廣義Boussinesq型方程解的大時(shí)間狀態(tài)估計(jì).pdf

1、Boussinesq方程是由法國(guó)數(shù)學(xué)物理學(xué)家Boussinesq基于淺水長(zhǎng)波理論率先提出的，用來(lái)描述淺水水域中的非線(xiàn)性波浪運(yùn)動(dòng).該方程的假設(shè)條件為海底是水平面，水質(zhì)點(diǎn)的水平速度不隨水深變化，并且保留了部分豎直方向的加速度.在此基礎(chǔ)上發(fā)展而來(lái)的廣義Boussinesq型方程，則用于反映水質(zhì)點(diǎn)的水平速度隨水深而改變，以及波面高度隨海底地形變化等情況.此類(lèi)方程是一類(lèi)重要的非線(xiàn)性發(fā)展方程，可用于研究諸多物理問(wèn)題.
　　本文主要討論了在Rn

2、空間中，兩類(lèi)廣義Boussinesq型方程的Cauchy問(wèn)題解的整體存在性，以及大時(shí)間狀態(tài)估計(jì).本文的安排如下:
　　第一章，介紹了廣義Boussinesq型方程的物理背景和研究現(xiàn)狀，說(shuō)明了本文的章節(jié)安排和主要結(jié)果.
　　第二章，考慮了一類(lèi)帶阻尼項(xiàng)的廣義Boussinesq型方程的Cauchy問(wèn)題的解的存在性.此類(lèi)方程主要針對(duì)的是水面上存在超大型浮體的波浪模型.其困難在于方程中的導(dǎo)數(shù)階數(shù)過(guò)高，使得能量估計(jì)失效.為此，本文對(duì)解

3、進(jìn)行高低頻分解:低頻部分采用Green函數(shù)方法進(jìn)行估計(jì);高頻部分結(jié)合能量方法和頻率的特性求得解的估計(jì).然后，對(duì)Cauchy問(wèn)題通過(guò)構(gòu)造迭代方程和頻率分解，直接證明解的全局存在性，并由先驗(yàn)估計(jì)的辦法求出解的Lp衰減估計(jì).
　　第三章，繼續(xù)考慮帶阻尼項(xiàng)的廣義Boussinesq型方程的Cauchy問(wèn)題的解的逐點(diǎn)估計(jì).此時(shí)的困難在于對(duì)低頻部分以及非線(xiàn)性項(xiàng)的處理.首先，對(duì)Green函數(shù)進(jìn)行逐點(diǎn)估計(jì):低頻部分，把Green函數(shù)拆分為雙曲結(jié)構(gòu)

4、與耗散結(jié)構(gòu)的卷積;高頻部分，充分利用Green函數(shù)表現(xiàn)出的熱核性質(zhì).然后，使用先驗(yàn)估計(jì)和一些技術(shù)性的引理來(lái)處理非線(xiàn)性問(wèn)題，得到解的逐點(diǎn)估計(jì).
　　第四章，考慮了另一類(lèi)更為一般的廣義Boussinesq型方程Cauchy問(wèn)題的解的適定性.此類(lèi)方程拓廣了超大型浮體模型的適用范圍，使之適用于中等波長(zhǎng)和弱的非線(xiàn)性波浪，也修正了海底地形變化對(duì)水質(zhì)點(diǎn)所受壓強(qiáng)產(chǎn)生的影響.此類(lèi)方程的困難在于其譜結(jié)構(gòu)過(guò)于復(fù)雜、導(dǎo)數(shù)的階數(shù)過(guò)高.本文采用分頻分法的策略