Markov積分半群的弱對(duì)稱性和擾動(dòng)逼近及帶遷移的Markov對(duì)偶分支過程.pdf

1、關(guān)于Markov過程理論的研究，歷來有概率方法和分析方法。近年來，數(shù)學(xué)家們以算子半群理論作為工具來研究Markov過程理論，并取得了豐富的成果。本文著力于使用分析的方法，以算子半群理論為工具，研究Markov積分半群的弱對(duì)稱性、擾動(dòng)和逼近及帶遷移的Markov對(duì)偶分支過程。
　　 由Anderson[1]知道轉(zhuǎn)移函數(shù)P(t)是l1空間上正的強(qiáng)連續(xù)壓縮半群，但P(t)一般來說不是l∞空間上的強(qiáng)連續(xù)半群，而P(t)是l∞上強(qiáng)連續(xù)半群

2、的充要條件是q-矩陣Q是l∞上的一致有界q-矩陣。這是一種平凡的情形，實(shí)際生活中所遇到的參數(shù)連續(xù)Markov鏈所對(duì)應(yīng)的q-矩陣通常都不滿足此性質(zhì)。Anderson[1]認(rèn)為l∞空間太大了，不可能在其上得到一些有用的結(jié)果。因此，當(dāng)我們?cè)趌∞空間上考慮時(shí)，強(qiáng)連續(xù)半群并不是研究參數(shù)連續(xù)Markov鏈的一個(gè)好工具，而文獻(xiàn)[3]介紹的Markov積分半群來研究Markov鏈則恰好。
　　 由參數(shù)連續(xù)Markov鏈理論知道，參數(shù)連續(xù)Mark

3、ov鏈與轉(zhuǎn)移函數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的，即給定一個(gè)Markov鏈，存在與之相對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)；反之，給定一個(gè)轉(zhuǎn)移函數(shù)，我們能構(gòu)造一個(gè)Markov過程，使得此轉(zhuǎn)移函數(shù)就是該Markov過程相對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)。因此，我們要研究參數(shù)連續(xù)Markov鏈可通過研究其對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)來完成。并且從已有成果來看，Anderson[1]得到轉(zhuǎn)移函數(shù)P(t)與l1空間上的正的強(qiáng)連續(xù)壓縮半群是一一對(duì)應(yīng)的；Y.R Li[3]得到轉(zhuǎn)移函數(shù)與l∞空間上的正的一次強(qiáng)壓縮積分半群(

4、我們稱作Markov積分半群)是一一對(duì)應(yīng)的；從而搭起了半群與Markov鏈之間的橋梁?？梢?，半群是與轉(zhuǎn)移函數(shù)直接聯(lián)系的。以此為啟示，我們可以通過轉(zhuǎn)移函數(shù)來研究Markov積分半群。
　　 本文第二章引入了Markov積分半群的弱對(duì)稱性，對(duì)于一個(gè)單流出保守的Q-矩陣，給出了Markov積分Q-半群忠實(shí)且弱對(duì)稱的充要條件。并且給出了最小的弱對(duì)稱Markov積分Q-半群的廣義Kendall-表示；特別地，如果Q是生滅q-矩陣，還給出了

5、弱對(duì)稱Markov積分Q-半群的Karlin-McGregor表示。在第二章中我們得到如下結(jié)果：
　　 定理2.2.2設(shè)Q是一個(gè)保守單流出[即，dim l∞+(λ)=1，(A)λ＞0]q-矩陣，rij(λ)是最小的Q-預(yù)解函數(shù)，令zi(λ)=1-λ∑rij(λ)，i∈E，λ＞0。則以下陳述等價(jià)：
　　 (1)存在忠實(shí)且弱對(duì)稱的Markov積分Q-半群T(t)=(Tij(t))。
　　 (2)Q是弱對(duì)稱的，其對(duì)稱測(cè)

6、度{mi，i∈E}滿足Σmizi(λ)＜∞[{mi，i∈E}也是Tij(t)的對(duì)稱測(cè)度]。
　　 當(dāng)這樣一個(gè)忠實(shí)的Tij(t)存在時(shí)，它是唯一的并且它的預(yù)解算子R(λ，Ω)由l∞上的R(λ，Ω)=φ(λ)=(φij(λ))給出，其中φij(λ)=rij(λ)+zi(λ)zj(λ)mj/λ∑k∈Emkzk(λ))
　　 定理2.3.1設(shè)T(t)=(Tij(t))是最小的Markov積分Q-半群，并且假設(shè)T(t)=(Tij(

