén)。
　　 本文主要包括作者得到的關(guān)于一類(lèi)高階復(fù)微分方程的解的超級(jí)增長(zhǎng)級(jí)的性質(zhì)、一類(lèi)二階線(xiàn)性復(fù)微分方程解的超級(jí)增長(zhǎng)級(jí)、一類(lèi)q復(fù)差分方程亞純函數(shù)解的增長(zhǎng)級(jí)的估計(jì)和亞純函數(shù)及其微分多項(xiàng)式分擔(dān)集合的正規(guī)族問(wèn)題的進(jìn)一步研究.本論文的結(jié)構(gòu)安排如下：第一章，我們簡(jiǎn)單介紹了Nevanlinna理論，復(fù)微分方程的研究發(fā)展史，研究復(fù)微分方程解的值分布性質(zhì)必不可少的工具Wiman-Valiron理論和正規(guī)族的

5、發(fā)展過(guò)程。第二章，我們研究了復(fù)微分方程f(k)-eQf=a(1-eQ)解的超級(jí)增長(zhǎng)級(jí)，其中Q是一個(gè)整函數(shù)，可以是多項(xiàng)式或非多項(xiàng)式；a也是一個(gè)整函數(shù)，它的增長(zhǎng)級(jí)可以大于1.我們的結(jié)果推廣了J.Wang和X.M.Li的一些結(jié)果。實(shí)際上，我們得到如下結(jié)果：在第四章，我們估計(jì)了一類(lèi)復(fù)q差分方程的亞純函數(shù)解的增長(zhǎng)級(jí)，并研究了一個(gè)二階q復(fù)差分方程的超越解的不動(dòng)點(diǎn)和零點(diǎn)的收斂指數(shù).我們還得到一個(gè)關(guān)于復(fù)差分和q復(fù)差分混合方程的定理。在最后的第五章，我們