調(diào)和函數(shù)空間上的Hua-Kelvin變換.pdf

1、本文主要研究Hua-Kelvin變換及其在調(diào)和函數(shù)空間上的算子理論.
　　 華羅庚先生在《從單位圓盤談起》中指出變換Ha[u](x)=(1-2x·a+|x|2|a|2)(2-n)/2(u(o)(ψ)a)(x)保持調(diào)和性，其中(ψ)a是Rn中單位球B上的實(shí)M(o)obius變換.由于這一變換與Kelvin變換的相似性，我們將其命名為Hua-Kelvin變換.
　　 Hua-Kelvin變換是一個(gè)具體的加權(quán)復(fù)合算子.復(fù)合算子

2、在數(shù)學(xué)與物理尤其是動(dòng)力系統(tǒng)中發(fā)揮了重要作用。盡管復(fù)合算子在解析函數(shù)空間上的研究已經(jīng)十分成熟,但是至今仍缺少調(diào)和函數(shù)空間上相應(yīng)理論.本文在該領(lǐng)域進(jìn)行了新的嘗試.
　　 研究調(diào)和函數(shù)空間中復(fù)合算子理論，首要問題是哪些算子保持調(diào)和性.劉太順證明了實(shí)單位球上全體保調(diào)和映射一定是共形映射.利用這一結(jié)果，我們可以得到實(shí)單位球上保調(diào)和變換的完全刻畫，即單位球上保調(diào)和變換一定可以分解為以下兩種情形的復(fù)合:
　　 (I)Hua-Kelvi

3、n變換.
　　 (II)復(fù)合算子C(ψ):u→u(o)(ψ).其中(ψ)=αKx+b,α∈R，b∈Rn，K∈O(n)且滿足|α|+|b|≤1.
　　 這表明Hua-Kelvin變換在調(diào)和函數(shù)復(fù)合算子理論中具有核心地位.
　　 本文研究了Hua-Kelvin變換在調(diào)和Hardy空間和調(diào)和Bergman空間上的算子理論.內(nèi)容如下.
　　 第二章建立了一個(gè)積分公式,∫(-2a ·ζ)k/|x-ζ|2λ dσ(ζ

4、)=∑[k/2]I=0(λ)k-2i(-k)2i/(n/2)k-ii!|a|2i(-2α·x)k-2i×2F1(λ+k-2i,λ-n/2+1-I;n/2+k-I;|x|2其中x,α∈B，k=0，1,2,λ∈C.這個(gè)積分公式推廣了Forelli-Rudin型估計(jì),是我們研究調(diào)和函數(shù)空間算子理論的基本工具.
　　 第三章證明了單位球上保調(diào)和變換一定是Hua-Kelvin變換以及平移、伸縮、旋轉(zhuǎn)的復(fù)合.
　　 第四章研究了Hu

5、a-Kelvin變換作為調(diào)和Hardy空間hp(B)上的算子理論，討論了它的算子有界性，緊性，本性正規(guī)性和譜半徑：
　　 Hua-Kelvin變換作為調(diào)和Hardy空間hp(B)上算子，我們給出了其精確算子范數(shù)kHa:hp(B)→hp(B)||=｛(1+|a|)2(n-1)/p-(n-2)/(1-|a|2)(n-1)/p,1

6、>2(n-1)n-2.
　　 注意到Hua-Kelvin變換在調(diào)和Hardy空間上的算子范數(shù)是p的分段函數(shù).臨界指標(biāo)是2*=2(n-1)/(n-2)，它也是2的臨界Sobolev跡指標(biāo).這個(gè)指標(biāo)是俄國數(shù)學(xué)家Sobolev證明Sobolev空間嵌入定理時(shí)引入的，并在偏微分方程中發(fā)揮了重要作用。Hua-Kelvin變換的范數(shù)和Sobolev指標(biāo)這一聯(lián)系的深層次原因尚不得知.
　　 在Banach空間的算子理論中，如果一個(gè)算子

7、的范數(shù)等于該算子在一列正規(guī)化的再生核上的極限值，則稱該算子具有再生核極大性.Bourdon和Retsek研究了單位圓盤中全純Hardy空間上的全純復(fù)合算子何時(shí)具有再生核極大性.我們證明了Hua-Kelvin變換作為單位球中調(diào)和Hardy空間上的算子具有再生核極大性.特別,||Ha ：h2(B)→h2(B)||=supy∈B||Ha(py)||h2,其中py表示調(diào)和Hardy空間h2(B)上正規(guī)化的延拓Poisson核.這個(gè)公式的證明具有

8、一定的難度.
　　 Shapiro在Banach空間的算子理論的研究中引入了本性范數(shù)的概念.本性范數(shù)可用于刻畫一個(gè)算子與緊算子相差多少，它是算子到緊算子的最小距離.由于本性范數(shù)一定小于或等于范數(shù)，自然的問題是何時(shí)等號(hào)成立.該文證明了Hua-Kelvin變換，作為單位球上調(diào)和Hardy空間上的有界算子，取到等號(hào).
　　 第五章研究了Hua-Kelvin變換在調(diào)和Bergman空間bp(B)中的上述性質(zhì)。
　　 第六

9、章采用了研究Hua-Kelvin變換的相同方法，研究了一類Bergman型算子Tα
　　 Tαf(x)∫Bn f(y)dVα(y)/(1-2x·y+|x|2|y|2)(n+α)/2.
　　 我們得到了其精確范數(shù)||Ta:Lpα→Lpα||=Г(n/2+α+1)Г((α+1)/p)Г((α+1)/q)/Г((n+α)/2)Г(α/2+1)Г(a+1).
　　 這一結(jié)果肯定地回答了Choe，Koo與Nam提出的算子T