7、t))是弱對(duì)稱的，其對(duì)稱測(cè)度是mi，i∈E。則對(duì)于任意一對(duì)i，j∈E，存在[0，∞)上的有限測(cè)度γij(如果i=j則成為概率)滿足Tij(t)=√mj/mj∫0∞1-e-tx/xdγij(x)
　　 定理2.3.2設(shè)Q是不可約的生滅q-矩陣，T(t)是弱對(duì)稱的Markov積分Q-半群，其轉(zhuǎn)移函數(shù)Pij(t)滿足前項(xiàng)和后項(xiàng)方程(比如最小Q-函數(shù))。則存在支集在[0，+∞)中的概率分布函數(shù)Ψ(x)滿足
　　 Tmn(t)=π

8、n∫0∞1-e-tx/xQm(x)Qn(c)dΨ(x)，m，n≥0，t≥0.
　　 其中πn={1λ0λ1…λn-1/μ1μ2…μn如果n=0如果n≥1
　　 第三章中給出了Markov積分半群上的廣義Phillips擾動(dòng)定理和Trotter-Kato逼近定理。由Phillips擾動(dòng)定理，如果A是一個(gè)C0半群的生成元，B∈B(X)，那么A+B也是。但是對(duì)于積分半群的生成元，這個(gè)結(jié)論就不再成立了，文獻(xiàn)[4,5]中有相關(guān)反例

9、。因此在Markov積分半群的生成元上加一個(gè)有界算子不再生成一個(gè)Markov積分半群，從而有必要在有界算子B上加其他條件。在第三章我們得到如下結(jié)果；
　　 定理3.1.1設(shè)A是l∞上Markov積分半群T(t)的生成元，B1∈B(l1)是正的(即將正元素集l1+映入其本身)耗散算子，則A+B，B=B1*，是l∞上Markov積分半群V(t)的生成元。
　　 定理3.2.1設(shè)Tn(t)，n∈N是一列Maxkov積分半群，p

10、n(t)是Tn(t)所對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)，An是pn(t)在l1上的生成元。如果存在λ0滿足Reλ0＞0，并且：
　　 (i)n→∞時(shí)，R(λ0∶An)x→R(λ0)x，x∈l1；(ii)算子R(λ0)的值域在l1中稠密。
　　 則存在唯一一個(gè)算子A∶A生成l1上的壓縮C0半群P(t)，并且滿足R(λ0)=R(λ0∶A)。如果T(t)是P(t)所對(duì)應(yīng)的Markov積分半群，則n→∞時(shí)，Tn(t)x→T(t)x，t≥0，x∈l

11、∞。
　　 第四章引入了一類新的對(duì)偶分支過程-帶遷移的Markov對(duì)偶分支過程(DBPI)，證明了對(duì)于其給定的Q-矩陣只存在唯一的Q-轉(zhuǎn)移函數(shù)，給出了刻畫帶遷移對(duì)偶分支過程常返性的充要條件及正常返性的必要條件，并且給出了計(jì)算滅絕概率和平均滅絕時(shí)間的公式。在本文第四章我們得到很好的結(jié)果：
　　 定理4.1.2設(shè)P(t)=(Pij(t)，i，j∈Z+)是最小的Q-函數(shù)，其中Q是帶遷移的Markov對(duì)偶分支q-矩陣。則P(t)

12、=(Pij(t))是唯一的Q-函數(shù)，并且P(t)是忠實(shí)和單調(diào)的。
　　 定理4.2.1帶遷移的Markov對(duì)偶分支過程是常返的當(dāng)且僅當(dāng)R=∞∑n=0Rn/a-na0=∞
　　 其中Rn由以下迭代定義R0=1和Rn=n-1∑r=0(r+1)an-r/a-ra0Rr，n≥1
　　 命題4.2.2如果帶遷移的Markov對(duì)偶分支過程是正常返的，則(i)(A(1)+|a0|)＞|a0|，ifa＞|a0|，或(ii)(A(

13、1)+|a0|)＞a，ifa＜|a0|。
　　 命題4.3.1設(shè)序列{ai(0)，i≥0}是以下方程的唯一解i+1i+1∑j=0qijaj(θ)=θai(θ)，i≥1(θ=0)滿足初始條件 a0(θ)=0，a1(θ)=1令a=limi→∞ ai(0)。則a=1|a|∞∑k=0ak∞∑=0=0ak(0)
　　 因此，滅絕發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)∞∑κ=0ak=∞或∞∑κ=0ak(0)=∞
　　 如果a＜∞，我們有滅絕概率xij

14、(0)=1-ai(0)/q，i≥0
　　 然而，真正有用的是通過{ak，κ≥0}來刻畫滅絕[而不是涉及{ak(0)，k≥0}]，這正是下述定理的內(nèi)容：用生成函數(shù)A(s)=∞∑k=0aksk，0≤s≤1通過解方程來實(shí)現(xiàn)。
　　 定理4.3.2(1)滅絕發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)lims-1u(s)=-∞(←→)lima-1∫s1|a0|/sA(s)1|a0|/sA(s)ds=∞其中u/(s)=|a0|aA(s).
　　 如果li